Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất cộng vecto: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ với mọi ba điểm $A,B,C$. Các đáp án khác sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không đơn giản bằng $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AC}$, và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lớn hợp lực: $F=\sqrt{60^2+80^2+2\cdot 60\cdot 80\cos 60^{\circ }}=\sqrt{3600+6400+4800}=\sqrt{14800}=20\sqrt{37}\approx 121,7N$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, tứ giác $ABCD$ là hình vuông với $A$, $D$ ở hàng trên và $B$, $C$ ở hàng dưới, nên $AB$ song song và cùng hướng với $DC$, do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Các phương án khác sai: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ vuông góc; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vectơ đối nhau; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên theo tính chất đường trung bình của tam giác: $\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}$. Do đó $\overline{MN}$ cùng hướng với $\overline{BC}$ và ngược hướng với $\overline{CB}$, tức $\overline{MN}$ và $\overline{CB}$ là hai vectơ đối nhau. Đồng thời $|\overline{MN}|=\frac{1}{2}|\overline{BC}|\ne |\overline{BC}|$ và $\overline{MN}\ne \overline{BC}$ (khác độ dài). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực $F$: $A=F\cdot s\cdot \cos (\alpha )$. Vì vật dịch chuyển cùng hướng với lực nên $\alpha =0^{\circ }$, $\cos \alpha =1$. Do đó $A=50\cdot 30\cdot 1=1500\text{J}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 Phần II: a) Sai vì M là trung điểm AC nên MA + MC = vectơ không. b) Đúng theo quy tắc hiệu: AB - AC = CB. c) Đúng: BM = ½(BA + BC) (M trung điểm AC), C là trung điểm BN nên BC = ½BN, suy ra BM = ½BA + ¼BN. d) Đúng: Chọn B làm gốc, đặt BA = a, BC = c thì BN = 2c, BM = (a+c)/2. P trên AN: BP = (1-s)a + s·2c. Vì B, M, P thẳng hàng: BP = t·BM = (t/2)a + (t/2)c. So sánh: t/2 = 1-s và t/2 = 2s ⇒ s = t/4, t/2 + t/4 = 1 ⇒ t = 4/3. Vậy BP = (2/3)a + (2/3)c = (2/3)BA + (1/3)BN.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AC nên MA + MC = vectơ không, không phải AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB - AC = CB theo quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc A.
c) (AI giải đề cho tôi)
BM = ½(BA + BC) vì M trung điểm AC; BC = ½BN vì C trung điểm BN; suy ra BM = ½BA + ¼BN.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với B làm gốc, BA = a, BC = c, BN = 2c, BM = (a+c)/2. P trên AN: BP = (1-s)a + 2s·c. BP cùng phương BM: BP = t(a+c)/2 ⇒ t/2 = 1-s, t/2 = 2s ⇒ t = 4/3. Vậy BP = (2/3)BA + (2/3)BC = (2/3)BA + (1/3)BN.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ACB}=30^{\circ }$ nên $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và $BA=BC\cos 60^{\circ }=6a\cdot \frac{1}{2}=3a$. Khi đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA|\cdot |BC|\cos \widehat{ABC}=3a\cdot 6a\cdot \cos 60^{\circ }=18a^2\cdot \frac{1}{2}=9a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ với $MA=4MB$ nên $AB=AM+MB=4MB+MB=5MB$ (độ dài). Xét theo vectơ: vectơ $\overline{MB}$ cùng hướng với vectơ $\overline{AB}$ (cùng chỉ từ trái sang phải) và độ dài $|\overline{AB}|=5|\overline{MB}|$, do đó $\overline{AB}=5\overline{MB}$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overline{AB}+\overline{AD}=\overline{AC}$ (vì $\overline{AD}=\overline{BC}$ nên $\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $a\ne 2a$ → sai. b) $\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CG}$; đường trung tuyến từ $C$ có độ dài $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, mà $CG=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$ → sai. c) Gọi $M$ trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$, $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên độ dài bằng $a\sqrt{3}$ → đúng. d) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ theo quy tắc ba điểm → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}$, độ dài bằng $a\ne 2a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ với $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nên độ dài bằng $a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}$, tức $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $m=\frac{1}{3}$, $n=\frac{2}{3}$ và $m+n=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cdot \cos \angle BAC=5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=40\cdot \frac{1}{2}=20$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(3;0)$, $D(0;4)$, $C(3;4)$. Vì $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ nên $M(3k;0)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(3;4)$, $\overrightarrow{DM}=(3k-0;0-4)=(3k;-4)$. Hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0$, tức $3\cdot 3k+4\cdot (-4)=9k-16=0$, suy ra $k=\frac{16}{9}$. Vậy $k=\frac{16}{9}$ (khi đó $M$ nằm trên tia $AB$, ngoài đoạn $AB$ vì $\frac{16}{9}>1$).

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên ba lực cân bằng: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$, tức $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$.

Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MB}$ đối xứng qua đường thẳng $MC$ (tia $MC$ nằm ngang bên trái), với $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=100$ N và $\angle AMB=60^{\circ }$. Do đó mỗi lực hợp với đường phân giác (phương của $\overrightarrow{F_3}$) một góc $30^{\circ }$.

Tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có phương trùng với tia $MC$ và độ lớn:
$$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=2\cdot 100\cdot \cos 30^{\circ }=2\cdot 100\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\text{N}.$$

Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=100\sqrt{3}\approx 173,2$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AB\parallel CD$ và $AB=CD$, hai vectơ $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ ngược hướng nên $\overline{CD}=\overline{BA}$. Kiểm tra: $\overline{AB}$ ngược hướng với $\overline{CD}$ (loại A); $\overline{BC}$ và $\overline{AD}$ không bằng $\overline{CD}$ (loại C, D). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=-3\vec{b}$ với $\vec{b}\ne \vec{0}$, hệ số $k=-3<0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, ngược hướng. Độ dài: $|\vec{a}|=|-3||\vec{b}|=3|\vec{b}|$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tam giác $ABD$ có $AB=AD=a$ và góc ở đỉnh $A$ bằng $60^{\circ }$ nên tam giác $ABD$ đều, do đó $BD=a$, tức $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a$. Xét các phương án khác: $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AC}$ là hai vectơ vuông góc, khác phương nên không bằng nhau; $\overrightarrow{BC}$ song song cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{DA}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng độ dài nhưng khác phương nên không bằng nhau. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Do đó $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba vectơ kề xuất phát từ $A$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$, suy ra với điểm $S$ bất kỳ: $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}\right)$. Vậy đáp án B.