Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

Ta có: $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}\\ \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BJ}\end{array}\Rightarrow 2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f2]

(1,0 điểm)

Suy ra: $\overrightarrow{HK}.2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{HK}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\right)=\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{DB}$

$=\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DK}\right)\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}\right)\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}\right)=\overrightarrow{AC}.\vec{0}=0$.

Vậy $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{IJ}=0$ nên $HK\perp JI$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại A, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ với $|\vec{u}|=2$, $|\vec{v}|=AD=BC=3$, góc $\widehat{BAD}=60°$ nên $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 3\cdot \cos 60°=3$.

Từ $\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{DK}$, với $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}-\vec{v}$, ta có $\overrightarrow{AK}=-2(\overrightarrow{AK}-\vec{v})\Rightarrow 3\overrightarrow{AK}=2\vec{v}\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\vec{v}$.

Suy ra $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\vec{u}=\frac{2}{3}\vec{v}-\vec{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}\vec{v}-\vec{u}\right)\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\frac{2}{3}\vec{u}\cdot \vec{v}+\frac{2}{3}|\vec{v}{|}^2-|\vec{u}{|}^2-\vec{u}\cdot \vec{v}$$
$$=\frac{2}{3}(3)+\frac{2}{3}(9)-4-3=2+6-7=1.$$

Vậy $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Một vecto khác vecto - không được xác định bởi một cặp điểm đầu - điểm cuối phân biệt, và vecto - không có điểm đầu trùng điểm cuối. Số cách chọn điểm đầu là 4, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 3, nên có $4\times 3=12$ vecto (các vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai vecto đã cho là $\vec{a}$ và $\vec{b}$, với $\vec{a}\ne \vec{0}$, $\vec{b}\ne \vec{0}$ và $\vec{a}$ không cùng phương với $\vec{b}$. Một vecto $\vec{u}\ne \vec{0}$ cùng phương với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{u}$ phải có phương trùng với phương của $\vec{a}$ (vì cùng phương với vecto khác $\vec{0}$) và đồng thời có phương trùng với phương của $\vec{b}$. Điều này đòi hỏi $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}$, mâu thuẫn với giả thiết. Chỉ có vecto $\vec{0}$ là cùng phương với mọi vecto, nhưng đề yêu cầu vecto khác $\vec{0}$. Vậy không tồn tại vecto nào thỏa mãn, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, các vecto có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh và cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (tức nằm trên đường thẳng song song với $AB$) là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$ (trên đường thẳng $AB$) và $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}$ (trên đường thẳng $DC$ song song với $AB$, vì $AB\parallel DC$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$). Tất cả đều khác $\vec{0}$. Vậy có 4 vecto, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh $A,B,C$ của tam giác, mỗi vecto khác vecto không được xác định bởi một cặp điểm đầu - điểm cuối khác nhau. Số cách chọn điểm đầu: 3 cách, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu: 2 cách, nên có $3\times 2=6$ vecto: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Tất cả đều khác vecto không vì điểm đầu khác điểm cuối. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vecto có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$. Phương án A chỉ là đoạn thẳng $AB$; phương án C là độ dài (độ lớn) của vecto $\overrightarrow{AB}$; phương án D là vecto ngược hướng. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ nằm giữa $M$ và $P$ nên thứ tự các điểm trên đường thẳng là $M,N,P$. Xét từng cặp: $\overrightarrow{MP}$ hướng từ $M$ đến $P$, còn $\overrightarrow{PN}$ hướng từ $P$ về $N$, ngược hướng nhau (loại A). $\overrightarrow{MN}$ hướng từ $M$ đến $N$, còn $\overrightarrow{PN}$ hướng từ $P$ về $N$, ngược hướng nhau (loại B). $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$ xuất phát từ $N$ đi về hai phía khác nhau, ngược hướng nhau (loại C). $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng từ $M$ về phía $P$ (vì $N$ nằm giữa $M$ và $P$), nên cùng hướng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ và ngược hướng với $\overrightarrow{CB}$ — loại A.
Xét các cặp còn lại:
- B: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng (cùng đi từ phía $A$ về $B$, vì $M$ nằm trên đoạn $AB$) — cùng hướng.
- C: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$.
- D: $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}$ ngược hướng vì $N$ nằm trên đoạn $AC$, $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$, ngược với $\overrightarrow{CA}$.
Vậy cặp vecto cùng hướng là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vecto $\vec{0}$ được coi là cùng phương với mọi vecto, và đây là vecto duy nhất có tính chất đó (mọi vecto khác $\vec{0}$ chỉ cùng phương với những vecto có phương song song với nó). Do đó có duy nhất một vecto (là $\vec{0}$) cùng phương với mọi vecto. Các mệnh đề B, C, D đều sai vì đều phủ nhận hoặc mở rộng sai tính chất duy nhất này.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ nên đường trung bình $MN\parallel AC$, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với mọi vecto có giá nằm trên đường thẳng $AC$. Các điểm nằm trên đường thẳng $AC$ là $A,P,C$ (vì $P$ là trung điểm của $CA$), nên các vecto cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ là: $\overrightarrow{NM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{CP}$. So sánh các đáp án: A thiếu $\overrightarrow{NM}$; B chứa $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$ (cùng phương với $AB$, không cùng phương với $AC$); D chứa $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MA},\overrightarrow{PN}$ (không cùng phương với $AC$). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng khi và chỉ khi điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tức $B$ thuộc đoạn $AC$. Khi đó $\overrightarrow{AB}$ đi từ $A$ đến $B$ và $\overrightarrow{BC}$ đi từ $B$ đến $C$ cùng chiều di chuyển trên đường thẳng. Nếu $A$ thuộc đoạn $BC$ hoặc $C$ thuộc đoạn $AB$ thì hai vectơ ngược hướng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ làm gốc tọa độ vecto. Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ (tính chất trực tâm). Ta có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Mặt khác $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$, tức hai vecto luôn cùng hướng với mọi tam giác không suy biến (và không cân để tránh trường hợp đặc biệt). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
$AC$ là đường chéo hình vuông cạnh $a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Vậy $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}$, $M$ là trung điểm $AC$ nên $BM$ là đường cao: $BM=\frac{a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$. Vậy $|\overrightarrow{BM}|=\frac{3a}{2}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=BC=a\sqrt{2}$ (hai cạnh của hình thoi) và góc $ABC=60^0$, nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ có góc đỉnh bằng $60^0$ là tam giác đều. Do đó $AC=AB=a\sqrt{2}$. Kiểm tra bằng định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^0=2a^2+2a^2-2\cdot 2a^2\cdot \frac{1}{2}=2a^2$, suy ra $AC=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, góc $ABC=60^0$. Tam giác $ABC$ có $BA=BC=a$ và góc đỉnh $B$ bằng $60^0$ nên là tam giác đều, suy ra $AC=a$, tức $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$. Đường chéo $BD$ ứng với góc $BAD=120^0$ nên $\left|\overrightarrow{BD}\right|=2a\sin \frac{120^0}{2}=2a\sin 60^0=a\sqrt{3}$. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AC}$ là một vecto còn $a$ là một số, không thể viết $\overrightarrow{AC}=a$ (đúng phải là $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$); B đúng vì $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{3}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ không cùng phương nên không bằng nhau; D sai vì $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\ne a\sqrt{3}$. Vậy khẳng định đúng là B. (Lưu ý: báo cáo trước cho rằng A cũng đúng là nhầm — A viết vecto bằng một số nên sai, không có mâu thuẫn với đáp án B.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, cạnh $AB$ song song với $CD$. Do đó $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{BA}$ (cùng nằm trên đường thẳng $AB$) và cùng phương với $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$ (nằm trên đường thẳng $CD$ song song với $AB$). Các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB}$ nằm trên các đường thẳng song song với $AD$, không song song với $AB$, nên không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ (theo hình: $A$ dưới phải, $B$ dưới trái, $C$ trái, $D$ trên trái, $E$ trên phải, $F$ phải), vectơ $\overrightarrow{AB}$ hướng sang trái với độ dài bằng cạnh lục giác. Xét các đáp án:
- A: $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{FA}$ có hướng khác $\overrightarrow{AB}$ (chỉ song song hoặc tạo góc), sai.
- B: $\overrightarrow{FO}$ hướng từ $F$ vào tâm $O$ (sang trái, độ dài bằng bán kính = cạnh), $\overrightarrow{OC}$ hướng sang trái độ dài bằng cạnh, $\overrightarrow{ED}$ hướng sang trái độ dài bằng cạnh. Cả ba đều bằng $\overrightarrow{AB}$, đúng.
- C: chứa $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{OF},\overrightarrow{CO},\overrightarrow{DE}$ ngược hướng, sai.
- D: $\overrightarrow{AF},\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AB}$, sai.
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{QM}=\vec{M}-\vec{Q}=\frac{\vec{E}+\vec{F}-\vec{H}-\vec{E}}{2}=\frac{\vec{F}-\vec{H}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HF}$; $\overrightarrow{PN}=\vec{N}-\vec{P}=\frac{\vec{F}+\vec{G}-\vec{G}-\vec{H}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HF}$. Vậy cả ba vectơ $\overrightarrow{QM},\overrightarrow{HF},\overrightarrow{PN}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{HF}$ → chọn B. Kiểm tra các phương án khác: A) $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{ME}=\frac{\vec{E}-\vec{F}}{2}$ ngược hướng; C) $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{G}-\vec{E}}{2}$ cùng hướng $\overrightarrow{QP}$ nhưng ngược hướng $\overrightarrow{GE}$; D) $\overrightarrow{FN}=\frac{\vec{G}-\vec{F}}{2}$ ngược hướng $\overrightarrow{NG}$.