Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $ABCD$, đường chéo $AC$ là phân giác của góc $\widehat{BAD}$, nên $\widehat{BAD}=2\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC$. Trong tam giác $ABD$ (đẳng cạnh $AB=AD=a$, góc đỉnh $A=120^{\circ }$), ta có $AC=2a\cos 60^{\circ }=a$. Vậy độ dài cần tìm bằng $a$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 13: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cos \widehat{BAD}=2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $I$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành) và $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$, khẳng định B đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{AD}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{BC}\ne 2\overrightarrow{CB}$; D sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=-(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})$ do $I$ là trung điểm cả hai đường chéo. Kết quả khớp với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}=(m+3n;2m+n)$. Suy ra hệ: $m+3n=5$ và $2m+n=5$. Giải: từ phương trình thứ hai $n=5-2m$, thay vào: $m+3(5-2m)=5\Rightarrow m+15-6m=5\Rightarrow -5m=-10\Rightarrow m=2$, khi đó $n=5-4=1$. Vậy $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$. Kiểm tra: $2(1;2)+(3;1)=(2+3;4+1)=(5;5)=\vec{c}$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Theo tính chất đường phân giác trong: $\overrightarrow{AD}=\frac{AC}{AB+AC}\overrightarrow{AB}+\frac{AB}{AB+AC}\overrightarrow{AC}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, khác với khẳng định $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$ nên sai. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 120^{\circ }=5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{35}{2}$. c) Đúng: $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. d) Đúng: $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã 102 dòng 25: S Đ Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường phân giác trong: $\overrightarrow{AD}=\frac{AC}{AB+AC}\overrightarrow{AB}+\frac{AB}{AB+AC}\overrightarrow{AC}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}\ne \frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 7\cos 120^{\circ }=-\frac{35}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $B$ là trung điểm $AI$ nên $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}=2\vec{b}$. Vì $AJ=\frac{2}{5}AC$ nên $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\vec{c}$. Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$.

Tính: $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}-2\vec{b}=-\frac{5}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$.
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\vec{c}-2\vec{b}$.

Điều kiện $\overrightarrow{IG}=-k\overrightarrow{IJ}$: $-\frac{5}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}=-k\left(-2\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\right)=2k\vec{b}-\frac{2k}{5}\vec{c}$.

So sánh hệ số: $2k=-\frac{5}{3}\Rightarrow k=-\frac{5}{6}$; kiểm tra $-\frac{2k}{5}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=-\frac{5}{6}$ (nhất quán).

Vậy $k=-\frac{5}{6}\approx -0,8$, trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh $a$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Vì $AB=BC=a$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ có góc ở đáy $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, do đó tam giác $ABC$ đều, suy ra $\widehat{BAD}=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$. Tính độ dài tổng vectơ: $$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}{|}^2=A{B}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2+a^2+2a^2\cos 120^{\circ }=2a^2-a^2=a^2.$$ Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=a$. Kết quả khớp với đáp án nguồn A (mã đề 0101, câu 16).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=AB\cdot AD\cdot \cos \widehat{BAD}=2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 17: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{35}{2}$ → Đúng. b) Theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$, suy ra $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, khác với khẳng định $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$ → Sai. c) Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Đúng. d) $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ → Đúng. Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 25 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 7\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{35}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{BD}{DC}=\frac{5}{7}$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, không phải $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử $\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$. Theo tọa độ: $\{\begin{array}{l}x+3y=5\\ 2x+y=5\end{array}$. Từ phương trình thứ hai $y=5-2x$, thay vào phương trình thứ nhất: $x+3(5-2x)=5\Rightarrow x+15-6x=5\Rightarrow -5x=-10\Rightarrow x=2$, suy ra $y=5-4=1$. Vậy $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$. Kiểm tra: $2(1;2)+(3;1)=(2+3;4+1)=(5;5)=\vec{c}$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=(\vec{I}-\vec{A})+3(\vec{I}-\vec{B})-(\vec{I}-\vec{C})=3\vec{I}-(\vec{A}+3\vec{B}-\vec{C})$. Với $A(5;-2),B(7;3),C(-9;1)$: $\vec{A}+3\vec{B}-\vec{C}=(5+21+9;-2+9-1)=(35;6)$. Với $I(x;0)$, biểu thức trở thành $(3x-35;-6)$, độ dài $\sqrt{(3x-35{)}^2+36}$ nhỏ nhất khi $3x-35=0$, tức $x=\frac{35}{3}$. Vậy $a=35,b=3$, $a+b=38$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, gốc tại $A$. Vì $B$ là trung điểm $AI$ nên $\overrightarrow{AI}=2\vec{b}$. Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Điểm $J$: $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\vec{c}$.

Tính: $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}-2\vec{b}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{3}$.
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\vec{c}-2\vec{b}=\frac{2}{5}(\vec{c}-5\vec{b})$.

Suy ra $\overrightarrow{IG}=\frac{5}{6}\overrightarrow{IJ}$. Mà $\overrightarrow{IG}=-k\overrightarrow{IJ}$ nên $-k=\frac{5}{6}$, tức $k=-\frac{5}{6}\approx -0,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$ (do $I$ là trung điểm $AC$). Vậy khẳng định C đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$ (hai đường chéo có trung điểm chung $I$). B sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{AD}$ (thực tế $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$). D sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=-(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})\ne \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}$ (trừ khi cả hai bằng $\overrightarrow{0}$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng.
a) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): a) Sai.
b) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): b) Sai.
c) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): c) Đúng.
d) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): d) Đúng. Thật vậy, vì $A{A}^{\prime }$ là đường kính của $(O)$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$; do $H$ là trực tâm nên $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$, suy ra $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24$.

b) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → Sai.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=24\ne 20$ → Sai.

d) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ → Đúng.

a) $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Tích vô hướng:
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(k\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}{|}^2+k|\overrightarrow{AC}{|}^2-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}(24k-32+36k-24)=\frac{1}{2}(60k-56)$.
Cho bằng 0: $k=\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$ → Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cos 45^{\circ }=24\ne 20$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5a)** Chọn hệ vectơ với gốc A, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.

- $M$ trên $AB$ với $AM=\frac{1}{3}AB$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{u}$.
- $N$ trên $CD$ với $DN=\frac{1}{2}DC$, mà $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec{u}$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $BMN$ thỏa $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{3}\left(\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)=\frac{11}{18}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}$.

Theo giả thiết: $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}=x\vec{v}$ nên $\overrightarrow{AI}=\vec{u}+x\vec{v}$; và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}=y\vec{u}+xy\vec{v}$.

Để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$ thì $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AG}$, tức:
$$y=\frac{11}{18},xy=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{1/3}{11/18}=\frac{6}{11}.$$

Vậy $x=\frac{6}{11},y=\frac{11}{18}$.

**Câu 5b)** Gọi $a$ là cạnh tam giác đều, đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(3;0)$, $C\left(\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ (chọn cạnh bằng 3).

- $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $N(1;0)$.
- $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $M\left(\frac{5}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Đường thẳng $AM$: điểm $\left(t\cdot \frac{5}{2};t\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Đường thẳng $CN$: $C+s(N-C)=\left(\frac{3}{2}-\frac{s}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}(1-s)\right)$.

Giao điểm $I$: giải hệ
$$\frac{5t}{2}=\frac{3}{2}-\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}t}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(1-s).$$
Từ phương trình thứ hai: $t=3(1-s)$. Thay vào phương trình thứ nhất: $\frac{5\cdot 3(1-s)}{2}=\frac{3-s}{2}\Rightarrow 15(1-s)=3-s\Rightarrow 12=14s\Rightarrow s=\frac{6}{7}$, $t=\frac{3}{7}$.

Suy ra $I=\left(\frac{15}{14};\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)$.

Tính các vectơ:
$$\overrightarrow{BI}=\left(\frac{15}{14}-3;\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)=\left(-\frac{27}{14};\frac{3\sqrt{3}}{14}\right),$$
$$\overrightarrow{IC}=\left(\frac{3}{2}-\frac{15}{14};\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)=\left(\frac{6}{14};\frac{18\sqrt{3}}{14}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{IC}=\frac{1}{196}\left[(-27)(6)+(3\sqrt{3})(18\sqrt{3})\right]=\frac{-162+162}{196}=0.$$

Vậy $\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{IC}=0$, tức $BI\perp IC$. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, bán kính $R$; $N$ là trung điểm của $BC$; đặt $\vec{m}=\overrightarrow{OM}$ với $|\vec{m}|=R$, và $\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ (đều có độ dài $R$).

Ta có:
$$M{B}^2+M{C}^2-2M{A}^2=|\vec{m}-\vec{b}{|}^2+|\vec{m}-\vec{c}{|}^2-2|\vec{m}-\vec{a}{|}^2.$$

Khai triển:
$$|\vec{m}-\vec{b}{|}^2=2R^2-2\vec{m}\cdot \vec{b},|\vec{m}-\vec{c}{|}^2=2R^2-2\vec{m}\cdot \vec{c},|\vec{m}-\vec{a}{|}^2=2R^2-2\vec{m}\cdot \vec{a}.$$

Cộng lại, phần $R^2$ triệt tiêu hoàn toàn $(2R^2+2R^2-4R^2=0)$, còn lại
$$f(M)=-2\vec{m}\cdot \vec{b}-2\vec{m}\cdot \vec{c}+4\vec{m}\cdot \vec{a}=2\overrightarrow{OM}\cdot (2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}).$$

Vì $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{ON}$ với $N$ là trung điểm $BC$, nên
$$2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ON})=2\overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{AN}.$$

Vậy
$$f(M)=-4\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AN}.$$

Do $M$ chạy trên đường tròn nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AN}\le |\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{AN}|=R\cdot AN$, dấu bằng khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AN}$.

Kết luận: $f(M)$ đạt giá trị nhỏ nhất
$$f_{\min }=-4R\cdot AN=-2R\sqrt{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2},$$
(vì $AN=\frac{1}{2}\sqrt{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}$ là độ dài trung tuyến), đạt được khi $M$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp với tia gốc $O$ cùng hướng với trung tuyến $\overrightarrow{AN}$, tức $\overrightarrow{OM}\parallel \overrightarrow{AN}$ cùng chiều ($N$ là trung điểm $BC$).

Kiểm tra: với tam giác đều cạnh $s$, $R=\frac{s}{\sqrt{3}}$, $AN=\frac{s\sqrt{3}}{2}$, khi đó $f_{\min }=-4\cdot \frac{s}{\sqrt{3}}\cdot \frac{s\sqrt{3}}{2}=-2s^2=-6R^2$, đúng bằng giá trị tính trực tiếp tại $M$ đối xứng với $A$ qua $O$: khi đó $MB=MC=R$ nên $M{B}^2+M{C}^2=2R^2$, $M{A}^2=4R^2$, $f=2R^2-8R^2=-6R^2$. ✓

Phân tích $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$ theo $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA}$. Phân tích $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}$ theo $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA}$. $M,N,P$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{MP}$. Giải ra $x=2$.

+) Chứng minh được $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$; $\Rightarrow \overrightarrow{CI}=\frac{1}{a+b+c}\left(a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}\right)$. Mặt khác $$\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{CG}=\frac{1}{a+b+c}\left(a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}\right)-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)$$ $IG$ vuông góc với $IC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IG}.\overrightarrow{IC}=0$ tương đương $$b(2a-b-c)+a(2b-a-c)=0\iff c=\frac{4ab-a^2-b^2}{a+b}$$ $BC=a=3$, $AC=b=5$, ta tính được $c=\frac{13}{4}$.