Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Biến đổi: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$, và $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$. Chọn một gốc $O$, ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\vec{A}+\vec{B}-2\vec{M}$; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\vec{C}-\vec{B}-\vec{B}+\vec{A}=\vec{A}+\vec{C}-2\vec{B}$. Tổng: $2\vec{A}+\vec{C}-2\vec{M}-\vec{B}$. Đẳng thức $=\overrightarrow{BA}=\vec{A}-\vec{B}$ cho $2\vec{A}+\vec{C}-2\vec{M}-\vec{B}=\vec{A}-\vec{B}\Rightarrow 2\vec{M}=\vec{A}+\vec{C}\Rightarrow \vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}$. Vậy $M$ là trung điểm $CA$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot (-8)+4\cdot 6=-24+24=0$, nên $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$. Kiểm tra các phương án khác: $|\vec{u}|=\sqrt{9+16}=5$, $|\vec{v}|=\sqrt{64+36}=10$ nên A sai; hai vecto không cùng phương vì $3\cdot 6-4\cdot (-8)=50\ne 0$ nên B sai; $-\vec{v}=(8;-6)\ne \vec{u}$ nên C sai. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\cdot (-8)+4\cdot 6=-24+24=0$, nên $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$ → A đúng. Kiểm tra các phương án khác: $|\vec{u}|=\sqrt{9+16}=5$, $|\vec{v}|=\sqrt{64+36}=10$, nên B sai; $-\vec{v}=(8;-6)\ne \vec{u}$, nên C sai; vì $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ với hai vecto khác 0 nên chúng không cùng phương, D sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Một vecto khác vecto không được xác định bởi một cặp điểm phân biệt (điểm đầu, điểm cuối): vecto AB với A ≠ B. Từ 8 điểm phân biệt, số cặp có thứ tự là 8 × 7 = 56 (không tính vecto AA = vecto không). Vậy có thể lập được 56 vecto khác vecto không, trùng với đáp án nguồn (56).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$. a) $\cos \widehat{BAC}=\frac{1\cdot 5+(-1)(-4)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{41}}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$ nên $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$ → Sai. b) Diện tích $=\frac{1}{2}\left|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5\right|=\frac{1}{2}$ → Đúng. c) Vì $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (tích có hướng bằng $1\ne 0$) nên ba điểm không thẳng hàng → Đúng. d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $A+C=B+D$, suy ra $D=A+C-B=(-1+4-0;2-2-1)=(3;-1)\ne (5;-3)$ → Sai. (Điểm $(5;-3)$ tương ứng $D=B+C-A$, tức tứ giác $ABDC$ mới là hình bình hành.) Khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$ nên $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\left|x_{AB}{y}_{AC}-y_{AB}{x}_{AC}\right|=\frac{1}{2}|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5|=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$ không cùng phương vì $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=1\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ nên $D=A+C-B=(3;-1)$, không phải $(5;-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=2.(-3)+(-1).4=-6-4=-10$. Đáp án B, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ khác véc tơ -không có điểm đầu A và điểm cuối B phân biệt, lấy từ 10 điểm đã cho. Số cách chọn điểm đầu là 10, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 9 cách. Vậy số véc tơ là $10\cdot 9=90$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=3\cdot 4+(-1)\cdot 0=12$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 5+(-3)\cdot 3=10-9=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là $\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos \left(\vec{u},\vec{v}\right)$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì J là trung điểm AC, K là trung điểm BD nên vectơ JK = ½(AB + DC) (theo vectơ). Do CD ⊥ AB nên |JK|² = ¼(AB² + CD²) = ¼(AB² + 16/9 AB²) = 25/36 AB², suy ra JK = 5/6 AB ≈ 0,83 AB. Vậy k = 5/6 ≈ 0,83, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (tính chất quen thuộc của trọng tâm). Do đó khẳng định đúng là phương án B. Các phương án còn lại đều sai vì từ đẳng thức đúng suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}$, không bằng $2\overrightarrow{GC}$ hay $\overrightarrow{GC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}$ và $-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành trong hình bình hành $ABCD$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (với $AC$ là đường chéo xuất phát từ đỉnh chung $A$). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $A(0;3)$, $B(3;3)$, $C(3;0)$. Khi đó $M(2;3)$ (vì $BM=1$ trên $AB$), $N(1;0)$ (vì $DN=1$ trên $CD$), $P(3;1,5)$ (trung điểm $BC$). Suy ra $\overrightarrow{NM}=(1;3)$, $\overrightarrow{NP}=(2;1,5)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=1\cdot 2+3\cdot 1,5=6,5$. Độ dài: $|\overrightarrow{NM}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{NP}|=\sqrt{4+2,25}=2,5$. Vậy $\cos (\overrightarrow{NM},\overrightarrow{NP})=\frac{6,5}{2,5\sqrt{10}}=\frac{2,6}{\sqrt{10}}\approx 0,8222\approx 0,82$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên hình chiếu của $\overrightarrow{AC}$ lên $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=A{B}^2=4^2=16$. Cách khác: đặt $A(0;0),B(4;0),D(0;3),C(4;3)$ thì $\overrightarrow{AB}=(4;0)$, $\overrightarrow{AC}=(4;3)$, tích vô hướng $=4\cdot 4+0\cdot 3=16$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, với $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=A{B}^2+0=3^2=9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABD có AB=AD=√5 và góc ABD=60° nên đều, suy ra BD=√5. Chọn tọa độ B(0,0), D(√5,0), A(√5/2, √15/2), tâm O(√5/2, 0), C(√5/2, −√15/2). Từ IC + 3ID = 0 suy ra I = (C+3D)/4 = (7√5/8, −√15/8). Khi đó AO = (0, −√15/2), BI = (7√5/8, −√15/8), tích vô hướng AO·BI = (−√15/2)(−√15/8) = 15/16 = 0,9375 ≈ 0,94, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $2(\vec{u}-\vec{v})+3\vec{v}-\vec{u}=2\vec{u}-2\vec{v}+3\vec{v}-\vec{u}=\vec{u}+\vec{v}$. Khớp đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0101, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (câu 4, mã đề 0101: B).