Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ (vì $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, cùng chiều, bằng nhau). Do đó theo quy tắc tam giác: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy C đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{AD}$ (đúng là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$); B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ chứ không phải $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; D sai vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{AC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 1+3\cdot 2=5+6=11$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$. Vậy khẳng định đúng là D, trùng với đáp án của đề (mã 0102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm $BC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án (mã 0101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 1+3\cdot 2=5+6=11$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A={\vec{a}}^2$, $B={\vec{b}}^2$, $x=\vec{a}\cdot \vec{b}$ (với $\vec{a},\vec{b}\ne \vec{0}$ nên $A,B>0$). Khai triển hai điều kiện:
$(3\vec{a}-5\vec{b})(2\vec{a}+\vec{b})=6A+3x-10x-5B=6A-7x-5B=0$.
$(\vec{a}+4\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=A-x+4x-4B=A+3x-4B=0$, suy ra $A=4B-3x$.
Thế vào phương trình đầu: $6(4B-3x)-7x-5B=0\Rightarrow 19B-25x=0\Rightarrow x=\frac{19B}{25}$.
Suy ra $A=4B-\frac{57B}{25}=\frac{43B}{25}$.
Do đó $\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{x}{\sqrt{AB}}=\frac{\frac{19B}{25}}{\sqrt{\frac{43B}{25}\cdot B}}=\frac{19/25}{\sqrt{43}/5}=\frac{19}{5\sqrt{43}}=\frac{19\sqrt{43}}{215}\approx 0,580$.
Giá trị này nằm trong $[-1;1]$ nên thỏa mãn, và vì $A,B>0$ nên hai vectơ đều khác vectơ không.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\vec{b}=(6;-2)$ nên $\vec{a}-2\vec{b}=(-2-6;1-(-2))=(-8;3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{a}.\vec{b}=(-2)(3)+(1)(-1)=-6-1=-7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;3)$, $\overrightarrow{AC}=(7;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 7+3\cdot (-1)=18$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Suy ra $\cos A=\frac{18}{3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{18}{30}=0,6$. Vậy $A=\arccos (0,6)\approx 53,13^{\circ }\approx 53^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng trong mặt phẳng tọa độ: nếu $\vec{u}=(x_1;y_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2)$ thì $\vec{u}\cdot \vec{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Điều này khớp với đáp án B và cũng trùng với bảng đáp án mã đề 102 (câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;4)$, $\overrightarrow{AD}=(x-2;y-1)$. Từ $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ suy ra $3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}=(-1+6;4+10)=(5;14)$, nên $\overrightarrow{AD}=\left(\frac{5}{3};\frac{14}{3}\right)$. Do đó $x=2+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}$, $y=1+\frac{14}{3}=\frac{17}{3}$, vậy $x+y=\frac{28}{3}$ và $P=3(x+y)=28$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (28).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng trong mặt phẳng tọa độ: nếu $\vec{u}=(x_1;y_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2)$ thì $\vec{u}.\vec{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Kết quả này trùng với đáp án A và bảng đáp án mã đề 101 (Câu 4: A).

a) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ suy ra $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, nên ${\left|\overrightarrow{AM}\right|}^2=\frac{1}{9}\left(4a^2+a^2+4\cdot \frac{a^2}{2}\right)=\frac{7a^2}{9}$, tức $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$. Vậy khẳng định a) SAI (phù hợp đáp án Mã 1103: a) S).
b) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$; từ $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, và $\overrightarrow{AP}=\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $9\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{a^2}{2}-\frac{8a^2}{15}+\frac{a^2}{3}-\frac{4}{15}\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}-\frac{10a^2}{15}=0$. Vậy $AM\perp PN$, khẳng định b) ĐÚNG (phù hợp đáp án Mã 1103: b) Đ).
c) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] Tam giác $ABC$ đều nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Khẳng định c) ĐÚNG (phù hợp đáp án Mã 1103: c) Đ).
d) [Lý giải AI, không phải lời giải chính thức của nguồn] Theo tính toán ở ý b), $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác với khẳng định d) của đề. Về mặt toán học d) SAI; tuy nhiên bảng đáp án chính thức Mã 1103 (trang 25) bị cắt, chỉ có hàng a), b), c) nên không có đáp án chính thức cho d).

(AI giải đề cho tôi)
Biến đổi: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$. Vì $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MC}$, ta được $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}$. Vậy $M$ là trung điểm của $CA$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$, đặt $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$ với $|\vec{b}|=1$, $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$ với $|\vec{c}|=x$, khi đó $\vec{b}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$. Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$, với gốc $A$: $C-M=-2(B-M)\Rightarrow 3M=2B+C$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $B-N=-2(A-N)\Rightarrow 3N=B+2A$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}}{3}$ và $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{b}-3\vec{c}}{3}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}=\frac{(2\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{b}-3\vec{c})}{9}=\frac{2|\vec{b}{|}^2-6\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}-3|\vec{c}{|}^2}{9}=\frac{2-\frac{5x}{2}-3x^2}{9}$. $AM\perp CN\iff 2-\frac{5x}{2}-3x^2=0\iff 6x^2+5x-4=0\iff x=\frac{1}{2}$ (nhận, $x>0$) hoặc $x=-\frac{4}{3}$ (loại). Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp đáp án chính thức Mã 1103, Câu 6 = C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn A làm gốc: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ với $|\vec{b}|=1$, $|\vec{c}|=x$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$.

Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $\vec{M}-\vec{c}=-2(\vec{M}-\vec{b})\Rightarrow \vec{M}=\frac{\vec{c}+2\vec{b}}{3}$, nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}+2\vec{b}}{3}$.

Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $\vec{N}-\vec{b}=-2\vec{N}\Rightarrow \vec{N}=\frac{\vec{b}}{3}$, nên $\overrightarrow{CN}=\frac{\vec{b}-3\vec{c}}{3}$.

$AM\perp CN\iff (\vec{c}+2\vec{b})\cdot (\vec{b}-3\vec{c})=0$
$\iff \vec{b}\cdot \vec{c}-3x^2+2-6\cdot \frac{x}{2}=0$
$\iff \frac{x}{2}-3x^2+2-3x=0\iff 6x^2+5x-4=0$
$\iff x=\frac{-5\pm 11}{12}$, với $x>0$ ta được $x=\frac{1}{2}$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 14: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh a. a) AB·AC = a·a·cos60° = a²/2 → đúng. b) N chia CA với CN:NA = 2:1 nên AN = (1/3)AC; AP = (4/15)AB. PN = AN − AP = (1/3)AC − (4/15)AB ≠ (4/15)AC − (1/3)AB → sai. c) AM = AB + BM = AB + (1/3)BC = (2/3)AB + (1/3)AC. AM·PN = [(2/3)AB + (1/3)AC]·[(1/3)AC − (4/15)AB] = (2/9 − 4/45)(a²/2) − 8a²/45 + a²/9 = a²/15 − 8a²/45 + 5a²/45 = 0 → AM ⊥ PN, đúng. d) |AM|² = (4/9)a² + (1/9)a² + 2·(2/3)(1/3)(a²/2) = 7a²/9 nên |AM| = a√7/3 ≠ a√7/6 → sai. Khớp đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 8: a Đ, b S, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = |AB||AC|cos60° = a²·(1/2) = a²/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
AN = (1/3)AC, AP = (4/15)AB nên PN = AN − AP = (1/3)AC − (4/15)AB, khác khẳng định đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
AM = (2/3)AB + (1/3)AC; AM·PN = 0 nên AM ⊥ PN.
d) (AI giải đề cho tôi)
|AM|² = 7a²/9 nên |AM| = a√7/3, không phải a√7/6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}$. Nếu $M$ là trung điểm $CA$ thì $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}$, khi đó $\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BM}$, thỏa mãn. Vậy $M$ là trung điểm $CA$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ với $|\vec{b}|=1$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ với $|\vec{c}|=x$, và $\vec{b}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$.

Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $\vec{c}-\overrightarrow{AM}=-2(\vec{b}-\overrightarrow{AM})\Rightarrow 3\overrightarrow{AM}=2\vec{b}+\vec{c}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$.

Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $\vec{b}-\overrightarrow{AN}=-2(0-\overrightarrow{AN})\Rightarrow 3\overrightarrow{AN}=\vec{b}$, tức $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}}{3}$, nên $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\vec{c}=\frac{\vec{b}-3\vec{c}}{3}$.

Điều kiện $AM\perp CN$: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}=0$:
$$(2\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{b}-3\vec{c})=2|\vec{b}{|}^2-6\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}-3|\vec{c}{|}^2=2-5\cdot \frac{x}{2}-3x^2=0.$$
Suy ra $6x^2+5x-4=0$, giải được $x=\frac{-5+\sqrt{25+96}}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ (nhận nghiệm dương).

Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

- Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $M=\frac{2B+C}{3}=\left(\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$.
- Từ $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$: $N=\frac{1}{3}C=\left(\frac{a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$.
- $P$ trên $AB$ với $AP=\frac{4a}{15}$: $P=\left(\frac{4a}{15};0\right)$.

a) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$, $\overrightarrow{PN}=\left(\frac{a}{6}-\frac{4a}{15};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)=\left(-\frac{a}{10};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$. Tích vô hướng: $-\frac{5a^2}{60}+\frac{3a^2}{36}=0$, nên $AM\perp PN$. Đúng.

b) $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{28a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$. Sai.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, khác $\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Sai.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $M\left(\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$, $N\left(\frac{a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$, $P\left(\frac{4a}{15};0\right)$: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=\frac{5a}{6}\cdot \left(-\frac{a}{10}\right)+\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$ nên $AM\perp PN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}$, không bằng $\frac{a\sqrt{7}}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $a$ có góc $A=60^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, khác biểu thức trong đề.