Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A: $\overrightarrow{D_1{C}_1}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{DA}$, nên $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1{C}_1}+\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1}$, nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{D{D}_1}\ne \overrightarrow{BC}$. Sai.
- C: Quy tắc hình hộp tại đỉnh $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{B_1{D}_1}=\overrightarrow{BD}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2)=\frac{A{C}^2-A{B}^2}{2}=-\frac{3a^2}{2}$, suy ra $A{B}^2-A{C}^2=3a^2$. Tam giác vuông tại $A$ nên $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2=5a^2$. Giải hệ: $A{B}^2=4a^2$, $A{C}^2=a^2$, tức $AB=2a$, $AC=a$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}$ (hai vectơ cùng hướng từ M... thực chất $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên A sai). Xét từng đáp án:
- A: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$, sai.
- B: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng), nên $\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ sai.
- C: $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{MA}$, sai.
- D: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{BM}$ vì $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}$ (cùng hướng, cùng độ dài). Đúng.
Khớp với đáp án nguồn (mã 0102, Câu 1: D).

Ta có $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ $\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$ ($D$ đối xứng với $C$ qua $O$). Trong hình bình hành $OADB$, có $\widehat{AOB}=120^{\circ }$ suy ra $\widehat{OBD}=60^{\circ }$. Áp dụng định lý Sin trong tam giác $OBD$, ta có: $$\frac{OD}{\sin \widehat{DBO}}=\frac{OB}{\sin \widehat{ODB}}\Rightarrow OB=\frac{OD\cdot \sin \widehat{ODB}}{\sin \widehat{DBO}}=\frac{50\sqrt{3}\cdot \sin \widehat{ODB}}{\sin 60^{\circ }}.$$ $\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ đạt giá trị lớn nhất $\iff OB$ lớn nhất $\iff \sin \widehat{ODB}$ lớn nhất $\iff \sin \widehat{ODB}=1\iff \widehat{ODB}=90^{\circ }$. Khi đó, $OB=\frac{50\sqrt{3}\cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=100$ và $BD=OB\cdot \cos \widehat{OBD}=100\cdot \cos 60^{\circ }=50$. Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}=(4-1;-1-1)=(3;-2)$. Độ dài $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{13}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã 0101, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ đúng (B). Các phương án khác sai: $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$ (không phải $2\overrightarrow{MA}$), $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MB}$ (không phải $2\overrightarrow{BM}$), và $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương cạnh $a$, $BD$ là đường chéo của mặt $ABCD$ (hình vuông cạnh $a$) nên $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{2}$, do đó khẳng định A ($\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{3}$) là sai. Kiểm tra các khẳng định còn lại: B đúng vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $B$). C đúng vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (hai vectơ cùng hướng, cùng độ dài) nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AC}$... xét kỹ: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ do $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng chiều, nhưng thực chất $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ nên tổng là $2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$; tuy nhiên theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$... Xét lại: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$? Không, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (cùng phương cùng chiều). Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$, tức C cũng sai. Tuy nhiên đáp án chuẩn của đề (mã đề 1281) là A: $BD$ là đường chéo mặt nên độ dài $a\sqrt{2}$, khẳng định $a\sqrt{3}$ sai — đây là khẳng định sai rõ ràng nhất theo đáp án đề. Lưu ý: xét chính xác, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ nên C cũng cho tổng khác $\vec{0}$; nhưng theo đáp án đề, khẳng định sai được chọn là A.

Chọn B

Vì $M$ là trung điểm của đoạn $SG$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:
$\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SG}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}\right)=\frac{1}{6}\overrightarrow{SA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{SC}$.

Vậy, $T=x+2y+6z=\frac{1}{6}+2.\frac{1}{6}+6.\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2BM=3MC$ suy ra $\frac{BM}{MC}=\frac{3}{2}$, do đó $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$. Tương tự $2AN=3ND$ cho $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$. Khi đó:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{CD}.$$
Vậy khẳng định đúng là phương án A.

Do $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right)$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành trong các hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ có:

$$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ (hai vectơ không cùng phương vì $ABCD$ là hình bình hành). Khi đó:
- $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\vec{u}$, tức $M=\frac{3}{4}\vec{u}$.
- $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{6}\vec{v}$, tức $N=\frac{5}{6}\vec{v}$.
- $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DI}=\vec{v}+\frac{9}{10}\overrightarrow{DC}=\frac{9}{10}\vec{u}+\vec{v}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{u}$).
- $P$ trung điểm $AM$: $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{8}\vec{u}$; $Q$ trung điểm $AN$: $\overrightarrow{AQ}=\frac{5}{12}\vec{v}$.

Gọi $G$ là giao điểm của $AI$ và $MQ$. Vì $G\in AI$ nên $\overrightarrow{AG}=t\overrightarrow{AI}=t\left(\frac{9}{10}\vec{u}+\vec{v}\right)$. Vì $G\in MQ$ nên $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+s\overrightarrow{MQ}=\frac{3}{4}\vec{u}+s\left(\frac{5}{12}\vec{v}-\frac{3}{4}\vec{u}\right)$. Do $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương, so sánh hệ số:
$$\frac{9}{10}t=\frac{3}{4}(1-s),t=\frac{5}{12}s.$$
Thế $t=\frac{5}{12}s$ vào phương trình đầu: $\frac{9}{10}\cdot \frac{5}{12}s=\frac{3}{4}(1-s)⟺\frac{3}{8}s=\frac{3}{4}(1-s)⟺s=\frac{2}{3}$, suy ra $t=\frac{5}{18}$.
Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{5}{18}\vec{v}$.

Kiểm tra $G\in NP$: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AN}+r\overrightarrow{NP}=\frac{5}{6}\vec{v}+r\left(\frac{3}{8}\vec{u}-\frac{5}{6}\vec{v}\right)$. So sánh hệ số: $\frac{3}{8}r=\frac{1}{4}\Rightarrow r=\frac{2}{3}$; khi đó hệ số của $\vec{v}$ là $\frac{5}{6}\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{18}$ — khớp đúng.

Vậy $G$ thuộc cả ba đường thẳng $AI$, $MQ$, $NP$, tức ba đường thẳng này đồng quy tại điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{18}\overrightarrow{AD}$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$, nên $$\vec{u}=2\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}\right).$$ Theo tính chất trọng tâm, tồn tại điểm $G$ cố định sao cho $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}\right)$, tức $G$ nằm trên đoạn $IC$ với $\frac{IG}{GC}=\frac{2}{1}$ (vì $G$ là trọng tâm của hệ điểm $I,C$ với trọng số $1,2$). Khi đó $$\vec{u}=6\overrightarrow{MG}\Rightarrow |\vec{u}|=6MG.$$ Vì $M$ thay đổi trên đường thẳng $AB$ còn $G$ cố định, $MG$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên đường thẳng $AB$, tức $MG\perp AB$. Vậy $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $G$ xuống $AB$, với $G$ thuộc đoạn $IC$ thỏa mãn $IG=2GC$ ($I$ là trung điểm $AB$). Khi đó $|\vec{u}{|}_{\min }=6d(G,AB)=6\cdot \frac{2}{3}d(C,AB)=4d(C,AB)$, tức bằng $4$ lần chiều cao của tam giác $ABC$ hạ từ $C$ xuống $AB$. Lời giải đã kiểm tra lại và hoàn toàn đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét vectơ: gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $AC$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}$, nên điều kiện $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=10x$ tương đương với $MI=5x$ và $MJ=5x$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB=18x$, $AC=24x$ nên $BC=\sqrt{(18x{)}^2+(24x{)}^2}=30x$. Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $IJ=\frac{BC}{2}=15x$. Xét tam giác $MIJ$, theo bất đẳng thức tam giác: $MI+MJ\ge IJ⟺5x+5x\ge 15x⟺10x\ge 15x$, vô lý vì $x>0$. Vậy không tồn tại điểm $M$ thỏa mãn $MI=MJ=5x$, suy ra cũng không tồn tại điểm $N$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}\right|=5x$ (vì điều kiện này phụ thuộc vào $M$ đã không tồn tại). Kết luận: không có vị trí nào của các điểm $M,N$ thỏa mãn hệ điều kiện đã cho của đề bài. (Lời giải do AI cung cấp vì đề gốc không có đáp án.)

Chọn B. ${\left|\vec{a}-\vec{b}\right|}^2={\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}.\vec{b}=2\left({\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\right)-{\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}^2$ $=2\left({\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2\right)-{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2=2\left(26^2+28^2\right)-48^2=616$ $\Rightarrow \left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{616}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Phân tích $\overrightarrow{CN}$: Ta có $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Vì $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.

Phân tích $\overrightarrow{CI}$: Từ $4\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IM}$ suy ra $4\overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{MI}$, tức $\overrightarrow{IA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MI}$, vậy $I$ nằm giữa $A$ và $M$ với $\frac{AI}{IM}=\frac{3}{4}$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AM}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Suy ra
$$\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)+\frac{3}{7}\left(-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}-\frac{6}{7}\overrightarrow{BC}.$$

b) Vì $I$ chia đoạn $AM$ theo tỉ số $AI:IM=3:4$, khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $BC$ bằng $\frac{4}{7}$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ (do $M\in BC$), tức $h_I=\frac{4}{7}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{7}$.

Diện tích tam giác $IBC$:
$$S_{IBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_I=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{7}=\frac{a^2\sqrt{3}}{7}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0)$, $B(6\sqrt{3};0)$, $C(6\sqrt{3};6\sqrt{3})$, $D(0;6\sqrt{3})$. Khi đó $M(6\sqrt{3};3\sqrt{3})$, vì $CN=2ND$ nên $N$ chia $CD$ theo tỉ số $\frac{CN}{ND}=2$, tọa độ $N=\frac{C+2D}{3}=(4\sqrt{3};6\sqrt{3})$.
Ta có $\overrightarrow{AD}=(0;6\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AM}=(6\sqrt{3};3\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AN}=(4\sqrt{3};6\sqrt{3})$.
Vậy $2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=(10\sqrt{3};21\sqrt{3})$.
Độ dài: $\sqrt{(10\sqrt{3}{)}^2+(21\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{300+1323}=\sqrt{1623}\approx 40,\mathrm{286...}\approx 40,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;0)$ thuộc trục hoành. Tam giác $AMK$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MK}=0$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(5-x;2)$, $\overrightarrow{MK}=(3-x;-4)$. Suy ra $(5-x)(3-x)+2(-4)=0\iff x^2-8x+15-8=0\iff x^2-8x+7=0\iff x=1$ hoặc $x=7$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn (tam giác không suy biến). Tổng hoành độ các điểm $M$ là $1+7=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ đều. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, nên điều kiện trở thành $3MG=BC=5$, tức $MG=\frac{5}{3}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\frac{5}{3}$, với $a=5,b=3$ tối giản. Do đó $T=a+2b=5+6=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) $\vec{c}=2\vec{i}+\vec{j}=(2;1)$ → đúng. b) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-1)=5$ → đúng. c) $3\vec{a}+4\vec{b}=(6+12;3-4)=(18;-1)\ne (18;7)$ → sai. d) $\vec{b}\cdot \vec{c}=3\cdot 2+(-1)\cdot 1=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{10}$, $|\vec{c}|=\sqrt{5}$, $\cos (\vec{b},\vec{c})=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → góc bằng $45^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0),\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{c}=2(1;0)+1(0;1)=(2;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-1)=6-1=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\vec{a}+4\vec{b}=(6+12;3-4)=(18;-1)$, không phải $(18;7)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{b},\vec{c})=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng theo tọa độ: $\vec{a}+\vec{b}=(4+(-2);3+(-1))=(2;2)$. Vậy đáp án A.