Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ luôn đúng với mọi ba điểm $A,B,C$. Các phương án khác sai: B đúng phải là $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$; D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$:
- A sai: Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $\left(\vec{a},\vec{b}\right)=0^{\circ }$ (cùng chiều) hoặc $180^{\circ }$ (ngược chiều), không phải luôn là $180^{\circ }$.
- B đúng: Nếu tồn tại $k\in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$ thì theo định nghĩa hai vectơ cùng phương, $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
- C sai: Đẳng thức $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$ chỉ xảy ra khi $\vec{a},\vec{b}$ cùng chiều; nói chung chỉ có bất đẳng thức $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\le \left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$.
- D sai: $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ nghĩa là $\vec{a}\perp \vec{b}$ (hoặc một vectơ bằng $\vec{0}$), không suy ra $\vec{a}=-\vec{b}$.
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 4101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\vec{a}+2\vec{b}{)}^2={\vec{a}}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4{\vec{b}}^2$. Với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=5$ thì ${\vec{a}}^2={\vec{b}}^2=25$, và $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 5\cdot \cos 120^{\circ }=25\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{25}{2}$. Do đó $(\vec{a}+2\vec{b}{)}^2=25+4\cdot (-\frac{25}{2})+4\cdot 25=25-50+100=75$. Kết quả trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh a, ∠ABD=60° nên tam giác ABD đều, BD=a, AC=a√3, AO=OC=a√3/2. a) AB−AC=CB≠BC nên Sai. b) O là tâm đối xứng nên OA+OC=0, OB+OD=0, tổng bằng 0, Đúng. c) CB+CD=2CO=CA nên |CB+CD|=AC=a√3, Đúng. d) Với tọa độ A(0;a√3/2), B(−a/2;0), D(a/2;0), C(0;−a√3/2): AO=(0;−a√3/2), CD=(a/2;a√3/2), tích vô hướng AO·CD=−3a²/4≠3a²/4 nên Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 4101: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB−AC=CB (quy tắc hiệu), còn BC=−CB, nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
O là giao hai đường chéo của hình thoi nên OA+OC=0 và OB+OD=0, do đó tổng bốn vectơ bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
CB+CD=2CO=CA. Vì tam giác ABD đều (góc ABD=60°, AB=AD=a) nên BD=a và AC=a√3, do đó |CB+CD|=a√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;a√3/2), B(−a/2;0), D(a/2;0), C(0;−a√3/2). Khi đó AO=(0;−a√3/2), CD=(a/2;a√3/2), nên AO·CD=−3a²/4, khác 3a²/4.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo từ $A$ đến $C$). Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $GA=2GM$, tức $G$ nằm giữa $A$ và $M$ và $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}$ (vì $\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{GM}$ nên $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MG}=3\overrightarrow{MG}$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tam giác cân tại A nên $AB=AC$ về độ dài nhưng hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ khác phương nên không bằng nhau. b) Đúng: theo định nghĩa tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}=\mathrm{4.4.}\cos 120^0=-8$. c) Đúng: M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. d) Sai: $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).(\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-A{B}^2+\frac{3}{4}A{C}^2-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{3}{4}(-8)-16+12+8\right]=\frac{1}{2}(-2)=-1\ne 1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ khác phương nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$ dù $AB=AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa tích vô hướng, giá trị bằng $\mathrm{4.4.}\cos 120^0=-8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BE}=-1$, không bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh 2, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=2$, $AC=2\sqrt{2}$, góc $BAC=45°$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 45°=2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4$. Cách khác: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=|AB{|}^2+0=4$ vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $A=\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3.$

b) $B=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})={\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{b}\cdot \vec{a}-2{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{b}{|}^2=4+(-3)-2\cdot 3=-5.$

Vậy $A=-3$, $B=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $ABCD$ (các đỉnh theo thứ tự), hai cạnh $AD$ và $BC$ song song. Vectơ $\overrightarrow{AD}$ đi từ $A$ đến $D$ và vectơ $\overrightarrow{BC}$ đi từ $B$ đến $C$ cùng chiều với chiều đi quanh tứ giác, nên chúng cùng hướng. Do đó A sai, B đúng. C và D sai vì hình thang không có $AD=CB$ (ngược hướng) hay $AD=AB$ (không song song).

Chọn B
${\left|\vec{a}-\vec{b}\right|}^2={\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=2\left({\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2\right)-{\left(\vec{a}+\vec{b}\right)}^2$
$=2\left({\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2\right)-{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2=2\left(26^2+28^2\right)-48^2=616$
$\Rightarrow \left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{616}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 2061, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành tại $B$ với $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Đề 1061, Câu 9: C).

Đẳng thức đúng là: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Đáp án: 13.
Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, $CD$.
Ta có: $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0\iff 2\overrightarrow{MP}.2\overrightarrow{MQ}=0\iff \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MQ}=0$.
Nếu $M$ không trùng với $P$, $Q$ thì $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MQ}=0\iff MP\perp MQ$. Do đó $M$ thuộc đường tròn đường kính $PQ$.
Nếu $M$ trùng với $P$ hoặc $Q$ thì hiển nhiên $M$ thuộc đường tròn đường kính $PQ$.
Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$.
Suy ra: $P{Q}^2=\frac{1}{4}{\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)}^2=\frac{1}{4}\left(A{D}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{4}\left(A{D}^2+B{C}^2+2.0\right)=\frac{1}{4}\left(2^2+3^2\right)=\frac{13}{4}$.
$\Rightarrow PQ=\frac{\sqrt{13}}{2}$.
Vậy điểm $M$ luôn nằm trong một đường tròn cố định có bán kính bằng $R=\frac{\sqrt{13}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (vì $AB\parallel CD$ và $AB=CD$, hai vecto cùng hướng từ $B$ đến $A$ và từ $C$ đến $D$). Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã 0102, Câu 6: A).

Đáp án: 25.
Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$.
Ta có: $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0\iff 2\overrightarrow{MP}.2\overrightarrow{MQ}=0\iff \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MQ}=0$.
Nếu $M$ không trùng với $P,Q$ thì $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MQ}=0\iff MP\perp MQ$. Do đó $M$ thuộc đường tròn đường kính $PQ$.
Nếu $M$ trùng với $P$ hoặc $Q$ thì hiển nhiên $M$ thuộc đường tròn đường kính $PQ$.
Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$.
Suy ra: $P{Q}^2=\frac{1}{4}{\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)}^2=\frac{1}{4}\left(A{D}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{4}\left(A{D}^2+B{C}^2+2.0\right)=\frac{1}{4}\left(3^2+4^2\right)=\frac{25}{4}$.
$\Rightarrow PQ=\frac{\sqrt{25}}{2}$.
Vậy điểm $M$ luôn nằm trong một đường tròn cố định có bán kính bằng $R=\frac{\sqrt{25}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: A đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$; B đúng vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$; C đúng vì $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$, đổi dấu hai vế: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})$... kiểm tra trực tiếp: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$, đúng. D sai vì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$ (hai véc-tơ đối nhau, $A,B$ phân biệt). Vậy khẳng định sai là D, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=c,AC=b$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$, và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Suy ra $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{b^2-c^2}{2}=-\frac{3a^2}{2}$, tức $c^2-b^2=3a^2$. Kết hợp $b^2+c^2=B{C}^2=5a^2$ (tam giác vuông tại $A$), ta được $c^2=4a^2,b^2=a^2$, nên $AB=2a,AC=a$. Đáp án D.