Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

Lời giải:
Gọi điểm $I$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

$\iff 3\overrightarrow{IA}+5\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}\iff 8\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{AB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}$.

Vậy điểm $I$ thuộc đoạn $AB$ và $IA=\frac{5}{8}\cdot AB=\frac{5}{8}\cdot 40=25$, $IB=15$.

Ta có $T=3M{A}^2+5M{B}^2=3{\overrightarrow{MA}}^2+5{\overrightarrow{MB}}^2=3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+5{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2$

$=8M{I}^2+3I{A}^2+5I{B}^2+2\overrightarrow{MI}\left(\underset{\vec{0}}{\underbrace{3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}}}\right)=8M{I}^2+3I{A}^2+5I{B}^2$. (0,25)

Ta có $\left(3I{A}^2+5I{B}^2\right)$ là hằng số do ba điểm $A,B,I$ cố định.

Do đó: $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $\iff 8M{I}^2$ nhỏ nhất $\iff MI$ bé nhất $\iff$ Điểm $M$ trùng với điểm $I$.

Khi đó giá trị $T$ nhỏ nhất là: $T_{\min }=3I{A}^2+5I{B}^2=3\cdot 25^2+5\cdot 15^2=3000$. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có $AB=AC=2$ và góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Khi đó:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$, khớp với đáp án 10.B trong bảng đáp án. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
a) Theo quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$. Đúng.
b) $|\overrightarrow{BD}|=BD=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông), không bằng $2a$. Sai.
c) Góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là $135^{\circ }$ (vì $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}$), nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{DB}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-a^2\ne a^2$. Sai.
d) Gọi $O$ là tâm hình vuông, ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$, nên $T=4|\overrightarrow{MO}|\ge 0$, đạt giá trị nhỏ nhất $T=0$ khi $M\equiv O$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$, không phải $2025a$. Sai.
Kết quả khớp đáp án chính thức (Phần 2, Câu 2: D-S-S-S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}\ne 2a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{DB}=a\cdot a\sqrt{2}\cos 135^{\circ }=-a^2\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vectơ bằng $4\overrightarrow{MO}$ nên $T_{\min }=0$ khi $M$ là tâm hình vuông, không phải $2025a$.

Lời giải:



Ta có: $\overrightarrow{KA}-3\overrightarrow{KB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{KA}=3\overrightarrow{KB}$

Suy ra: $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{KB}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{KA}\right|=3\left|\overrightarrow{KB}\right|$ (0,25)

(Giải thích cách khác đúng vẫn tính điểm) (0,25)

Lời giải:
Gọi điểm $I$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

$\iff 3\overrightarrow{IA}+5\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}\iff 8\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{AB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}$.

Vậy điểm $I$ thuộc đoạn $AB$ và $IA=\frac{5}{8}\cdot AB=\frac{5}{8}\cdot 40=25$, $IB=15$.

Ta có $T=3M{A}^2+5M{B}^2=3{\overrightarrow{MA}}^2+5{\overrightarrow{MB}}^2=3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+5{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2$

$=8M{I}^2+3I{A}^2+5I{B}^2+2\overrightarrow{MI}\left(\underset{\vec{0}}{\underbrace{3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}}}\right)=8M{I}^2+3I{A}^2+5I{B}^2$. (0,25)

Ta có $\left(3I{A}^2+5I{B}^2\right)$ là hằng số do ba điểm $A,B,I$ cố định.

Do đó: $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $\iff 8M{I}^2$ nhỏ nhất $\iff MI$ bé nhất $\iff$ Điểm $M$ trùng với điểm $I$.

Khi đó giá trị $T$ nhỏ nhất là: $T_{\min }=3I{A}^2+5I{B}^2=3\cdot 25^2+5\cdot 15^2=3000$. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đoạn thẳng AB cho trước, ta có thể tạo ra hai véc tơ: $\overrightarrow{AB}$ (điểm đầu A, điểm cuối B) và $\overrightarrow{BA}$ (điểm đầu B, điểm cuối A). Cả hai đều khác $\vec{0}$ vì A ≠ B. Vậy có 2 véc tơ khác $\vec{0}$, đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (9.C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (các cặp vectơ đối nhau bằng nhau). Riêng $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo, chúng có phương khác nhau nên $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 45^{\circ }=6\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) O là tâm hình vuông nên O là trung điểm AC, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ → đúng.
b) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$ → đúng.
c) $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ (góc của hình vuông), không phải $30^{\circ }$ → sai.
d) $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}$, và $BD$ là đường chéo hình vuông cạnh $a$ nên $|\overrightarrow{BD}|=a\sqrt{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}$, đường chéo hình vuông nên độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FE}$ (vì $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$... chứng minh trực tiếp như sau):

Cách 1: Với mọi điểm, ta có $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$ và $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EH}$. Do đó:
$$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EH})+(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF})=(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EG})+\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF},$$
vì $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EG}=\vec{0}$.

Cách 2: Ta có $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FH}$ và $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HF}$. Suy ra:
$$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FH})+(\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HF})=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}+(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HF})=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF},$$
vì $\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HF}=\vec{0}$.

Vậy $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}$ với mọi vị trí của 4 điểm $E,F,G,H$ (đpcm).

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{KP}$
$\iff \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{KM}=\vec{0}$
$\iff \overrightarrow{MM}=\vec{0}$ (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
(Giải thích do AI cung cấp, không có lời giải trong nguồn.) Trong hình bình hành $ABCD$ theo hình vẽ ($A$ trên trái, $B$ trên phải, $D$ dưới trái, $C$ dưới phải), ta có $AD\parallel BC$ và $AD=BC$, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Các đáp án còn lại sai: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo khác hướng; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng (thực tế $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$); $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ cũng ngược hướng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 102, Phần 1, Câu 3 = B, trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})=8\cdot 9\cdot \cos 150^{\circ }=72\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-36\sqrt{3}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=8$, $AD=6$ nên $BC=AD=6$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên theo định lí Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=10$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$ là giao hai đường chéo.
a) Đúng: $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.
b) Sai: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$, không phải $\overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}$).
c) Đúng: tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $45^{\circ }$.
d) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt{2}\ne 2a$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{BD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, độ dài bằng $a\sqrt{2}\ne 2a$.

$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}$
$\iff \overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\vec{0}$
$\iff \overrightarrow{GG}=\vec{0}$ (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (cạnh song song cùng chiều) nên B đúng; $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên C đúng; $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (cùng bằng $-\overrightarrow{AB}$) nên D đúng. Còn $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo có phương khác nhau nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ sai. Đáp án A, khớp đáp án nguồn (mã 101, Câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 45^{\circ }=6\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5$, $AD=12$, góc $A$ vuông nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$. Theo định lí Pythagoras: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=5^2+12^2=25+144=169$, suy ra $\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=13$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$.
a) $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$: Đúng.
b) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$: Đúng.
c) $△ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=BC=a$, góc $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=90^{\circ }\ne 30^{\circ }$: Sai.
d) $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông): Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=90^{\circ }$ vì $△ABC$ vuông cân tại $B$, không phải $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $AC=a\sqrt{2}$.