Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên tứ giác $ABCD$ có cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó $ABCD$ là hình bình hành (A đúng). Suy ra $DA=BC$ (B đúng) và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (D đúng). Với C: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ còn $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$, nói chung $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$ (hai vecto này không cùng hướng). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$ trên đường thẳng $AB$, do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng (cùng hướng từ $A$ đến $B$) → chọn A. Kiểm tra các phương án khác: B: $MN$ là đường trung bình của tam giác nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ chứ không phải $\overrightarrow{CB}$ → sai. C: $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng → sai. D: $N$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{CA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AC}$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.
- $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$: đúng, vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên hai vecto cùng hướng và cùng độ dài.
- $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$: đúng, do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, $AB=DC$ và cùng hướng.
- $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$: SAI, vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, hai vecto ngược hướng.
- $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$: đúng, do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ (cùng hướng, cùng độ dài).
Vậy đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ thì hai vecto có cùng điểm đầu $A$ và bằng nhau nên chúng có cùng điểm cuối, tức $B\equiv C$. Khi đó không tồn tại tam giác $ABC$ (ba điểm không phân biệt) nên các phương án A, B, C đều không đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ lục giác đều bán kính 1: $A(1;0),B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),C(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),D(-1;0),E(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),F(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),O(0;0)$.
- A: $\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{ED}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ → đúng.
- B: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AF}|=1$ (cạnh lục giác đều) → đúng.
- C: $\overrightarrow{OD}=(-1;0)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;0)$ → đúng.
- D: $\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ còn $\overrightarrow{OE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\overrightarrow{OB}$, hai vecto đối nhau, không bằng nhau → sai.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ là đường cao: $AM=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $2\left|\overrightarrow{AM}\right|=2AM=2a\sqrt{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nên $AB=BC=CA=a$.
a) $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ là một số (độ dài vecto) bằng $a$, còn $\overrightarrow{BC}$ là một vecto, nên khẳng định so sánh số với vecto là sai.
b) $\overrightarrow{AC}$ là vecto, không thể bằng số $a$, nên sai. (Đúng phải là $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$.).
c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (hai cạnh khác nhau của tam giác đều), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$, khẳng định sai.
d) Vì $AB=a$ nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=a$, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vế trái là độ dài (số) $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$, vế phải là vecto $\overrightarrow{BC}$; số không thể bằng vecto nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}$ là vecto, không thể bằng số $a$; chỉ có $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương, nên hai vecto không bằng nhau, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $a$ nên $AB=a$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=a$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (đảo chiều hai vế) → a đúng. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{CD}|$ → b đúng. Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ → d đúng; còn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ sai vì hai vecto này ngược hướng (câu c sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, đảo chiều hai vế được $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{CD}|$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{OA}\ne \overrightarrow{OC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$, tức $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang ABCD có AB ∥ CD. Giả thiết |AC| = |BD| nghĩa là hai đường chéo bằng nhau. Trong hình thang, hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi hình thang cân (điều kiện này tương đương với hai cạnh bên bằng nhau). Cụ thể: đặt hệ trục với A(0;0), B(b;0), D(d;h), C(c;h) với AB ∥ CD. Ta có AC² = c² + h², BD² = (d−b)² + h². |AC| = |BD| ⟺ c² = (d−b)² ⟺ |c| = |b−d|, tức hai cạnh bên AD² = d² + h² và BC² = (c−b)² + h² bằng nhau khi c = b−d (hoặc c = d−b, trường hợp suy biến). Vậy hình thang cân nên |BC| = |AD|.
a) Đúng: giả thiết cho |AC| = |BD| nên hai đường chéo có độ dài bằng nhau.
b) Đúng: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
c) Sai: vì hình thang cân nên hai cạnh bên AD và BC có độ dài bằng nhau (|BC| = |AD| theo kết luận của bài).
d) Đúng: đảo lại, nếu |BC| = |AD| (hai cạnh bên bằng nhau) thì hình thang cân, mà hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nên |AC| = |BD|.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết bài cho |AC| = |BD|, tức hai đường chéo AC và BD có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân, do đó ABCD là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau: |BC| = |AD| (đúng như kết luận của bài), do đó khẳng định hai cạnh bên không bằng nhau là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu |BC| = |AD| thì hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thang cân; hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau, suy ra |AC| = |BD|.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29:
a) Đúng. Hai vecto \overrightarrow{NA} và \overrightarrow{MA} cùng hướng về A; chúng bằng nhau khi và chỉ khi có cùng điểm đầu, tức N ≡ M.
b) Sai. Nếu \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} thì AB ∥ CD và AB = CD, suy ra tứ giác ABCD (không phải ABDC) là hình bình hành. Với tứ giác ABDC là hình bình hành thì cặp cạnh đối là AB với DC, tức \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}, không cho \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} (trừ trường hợp suy biến). Vậy khẳng định sai.
c) Đúng. \overrightarrow{AB} = $\vec{0}$ khi và chỉ khi A trùng B.
d) Đúng. Hai vecto đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng vecto không (trường hợp suy biến hai vecto không cũng thỏa).
a) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{MA} ⟺ hai vecto cùng điểm cuối A, cùng hướng, cùng độ dài ⟺ N ≡ M.
b) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ⟺ ABCD là hình bình hành, không phải ABDC. Nếu ABDC là hình bình hành thì \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}.
c) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{AB} = $\vec{0}$ ⟺ A ≡ B.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto đối nhau ⟺ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} ⟺ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 30: a) Đúng: $MN$ là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên $AD,BC$ của hình thang nên $MN\parallel AB\parallel CD$ (tính chất hình thang / đường trung bình). b), c), d): Xét các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu, điểm cuối lấy từ các điểm đã cho $A,B,C,D,M,N$ mà giá không trùng đường thẳng $AB$. Các giá song song với $AB$ chỉ là đường thẳng $CD$ (vì $CD\parallel AB$) và đường thẳng $MN$ (vì $MN\parallel AB$). Các vectơ nằm trên hai giá đó (khác $\vec{0}$) là: $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ — đúng 4 vectơ. Vậy khẳng định 'có 4 vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ mà giá không trùng đường thẳng $AB$' là đúng (b đúng), khẳng định 'có 5 vectơ' là sai (d sai). Về hướng: trong hình thang $ABCD$ (tên gọi theo thứ tự), $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$). Do đó chỉ có 1 vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ trên các giá không trùng $AB$, không phải 3, nên c sai. Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang nên $MN\parallel AB\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các giá song song với $AB$ (khác đường thẳng $AB$) là $CD$ và $MN$; các vectơ khác $\vec{0}$ trên đó là $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ — đúng 4 vectơ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong 4 vectơ trên, chỉ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ ($\overrightarrow{CD}$ ngược hướng), nên chỉ có 1 vectơ cùng hướng, không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có đúng 4 vectơ (như ở ý b), không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(b;0)$, $D(d;h)$, $C(c;h)$ với $h>0$ (vì $AB\parallel CD$). Ta có $|\overrightarrow{AC}{|}^2=c^2+h^2$, $|\overrightarrow{BD}{|}^2=(d-b{)}^2+h^2$, $|\overrightarrow{AD}{|}^2=d^2+h^2$, $|\overrightarrow{BC}{|}^2=(c-b{)}^2+h^2$.

a) Đề bài cho $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, tức hai đường chéo bằng nhau → đúng.

b) Từ $c^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2$ suy ra $c^2=(d-b{)}^2$, tức $c=\pm (d-b)$. Nếu $c=d-b$ thì $|BC{|}^2=(d-2b{)}^2+h^2=|AD{|}^2=d^2+h^2$ chỉ khi $d=b$, khi đó $D$ có hoành độ bằng $B$, hình thang suy biến (loại). Vậy $c=b-d$, khi đó $|AD{|}^2=d^2+h^2=|BC{|}^2=(c-b{)}^2+h^2=d^2+h^2$. Hai cạnh bên bằng nhau nên hình thang cân → đúng.

c) Vì hình thang cân nên $|AD|=|BC|$, khẳng định 'không bằng nhau' → sai.

d) Ngược lại, nếu $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AD}|$ thì $(c-b{)}^2=d^2$, tức $c=b\pm d$. Trường hợp $c=b+d$ thì $|CD|=|c-d|=b=|AB|$, tứ giác là hình bình hành, không phải hình thang (hai đáy phải khác nhau). Vậy $c=b-d$, suy ra $|AC{|}^2=(b-d{)}^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2=|BD{|}^2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết bài toán cho trực tiếp $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, tức hai đường chéo $AC$ và $BD$ có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;0),B(b;0),D(d;h),C(c;h)$, điều kiện $|AC|=|BD|$ cho $c^2=(d-b{)}^2$. Trường hợp $c=d-b$ dẫn đến hình thang suy biến, nên $c=b-d$, suy ra $|AD{|}^2=d^2+h^2=|BC{|}^2$. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ b), hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ có độ dài bằng nhau, không phải 'không bằng nhau'.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $|BC|=|AD|$ thì $(c-b{)}^2=d^2$. Trường hợp $c=b+d$ cho $|CD|=|AB|$ (hình bình hành, không phải hình thang), nên $c=b-d$, do đó $|AC{|}^2=(b-d{)}^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2=|BD{|}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. → Đúng.

b) Các điểm nằm trên đường thẳng AB là A, P, B; ngoài ra MN ∥ AB. Các vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (điểm đầu, điểm cuối lấy từ 6 điểm A, B, C, M, N, P) là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ — tất cả 8 vectơ (cùng phương bao gồm cả vectơ nằm trên đường thẳng song song với AB). Vậy khẳng định 'có 6 vectơ' là sai. → Sai.

c) Vì P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$, hai vectơ cùng hướng (không ngược hướng). → Sai.

d) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (còn $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ngược hướng). Vậy có đúng 3 vectơ. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$, không phải 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
P là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$, hai vectơ cùng hướng chứ không ngược hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PB}$ (vì $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$), tức là 3 vectơ.

(AI giải đề cho tôi)
Vườn ngoài ABCD là hình chữ nhật 25 m × 16 m; đường đi rộng 0,5 m mỗi phía nên vườn rau EFGH có kích thước (25 − 1) × (16 − 1) = 24 m × 15 m.
a) Các vectơ cùng phương với AB tạo từ 8 điểm: AB, BA, DC, CD, EF, FE, HG, GH — tổng cộng 8 vectơ, không phải 6 → sai.
b) |AC| = √(25² + 16²) = √881 ≈ 29,68 m < 30 m → sai.
c) |EF| = 24 m → đúng.
d) Diện tích vườn rau = 24 × 15 = 360 m². Lượng đạm cần: (360/25) × 2 = 28,8 kg. Chi phí: 28,8 × 24 000 = 691 200 đồng ≠ 700 000 đồng → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vectơ cùng phương với AB: AB, BA, DC, CD, EF, FE, HG, GH, không phải 6.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AC| = √(25² + 16²) = √881 ≈ 29,68 m < 30 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF là cạnh của vườn rau: 25 − 2·0,5 = 24 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích vườn rau 24 × 15 = 360 m²; cần 28,8 kg đạm; chi phí 28,8 × 24 000 = 691 200 đồng ≠ 700 000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$, tứ giác $AGCN$ có cặp cạnh $AN$ và $GC$ song song, bằng nhau nên là hình bình hành.

a) Sai. Các vectơ có điểm cuối là $G$ tạo từ 5 điểm $A,B,C,G,N$ là $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BG},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NG}$ — chỉ có 4 vectơ (không tính vectơ-không $\overrightarrow{GG}$).

b) Đúng. Vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$ nên $AN\parallel GC$ và $AN=GC$, do đó $AGCN$ là hình bình hành.

c) Đúng. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Hai đường chéo $AC$ và $GN$ của hình bình hành $AGCN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức tại $M$, nên $MG=MN$: $G$ và $N$ đối xứng qua $M$. (Kiểm tra: $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ vì $G$ là trọng tâm.)

d) Sai. $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GN}$, với $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{GN}=2\overrightarrow{GM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$, nên $\overrightarrow{BN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BM}$. Trung tuyến: $B{M}^2=\frac{2A{B}^2+2B{C}^2-A{C}^2}{4}=\frac{72+200-144}{4}=32\Rightarrow BM=4\sqrt{2}$. Vậy $BN=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ne 4\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vectơ có điểm cuối là $G$: $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BG},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NG}$ (không tính vectơ-không $\overrightarrow{GG}$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$ nên $AN\parallel GC$ và $AN=GC$, tứ giác $AGCN$ là hình bình hành.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $AGCN$ có hai đường chéo $AC$ và $GN$ cắt nhau tại trung điểm chung là $M$ (trung điểm $AC$), nên $MG=MN$, tức $G$ và $N$ đối xứng qua $M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BM}$ với $BM=4\sqrt{2}$ (trung tuyến: $B{M}^2=\frac{2\cdot 6^2+2\cdot 10^2-12^2}{4}=32$). Vậy $BN=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ne 4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: theo quy ước, vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $D$.
b) Đúng: $AD$ và $BC$ là hai cạnh đáy của hình thang nên $AD\parallel BC$; hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng nằm trên hai đường thẳng song song và cùng chiều (từ $A$ đến $D$ và từ $B$ đến $C$) nên cùng hướng.
c) Sai: có vô số vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ mà giá không trùng với giá của $\overrightarrow{AD}$ (mọi vectơ nằm trên mọi đường thẳng song song với $AD$, với mọi độ dài và hai chiều), không chỉ có 2 vectơ.
d) Đúng: vì $AD\parallel BC$ nên góc trong cùng phía $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot BC\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}BC=7\sqrt{3}$, suy ra $BC=7$, tức $\left|\overrightarrow{BC}\right|=7$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $D$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel BC$ (hai cạnh đáy) và hai vectơ cùng chiều nên $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có vô số vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ có giá không trùng với giá của $\overrightarrow{AD}$, không chỉ 2 vectơ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ABC}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$; $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}BC=7\sqrt{3}\Rightarrow BC=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$ tâm $I$, đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Tâm $I$ là trung điểm đường chéo nên $BI=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}=2,5$. Vậy $\left|\overrightarrow{BI}\right|=2,5$, trùng với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, cả ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đều nằm trên các đoạn dây thẳng đứng (dây ròng rọc song song với nhau), nên cả ba vectơ cùng phương thẳng đứng. Các cặp vectơ cùng phương là: $(\vec{a},\vec{b})$, $(\vec{a},\vec{c})$, $(\vec{b},\vec{c})$ — tổng cộng 3 cặp. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 3.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường tàu đi trong 5 giờ với vận tốc 30 km/h là $AB=30\cdot 5=150$ (km). Vì tàu đi từ $A$ theo hướng $N20^{\circ }W$ nên vecto $\overrightarrow{AB}$ có hướng $N20^{\circ }W$, do đó vecto $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng, tức $A$ nằm về phía $S20^{\circ }E$ so với $B$ và cách $B$ một khoảng 150 km. Vậy đáp số: 150.