Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 77, vectơ vận tốc thực tế ${\vec{v}}_a$ cùng chiều với vectơ dòng nước $\vec{v}$ (xuôi dòng), còn ${\vec{v}}_b$ ngược chiều $\vec{v}$ (ngược dòng) và có độ lớn lớn hơn. Gọi $u$ là vận tốc riêng của mỗi ca nô (hai ca nô có vận tốc riêng cùng độ lớn). Ca nô chạy ngược dòng có vận tốc thực tế $u-3,2$, ca nô chạy xuôi dòng có vận tốc thực tế $u+3,2$. Theo đề, ca nô có vận tốc thực tế gấp 4 lần vận tốc dòng nước chính là ca nô ngược dòng (ứng với ${\vec{v}}_b$ trên hình), do đó $$\left|{\vec{v}}_b\right|=4\cdot 3,2=12,8\text{ (km/h)}.$$ Suy ra vận tốc riêng $u=12,8+3,2=16$ (km/h), khi đó $\left|{\vec{v}}_a\right|=u+3,2=19,2$ (km/h). Vậy $\left|{\vec{v}}_b\right|=12,8$ (km/h), khớp với đáp số nguồn 12,8.

Đáp số: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$. Vậy C đúng.
- A sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}$ không thể rút gọn thành $\overrightarrow{BI}$ vì quy tắc ba điểm cần cùng điểm đầu/cuối: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}$, còn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}$ không rút gọn trực tiếp được và không bằng $\overrightarrow{BI}$.
- B sai: theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo từ $A$), không phải $\overrightarrow{BD}$.
- D sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$. Xét từng phương án: A. $OA=OB$: chỉ bảo đảm $O$ nằm trên trung trực của $AB$, không đủ vì $O$ không nhất thiết nằm trên đường thẳng $AB$. B. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$: suy ra $A=B$, vô lý. C. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}$: suy ra $A=B$, vô lý. D. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$: khi đó $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO}$, tức $O$ nằm giữa $A$ và $B$ với $OA=OB$, nên $O$ là trung điểm $AB$. Đây là điều kiện cần và đủ. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}$. Xét đáp án C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}$. Đẳng thức $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ tương đương $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$, tức $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}$, luôn đúng với mọi 4 điểm. Các đáp án khác: A tương đương $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$ (sai), B tương đương $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}$ (sai), D tương đương $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DB}$ (sai). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính chất trọng tâm: nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Do đó khẳng định đúng là B. A sai vì có $\overrightarrow{CG}$ thay vì $\overrightarrow{GC}$; C sai vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG}=\vec{0}$ nên còn lại $\overrightarrow{GC}\ne \vec{0}$; D sai vì vế phải là số $0$ chứ không phải vecto $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{IB}$.
- B: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}$ (quy tắc ba điểm) — đúng.
- C: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ — đúng.
- D: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ — đúng.
- A: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$ — sai.
Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$. Vì phép cộng vectơ có tính giao hoán, $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$, nên đáp án B đúng. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ (A sai); $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{AB}$ (C, D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$, suy ra $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$. Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Xét đáp án C: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}$, chọn C. (Kiểm tra A: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$; B, D sai vì $\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo quy tắc trung điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Vì $ABC$ đều cạnh $a$ nên đường cao $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ (đáp án D). Xét các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\ne \vec{0}$; B sai vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BC}$ (hai vectơ đối nhau, không bằng nhau); C sai vì $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$, quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Theo định lý Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{(4a{)}^2+(3a{)}^2}=\sqrt{25a^2}=5a$. Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ bằng $5a$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại các vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}$. Theo quy tắc đa giác, tổng các vectơ tạo thành một đường gấp khúc khép kín $A\to B\to C\to D\to E\to F\to A$ bằng $\vec{0}$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác vuông tại $A$ nên $AM=\frac{BC}{2}=6$. Theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và $GM=\frac{1}{3}AM=2$. Vậy $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2\cdot GM=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$. Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{DO}=\vec{0}$. Suy ra $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\vec{0}$, tức đáp án A đúng. Các phương án B, C, D sai vì chứa các vectơ như $\overrightarrow{CO}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA}$ không đối nhau theo cặp nên tổng khác $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu hai vế của từng đẳng thức, dùng $\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{YX}$.

A: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{CB}$. Vì có $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$ nên xích không khép kín: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\ne \vec{0}$ nói chung. Vậy A sai.

B: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FA}=\vec{0}$, nên B đúng.

C: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, nên C đúng.

D: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$, nên D đúng.

Vậy đẳng thức sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm các vectơ: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$; $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$. Khi đó tổng bằng $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MN}$. Vậy đáp án D.