Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$.

a) Theo quy tắc ba điểm, với mọi bộ ba điểm $R,A,J$ ta luôn có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$. Đúng.

b) Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$, còn $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$ nói chung. Sai.

c) Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$, còn $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$ nói chung. Sai.

d) Vì $ABIJ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{u}$, suy ra $\vec{J}=\vec{u}$, $\vec{I}=\vec{b}+\vec{u}$. Vì $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{v}$, suy ra $\vec{Q}=\vec{b}+\vec{v}$, $\vec{P}=\vec{c}+\vec{v}$. Vì $CARS$ là hình bình hành (theo thứ tự $C,A,R,S$) nên $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}$; đặt $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$ thì $\vec{S}=\vec{w}$ và $\vec{R}=\vec{w}-\vec{c}$. Khi đó:
$\overrightarrow{RJ}=\vec{J}-\vec{R}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{c}$; $\overrightarrow{IQ}=\vec{Q}-\vec{I}=\vec{v}-\vec{u}$; $\overrightarrow{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\vec{w}-\vec{c}-\vec{v}$.
Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{u}-\vec{w}+\vec{c})+(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{c}-\vec{v})=\vec{0}$. Đúng.

Kết luận: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm (điểm $A$ nằm giữa $R$ và $J$ trên đường đi), với mọi bộ ba điểm ta luôn có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$.
b) Sai. Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$. Mặt khác $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{BQ}\ne \overrightarrow{IQ}$ nói chung.
c) Sai. Quy tắc ba điểm cho $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$. Mặt khác $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{CS}\ne \overrightarrow{PS}$ nói chung.
d) Đúng. Chọn gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $ABIJ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=\vec{u}$, suy ra $\vec{J}=\vec{u}$, $\vec{I}=\vec{b}+\vec{u}$. Vì $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}=\vec{v}$, suy ra $\vec{Q}=\vec{b}+\vec{v}$, $\vec{P}=\vec{c}+\vec{v}$. Vì $CARS$ là hình bình hành (tứ giác $C,A,R,S$ theo thứ tự) nên $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{CS}$; đặt $\overrightarrow{AS}=\vec{w}$ thì $\vec{S}=\vec{w}$ và $\vec{R}=\vec{S}-\vec{c}=\vec{w}-\vec{c}$. Khi đó:
- $\overrightarrow{RJ}=\vec{J}-\vec{R}=\vec{u}-\vec{w}+\vec{c}$;
- $\overrightarrow{IQ}=\vec{Q}-\vec{I}=\vec{v}-\vec{u}$;
- $\overrightarrow{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\vec{w}-\vec{c}-\vec{v}$.
Cộng lại: $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=(\vec{u}-\vec{w}+\vec{c})+(\vec{v}-\vec{u})+(\vec{w}-\vec{c}-\vec{v})=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $BM=\frac{1}{2}BC$. Từ $4BD=3BM$ suy ra $BD=\frac{3}{4}BM=\frac{3}{8}BC$, do đó $\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$. Theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{AC}$, suy ra $AC=10$. Vì $ME\parallel AD$ (với $E\in AC$, $M\in BC$), áp dụng định lý Thales trong tam giác $CDA$: $\frac{CE}{EA}=\frac{CM}{MD}$. Ta có $CM=\frac{1}{2}BC$ và $MD=BM-BD=\frac{1}{2}BC-\frac{3}{8}BC=\frac{1}{8}BC$, nên $\frac{CE}{EA}=4$. Kết hợp $CE+EA=AC=10$ ta được $EA=2$, $CE=8$. Về mặt vectơ: $\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CE}$, do đó $\left|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{EM}\right|=CE=8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 8.

Đáp số: 173.

Đáp số: 36,4.

Đáp số: 4,47.

Đáp số: 11,3.

Đáp số: 0,71.

Đáp số: 2,24.

Đáp số: 6,18.

Đáp số: 139.

Đáp số: 7,07.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $k<0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ (với $\vec{a}\ne \vec{0}$), nên khẳng định C là sai. Các khẳng định A, B, D đều đúng theo định nghĩa tích của vecto với một số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overline{MN}=-3\overline{MP}$ suy ra $\overline{MP}=-\frac{1}{3}\overline{MN}$, tức $\overline{MP}$ ngược hướng $\overline{MN}$ và $MP=\frac{1}{3}MN$. Vậy $P$ nằm ngoài đoạn $MN$, phía đối diện với $N$ so với $M$, với $MN=3MP$. Xét các hình: Hình 1 và Hình 4 có $P$ nằm giữa $M$ và $N$ (cùng hướng) nên sai; Hình 2 có $P$ cùng phía với $N$ so với $M$ và $MP>MN$ nên sai. Hình 3 có thứ tự $N,\dots ,M,P$ với $MN=3$ đơn vị, $MP=1$ đơn vị, thỏa mãn $\overline{MN}=-3\overline{MP}$. Vậy đáp án là Hình 3, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\overline{AB}=-3\overline{AC}$, ta có $\overline{BC}=\overline{AC}-\overline{AB}=\overline{AC}-(-3\overline{AC})=4\overline{AC}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overline{BC}=4\overline{AC}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $I$ nằm giữa $B$ và $C$ với $BI=IC$, do đó $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra với điểm $O$ tùy ý: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$. Tương tự $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=3\overrightarrow{O{G}^{\prime }}$. Lấy hiệu: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{O{A}^{\prime }}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{O{B}^{\prime }}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{OC})=3\overrightarrow{O{G}^{\prime }}-3\overrightarrow{OG}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy đáp án D. Kiểm tra các phương án khác: A là phần đối của D nên bằng $-3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ (sai); B: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$... thực chất tổng này $=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ với các vecto không triệt tiêu theo cách ghép đó, không bằng $3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$; C tương tự sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn một điểm gốc $O$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})+(\vec{A}-\vec{E})=\vec{B}+\vec{D}-\vec{C}-\vec{E}$. Mặt khác $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}=(\vec{B}-\vec{C})+(\vec{D}-\vec{E})=\vec{B}+\vec{D}-\vec{C}-\vec{E}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ tùy ý, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}$. Do đó $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(b;0)$, $D(0;d)$, $C(b;d)$. Khi đó $I$ trung điểm $BC$: $I(b;\frac{d}{2})$; $K$ trung điểm $CD$: $K(\frac{b}{2};d)$.

$\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=(b;\frac{d}{2})+(\frac{b}{2};d)=(\frac{3b}{2};\frac{3d}{2})$.

Mặt khác $\overrightarrow{AC}=(b;d)$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

Cách khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$, nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$).

Kiểm tra các phương án: A sai ($2\overrightarrow{AC}\ne \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$); B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$; C sai vì $\overrightarrow{IK}=(-\frac{b}{2};\frac{d}{2})\ne \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$, tức $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{IB}$. Vậy $I$ nằm giữa $A$ và $B$ (hai vecto $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng) và $IB=\frac{1}{3}AB$. Do đó $I$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $IB=\frac{1}{3}AB$.