Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AI}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{BA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. Suy ra $I$ nằm trên đoạn $AB$, cùng phía với $B$ so với $A$, và $AI=\frac{3}{5}AB$ (tức $IB=\frac{2}{5}AB$, $I$ gần $B$ hơn). Xét các hình: hình A có $I$ ở vị trí $\frac{2}{5}AB$ (gần $A$ hơn) nên sai; hình C đặt $I$ ngoài đoạn $AB$ về phía $A$ nên sai; hình D đặt $I$ ngoài đoạn $AB$ về phía $B$ nên sai. Hình B biểu diễn đúng: $I$ nằm trong đoạn $AB$ với $\frac{AI}{AB}=\frac{3}{5}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ suy ra $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, tức $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng nên $P$ nằm giữa $M$ và $N$, với $MP=\frac{1}{3}MN$ ($P$ gần $M$ hơn). Thứ tự điểm trên đường thẳng là $M$, $P$, $N$ với $P$ cách $M$ một phần ba đoạn $MN$. Hình D thể hiện đúng: $M$ ... $P$ ... $N$ với $P$ ở gần $M$. Hình A sai vì $P$ ở xa $M$ hơn (khoảng $\frac{2}{3}$); hình B, C sai vì thứ tự điểm không đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trong đoạn $AB$ nên $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng, do đó $k<0$. Ta có $AM=\frac{1}{5}AB$ nên $MB=\frac{4}{5}AB$, suy ra $\overrightarrow{MA}=-\frac{AM}{MB}\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$. Vậy $k=-\frac{1}{4}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$ (A đúng). Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (D đúng), suy ra $\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{CN}$, do đó B sai. Với $M,N$ trung điểm: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{NM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{NM}$ (C đúng). Mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo nguồn không có lời giải. Lời giải do AI cung cấp: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-4\vec{a}-3\vec{a}=-7\vec{a}$. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn. Lưu ý: trong nguồn, phương án D trùng với B ($\overrightarrow{MN}=-5\vec{a}$), đây là lỗi trùng lặp của đề gốc nhưng không ảnh hưởng đến đáp án đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy độ lớn: $|\vec{a}|=|m|\cdot |\vec{b}|$ suy ra $5=|m|\cdot 15$, tức $|m|=\frac{1}{3}$. Kết hợp $m<0$ ta được $m=-\frac{1}{3}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$. Hệ thức trở thành $2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{MI}=-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}$. Suy ra $M$ là trung điểm của đoạn $IC$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$:
- A đúng: $\overrightarrow{G{A}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$, tương tự cho $G{B}_1,G{C}_1$, nên tổng $=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (tính chất trọng tâm).
- B đúng: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\vec{0}$ là tính chất cơ bản của trọng tâm.
- C đúng: $\overrightarrow{A{A}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, cộng ba đẳng thức tương tự được $\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{C{C}_1}=\vec{0}$.
- D sai: $G$ nằm trên đoạn $C{C}_1$ với $\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{G{C}_1}$, suy ra $\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{G{C}_1}$, không phải $\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{G{C}_1}$.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường Euler của tam giác, ba điểm $O$, $G$, $H$ thẳng hàng với $G$ nằm giữa $O$ và $H$ và $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$, tức $\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$ (tỉ số $OG:GH=1:2$). Do đó $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$ đúng (đáp án C). Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\ne \frac{3}{2}\overrightarrow{OG}$ nên A sai; $\overrightarrow{HO}=-3\overrightarrow{OG}\ne 3\overrightarrow{OG}$ nên B sai; $2\overrightarrow{GO}=-2\overrightarrow{OG}\ne -3\overrightarrow{OH}$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tọa độ vecto theo các điểm: vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec{0}$, suy ra $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BJ}$. Cách gọn hơn: $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}$ với $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$... Thực chất dùng tính chất: với $I$ trung điểm $AB$, $J$ trung điểm $CD$ ta có $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$ (vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IJ}$ do $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec{0}$; tương tự $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$). Do đó B và C đúng. Với D: $2\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB})=\vec{0}$, đúng. Còn A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JD})$... kiểm tra: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{B}-\vec{A}+\vec{D}-\vec{C}$, trong khi $2\overrightarrow{IJ}=\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}$; hai biểu thức khác nhau (khác nhau $2(\vec{B}-\vec{C})$). Vậy đẳng thức A là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ cùng phương, và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BC}$... Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$. Nhân hai đẳng thức với $\frac{MC}{BC}$ và $\frac{MB}{BC}$ rồi cộng lại: $$\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}+\frac{MC}{BC}\overrightarrow{BM}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{CM}.$$ Vì $M$ trên đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{CM}$ ngược hướng, do đó $\frac{MC}{BC}\overrightarrow{BM}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{CM}=\vec{0}$ (hai hệ số dương, độ dài $\frac{MC}{BC}\cdot MB=\frac{MB}{BC}\cdot MC$). Vậy $\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}$, tức đáp án A đúng. Kiểm tra: khi $M=B$ thì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}$, công thức cho $\frac{BC}{BC}\overrightarrow{AB}+0=\overrightarrow{AB}$ ✓; khi $M=C$ thì cho $\overrightarrow{AC}$ ✓. Các phương án B, C, D sai vì B dùng hệ số theo $AB$ không phù hợp với điểm $M$ trên $BC$; C dùng hệ số $\frac{MB}{AC},\frac{MA}{AB}$ vô nghĩa về chiều; D thừa hệ số 2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ với hệ số $3>0$ nên hai vectơ cùng phương cùng hướng, do đó $B$ và $C$ nằm cùng phía so với $M$, tức $M$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía ngoài điểm $C$, và $MB=3MC$ (nên $MC=\frac{1}{2}BC$). Xét các hình ở trang 88: Hình A vẽ $M$ nằm trong đoạn $BC$ — khi đó $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ ngược hướng, sai. Hình B vẽ $M$ nằm trên tia đối của tia $CB$, điểm $C$ nằm giữa $B$ và $M$, với $MB=3MC$ — đúng. Hình C vẽ $M$ nằm ngoài phía điểm $B$ — sai. Hình D vẽ $M$ trùng $C$ — sai. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, với mọi điểm $M$ ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MC}$. Thay vào điều kiện đề bài: $(3\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MC})+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{MC}=-3\overrightarrow{MG}$. Mặt khác $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$, nên $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=-3\overrightarrow{MG}\Rightarrow \overrightarrow{GC}=-4\overrightarrow{MG}=4\overrightarrow{GM}$. Vậy $M$ nằm trên đoạn $GC$ thỏa $\overrightarrow{GC}=4\overrightarrow{GM}$, tức $M$ chia đoạn $GC$ theo tỉ số $GM:MC=1:3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $B$ làm gốc: $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$. Hệ thức $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CB}$ trở thành $\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{BC}$, suy ra $3\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$. Vì $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}$. Do đó $3\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{BI}$, tức $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BI}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ (I): $a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=\vec{0}$. Thay $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ ta được $(a+b)\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{MA}=-\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$ (vì $a+b\ne 0$). Vậy (I) ⟺ (II). Điểm $M$ xác định bởi (II) nằm trên đường thẳng $AB$, nên (I) ⟹ (III); tuy nhiên (III) không kéo theo (I) vì mọi điểm trên đường thẳng $AB$ đều thỏa (III) chứ không phải duy nhất điểm barycenter. Do đó chỉ (I) và (II) tương đương nhau. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành, vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$, suy ra $4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vậy $M$ là trung điểm của $AC$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ và $AM=\frac{1}{4}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ (B đúng), $MB=\frac{3}{4}AB$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}$ (C đúng). Hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$, do đó khẳng định A thiếu dấu âm và sai; tương tự $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}$ đúng (D đúng). Khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ và $MA=\frac{1}{5}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ (A đúng). Suy ra $MB=\frac{4}{5}AB=4MA$, và vì $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng $\overrightarrow{MA}$ nên $\overrightarrow{MB}=-4\overrightarrow{MA}$ (C đúng), do đó $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$ (B đúng). Còn $\overrightarrow{MB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$), không phải $-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức tồn tại số thực $k\ne 0$ (vì $A\ne B$ nên $\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$) sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án B.
- A sai: $AB=AC$ chỉ nói $B,C$ nằm trên đường tròn tâm $A$, không đảm bảo thẳng hàng.
- C sai: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ luôn đúng với mọi bộ ba điểm (tính chất trừ vectơ), không phải điều kiện thẳng hàng.
- D sai: Đẳng thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ với mọi $M$ không tương đương với ba điểm thẳng hàng (với $M=A$ sẽ cho $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$, chỉ là trường hợp riêng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}=\overrightarrow{OG}$ (vì $M$ là trung điểm nên $AM$ đi qua trọng tâm $G$). Tương tự $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OG}$. Vì $D$ là trung điểm của $AM$: $\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}}{2}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}}{2}$. Tương tự $\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OG}}{2}$, $\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OG}}{2}$. Cộng lại: $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OG}}{2}=\frac{3\overrightarrow{OG}+3\overrightarrow{OG}}{2}=3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vậy đáp án A.