Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $B=\left(-\frac{1}{2},0\right)$, $C=\left(\frac{1}{2},0\right)$, khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm đều) $O=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$. Thử với $M=A$: hình chiếu của $A$ xuống $BC$ là $D=(0,0)$ nên $\overrightarrow{MD}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$; hình chiếu của $A$ xuống $CA$ và $AB$ đều là chính $A$ nên $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MF}=\vec{0}$. Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Mặt khác $\overrightarrow{MO}=O-A=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, so sánh suy ra hệ số $k=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/3}=\frac{3}{2}$. Kiểm tra thêm với $M=O$: ba hình chiếu là trung điểm ba cạnh, ba vectơ từ $O$ đến chúng có độ dài bằng nhau và đôi một tạo góc $120^{\circ }$ nên tổng bằng $\vec{0}=\frac{3}{2}\vec{0}$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án D của đề: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
a) $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$ → đúng.
b) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$, khác với $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$ → sai.
c) $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, khác với $\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ → sai.
d) $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}\right)=\frac{3}{2}\overrightarrow{MN}$, nên $\overrightarrow{MP}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ và chung điểm $M$ → ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Do $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$, hệ số của $\overrightarrow{AB}$ là $-\frac{1}{3}$ chứ không phải $\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, hệ số của $\overrightarrow{AD}$ là $\frac{1}{4}$ chứ không phải $\frac{1}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MN}$ nên $\overrightarrow{MP}$ cùng phương $\overrightarrow{MN}$, chung điểm $M$, do đó $M,N,P$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ lần lượt là các vectơ vị trí của $A,B,C,D,E$. Vì $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $EA,AB,BC,CD$ nên $\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{e}+\overrightarrow{a}}{2}$, $\overrightarrow{n}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$, $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$, $\overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}$. $R$ là trung điểm $MP$ nên $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{m}+\overrightarrow{p}}{2}=\frac{\overrightarrow{e}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{4}$; $S$ là trung điểm $NQ$ nên $\overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{n}+\overrightarrow{q}}{2}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{4}$. Suy ra $\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{s}-\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e}}{4}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$. a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e})$, $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})$ nên $\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e})=\overrightarrow{RS}$: đúng. b) $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ chứ không phải $\frac{1}{3}\overrightarrow{ED}$: sai. c) Vì $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ nên $RS\parallel ED$, do đó $RS$ không cắt $ED$: sai. d) Từ $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ suy ra $RS=\frac{1}{4}ED$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e})$, $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})$, nên $\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e})=\overrightarrow{RS}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$, không phải $\frac{1}{3}\overrightarrow{ED}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ nên $RS\parallel ED$, do đó $RS$ không cắt $ED$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{4}\overrightarrow{ED}$ suy ra độ dài $RS=\frac{1}{4}ED$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 33: M là trung điểm AB nên MA + MB = 0 (a đúng). N là trung điểm CD nên NC + ND = 0 (b đúng). c) MA + AC = MC, mà MC = MN chỉ khi N trùng C, điều này không đúng chung nên c sai. d) Với M trung điểm AB, N trung điểm CD: 2MN = (MA+MB) ... tính: 2MN = 2(N - M) = (C+D) - (A+B) = (C-A) + (D-B) = AC + BD, nên d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA = -MB, do đó MA + MB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
N là trung điểm CD nên NC = -ND, do đó NC + ND = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
MA + AC = MC (quy tắc ba điểm), nói chung MC khác MN vì N là trung điểm CD chứ không trùng C.
d) (AI giải đề cho tôi)
2MN = 2(N - M) = (C + D) - (A + B) = (C - A) + (D - B) = AC + BD, nên 2MN = AC + BD đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}-3\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{CG}$, nên vế trái là độ dài không đổi $3CG$. Vế phải: $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$, nên điều kiện là $BM=3CG$, tức tập hợp $M$ là đường tròn tâm $B$ bán kính $R=3CG$ chứ không phải $R=CG$ → sai. b) $2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=2\cdot 3|\overrightarrow{MG}|=6MG$; và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$ ($I$ trung điểm $BC$) nên $3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=6MI$. Điều kiện $6MG=6MI⟺MG=MI$, tập hợp $M$ là đường trung trực của $GI$ → đúng. c) $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3MG=2028⟺MG=676$, không phải $626$ → sai. d) $3\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CM}$. Với $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}$, mà $\overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{IB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, do đó vế phải $=3MI$. Điều kiện $3CM=3MI⟺CM=MI$, tập hợp $M$ là đường trung trực của $IC$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{CG}$ (không đổi) và $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$, nên điều kiện là $BM=3CG$: đường tròn tâm $B$ bán kính $3CG$, không phải $R=CG$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2\cdot 3MG=3\cdot 2MI⟺MG=MI$, nên $M$ thuộc đường trung trực của $GI$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3MG=2028⟺MG=676\ne 626$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CM}$; $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MI}$ do $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Vậy $CM=MI$: đường trung trực của $IC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: D=(0,0), C=(1,0) (CD=1), vì hình thang cân AD=CD=1, AB=2 nên A=(-1/2, √3/2), B=(3/2, √3/2), E trung điểm AB nên E=(1/2, √3/2).
a) AB∥DC cùng chiều và AB=2CD nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{DE}=(1/2,\sqrt{3}/2)$, $\overrightarrow{CB}=(1/2,\sqrt{3}/2)$, tức $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CB}$ chứ không phải $-\overrightarrow{CB}$. Sai.
c) E là trung điểm AB nên với đỉnh C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}$ (tính chất trung điểm). Đúng.
d) $\overrightarrow{AD}=(1/2,-\sqrt{3}/2)$ và $\overrightarrow{EC}=(1/2,-\sqrt{3}/2)$, hai vectơ bằng nhau (ADCE là hình bình hành). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB song song cùng chiều DC và AB = 2CD nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ D=(0,0), C=(1,0), A=(-1/2, √3/2), B=(3/2, √3/2), E=(1/2, √3/2): $\overrightarrow{DE}=(1/2,\sqrt{3}/2)=\overrightarrow{CB}$, nên $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{CB}$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
E là trung điểm AB nên với đỉnh C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}$ (tính chất trung điểm).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên: $\overrightarrow{AD}=(1/2,-\sqrt{3}/2)=\overrightarrow{EC}$, hai vectơ bằng nhau (ADCE là hình bình hành). Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc O (tâm hình bình hành), đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ thì $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$.

a) Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AP}=-4\overrightarrow{OA}$; mặt khác $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{OA}\ne -4\overrightarrow{OA}$. Sai.

c) $\vec{P}=-\frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{N}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}$. Điểm trên đường thẳng BN: $\vec{b}+t\left(\frac{-\vec{a}-3\vec{b}}{2}\right)$. Cho bằng $-\frac{1}{3}\vec{a}$: hệ số của $\vec{b}$ cho $t=\frac{2}{3}$, hệ số của $\vec{a}$ cũng cho $t=\frac{2}{3}$. Vậy $P$ nằm trên $BN$, tức $B,P,N$ thẳng hàng → phát biểu 'không thẳng hàng' sai.

d) $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$; $\vec{M}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, $\vec{N}=-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=-\vec{M}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, tức $MN$ đi qua $O$. Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$3\overrightarrow{AP}=-4\overrightarrow{OA}$ còn $3\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{OA}$, hai vectơ không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc $O$: $\vec{P}=-\frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{N}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}$; $\vec{P}=\vec{B}+\frac{2}{3}(\vec{N}-\vec{B})$ nên $B,P,N$ thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC$ và $BD$ cắt tại $O$; $\vec{N}=-\vec{M}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, ba đường thẳng đồng quy tại $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 39: a) Trong hình bình hành ABCD, quy tắc hình bình hành cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ → đúng. b) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+5\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AC}$ → đúng. c) và d) Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$. Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$. Vậy c) sai, d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ta được $\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $4\overrightarrow{MO}$, không phải $\overrightarrow{MO}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$, $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$, tổng bằng $4\overrightarrow{MO}$.

Đáp số: 3,46.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$, $\overrightarrow{BN}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}$, $\overrightarrow{CI}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$. Cộng lại: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CI}=\frac{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})}{2}=\vec{0}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CI}\right|=0$, khớp với đáp số đã cho (dữ kiện $IJ=\frac{5}{4}$ không cần dùng).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vận tốc ngược hướng nhau nên $k<0$, độ lớn $|k|=\frac{60}{40}=1,5$. Vậy $k=-1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tại $A$: $\overrightarrow{F_2}$ theo chiều dương trục $Ox$, $\overrightarrow{F_1}$ hướng thẳng xuống dưới (độ lớn 12N), góc giữa $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_2}$ bằng $120^{\circ }$ (nên $\overrightarrow{F_3}$ hướng lên trên bên trái, tạo với trục $Ox$ góc $120^{\circ }$). Vì chất điểm cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$. Phân tích theo trục: $\overrightarrow{F_3}=F_3(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=\left(-\frac{F_3}{2},\frac{F_3\sqrt{3}}{2}\right)$; $\overrightarrow{F_1}=(0,-12)$; $\overrightarrow{F_2}=(F_2,0)$. Phương trình hoành: $F_2-\frac{F_3}{2}=0$; phương trình tung: $-12+\frac{F_3\sqrt{3}}{2}=0\Rightarrow F_3=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\approx 13,856\approx 13,9$ N. (Khi đó $F_2=4\sqrt{3}$ N.) Kết quả khớp với đáp số nguồn 13,9.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Vậy $m=\frac{1}{3}$, $n=\frac{2}{3}$, suy ra $m+n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (Đáp số: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CA,AB$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $EF\parallel BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$, vì $EF\parallel BC$ và $E$ là trung điểm của $AC$ nên $I$ là trung điểm của $AD$ (đường thẳng qua trung điểm một cạnh song song với cạnh thứ hai đi qua trung điểm cạnh thứ ba). Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Với $\vec{u}=\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ và $\vec{v}=\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ta có $\overrightarrow{AB}=2\vec{v}$, $\overrightarrow{AC}=2\vec{u}$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(2\vec{v}+2\vec{u})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$. Vậy $m=n=\frac{1}{2}$ và $m-n=0$, khớp với đáp số 0 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Xét tổng: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy $k=3$, trùng với đáp số 3 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Ox theo phương của lực ${\vec{F}}_1$. Hai lực ${\vec{F}}_3,{\vec{F}}_4$ có độ lớn 20 N, hợp với ${\vec{F}}_1$ các góc $45^{\circ }$ đối xứng nhau qua trục Ox nên thành phần vuông góc triệt tiêu, còn thành phần theo phương ${\vec{F}}_1$ là $2\cdot 20\cos 45^{\circ }=20\sqrt{2}$ (N). Để vật đứng lại, tổng các lực bằng $\vec{0}$: ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_3+{\vec{F}}_4+{\vec{F}}_2=\vec{0}$. Vì ${\vec{F}}_2$ ngược chiều ${\vec{F}}_1$ nên theo phương ngang: $F_1+20\sqrt{2}-F_2=0$. Mặt khác $F_2=2F_1$, suy ra $F_1=20\sqrt{2}$ và $F_2=40\sqrt{2}\approx 56,6$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}=\overrightarrow{BC}$. Trong hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\vec{u}-\vec{a}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{u}.$$
$$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec{a}+\frac{1}{4}(\vec{u}-\vec{a})=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{u}.$$

Để $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$ thì $\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{u}=k\left(\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{u}\right)$. So sánh hệ số: $\frac{3k}{4}=1\Rightarrow k=\frac{4}{3}$ và $\frac{k}{4}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=\frac{4}{3}$. Hai giá trị khớp nhau, vậy $k=\frac{4}{3}\approx 1,3$, khớp với đáp số nguồn 1,3.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tâm $O$ làm gốc: $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$. Gọi $\vec{i}=\overrightarrow{OI}$, $\vec{j}=\overrightarrow{OJ}$.

Từ $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{ID}=\vec{0}$:
$$3(\vec{a}-\vec{i})+2(-\vec{a}-\vec{i})-2(-\vec{b}-\vec{i})=\vec{0}$$
$$\Rightarrow (3-2)\vec{a}+2\vec{b}+(-3+2-2)\vec{i}=\vec{0}$$
$$\Rightarrow \vec{a}+2\vec{b}-3\vec{i}=\vec{0}\Rightarrow \vec{i}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}.$$

Từ $\overrightarrow{JA}-2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}$:
$$(\vec{a}-\vec{j})-2(\vec{b}-\vec{j})+2(-\vec{a}-\vec{j})=\vec{0}$$
$$\Rightarrow (1-2)\vec{a}-2\vec{b}+(-1+2-2)\vec{j}=\vec{0}$$
$$\Rightarrow -\vec{a}-2\vec{b}-\vec{j}=\vec{0}\Rightarrow \vec{j}=-\vec{a}-2\vec{b}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{IJ}=\vec{j}-\vec{i}=(-\vec{a}-2\vec{b})-\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}=-\frac{4}{3}(\vec{a}+2\vec{b}),$$
và
$$\overrightarrow{IO}=\vec{0}-\vec{i}=-\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}.$$

Vậy $\overrightarrow{IJ}=4\overrightarrow{IO}$, tức $k=4$. Kết quả trùng với đáp số đã cho trên nguồn (Đáp số: 4).