Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên độ dài bằng $AC=a$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng hai vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AC=a$, do đó độ dài của $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ bằng $a$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc A, trục Ox chứa B: A(0;0), B(5;0), C(3;3$\sqrt{3}$) vì AC=6, góc BAC=60°. a) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 60^0=25+36-30=31$ nên $BC=\sqrt{31}\ne \sqrt{46}$ → sai. b) D là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ → đúng. c) D(4; $\frac{3\sqrt{3}}{2}$), E=k\overrightarrow{AC} nên E(3k; 3$\sqrt{3}$k). $\overrightarrow{AD}=(4;\frac{3\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{BE}=(3k-5;3\sqrt{3}k)$. Tích vô hướng: $4(3k-5)+\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 3\sqrt{3}k=12k-20+\frac{27}{2}k=\frac{51}{2}k-20=0\Rightarrow k=\frac{40}{51}$ → đúng. d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 6\cdot \cos 60^0=15\ne 30$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=31$ nên $BC=\sqrt{31}\ne \sqrt{46}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì D là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ (tính chất trung điểm).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0;0), B(5;0), C(3;3$\sqrt{3}$): D(4;$\frac{3\sqrt{3}}{2}$), E(3k;3$\sqrt{3}$k). $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{51}{2}k-20=0\Rightarrow k=\frac{40}{51}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 6\cdot \cos 60^0=15\ne 30$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, theo quy tắc hình hộp với ba vecto cùng xuất phát từ đỉnh $A$: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; C sai vì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; D sai vì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi khối lượng: 105g = 0,105 kg. Độ lớn lực hấp dẫn: $P=m\cdot g=0,105\cdot 9,8=1,029$ (N). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
(I) Sai. $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$, nên hai vecto đối nhau chứ không bằng nhau.
(II) Đúng. $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }D}$. Vậy hai vecto đối nhau. (Kiểm tra tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(b;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;c)$ thì $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-c)$ và $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0;-a;c)=-\overrightarrow{A^{\prime }D}$.)
(III) Sai. $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ còn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, hai vecto này không cùng phương (với hình hộp đứng thì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AC}$).
(IV) Đúng. Các vecto khác $\vec{0}$ bằng $\overrightarrow{BC}$ là: $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ — đúng 3 vecto.
Vậy có 2 mệnh đề đúng là (II) và (IV), chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$, nên $36=9+16+2\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{11}{2}$.

Do đó $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-11+16=14$.

Vậy $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{14}\approx 3,74$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PN}$ (điểm chung $M$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành tại $A^{\prime }$). Vì $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, suy ra $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$ (quy tắc ba điểm). Vậy $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AD\parallel BC$ và $AD=BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Mặt khác $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và cùng chiều với $BC$ (vì $B^{\prime }B\parallel C^{\prime }C$), nên $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Kiểm tra các đáp án khác: $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$ (sai); $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}$ (sai); $\overrightarrow{AB}$ không song song với $\overrightarrow{AD}$ (sai). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ (đúng), $IA=IB$ (đúng), và với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ (đúng). Khẳng định sai là $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$ vì hai vectơ này ngược hướng (chỉ bằng nhau khi $A=B$, vô lý).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (đáy $ABCD$, mặt trên $EFGH$ với $E$ nằm trên $A$, $H$ nằm trên $D$), ta có $EH\parallel AD$ và cùng chiều nên $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$. Vậy đáp án là $\overrightarrow{DB}$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Do đó $2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 60^{\circ }=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng nằm trong mặt phẳng đáy $ABCD$, có độ dài bằng $a$ và vuông góc với nhau (góc $BAD=90^{\circ }$). Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)(2)+(-5)(-2)=-6+10=4$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Do đó $\cos A=\frac{4}{\sqrt{34}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{272}}=\frac{4}{4\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD cạnh 5, M trung điểm BC.
a) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos 60^{\circ }=5\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{2}\ne 25$ → Sai.
b) $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BM}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ nên $3\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ → Sai.
d) Tam giác ABC đều nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=5\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{25}{2}\ne 25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ nên $3\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực có độ lớn 60N hợp nhau góc 120° nên hợp của chúng có độ lớn $\sqrt{60^2+60^2+2\cdot 60\cdot 60\cos 120^0}=\sqrt{3600+3600-3600}=60$ (N), hướng theo phân giác góc 120°. Lực thứ ba 80N vuông góc với mặt phẳng chứa hai lực đó nên vuông góc với hợp vừa tìm được. Vậy hợp lực của ba lực có độ lớn $\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{10000}=100$ (N).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. Vậy $m=-1,n=1,k=\frac{1}{2}$, suy ra $m+n+6k=-1+1+3=3$.