Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

Theo giả thiết ta có $\vec{a}=(6;-9)$; $\vec{b}=(3;m)$
Khi đó điều kiện để $\vec{a}\perp \vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=0\iff 6.3-9m=0$ từ đó suy ra $m=2$

Đáp án: 6,32
Cách 1:

$$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$$
Ta có $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\approx 6,32$.
Cách 2: (Gắn tọa độ) Với A là gốc tọa độ và $A(0;0)$, $B(0;2)$, $C(3;0)$

Theo giả thiết ta có $\vec{a}=(6;-9)$; $\vec{b}=(3;m)$
Khi đó điều kiện để $\vec{a}\perp \vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=0\iff 6.3-9m=0$ từ đó suy ra $m=2$

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ $\vec{a}=(5;2)$ và $\vec{b}=(10;6-2x)$ cùng phương khi và chỉ khi định thức $5(6-2x)-2\cdot 10=0$. Tính toán: $30-10x-20=10-10x=0$, suy ra $x=1$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}(1;-2)$, $\vec{b}(3;y)$. Điều kiện góc $45^{\circ }$: $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3-2y}{\sqrt{5}\sqrt{9+y^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Bình phương: $\frac{(3-2y{)}^2}{5(9+y^2)}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2(9-12y+4y^2)=45+5y^2\Rightarrow 3y^2-24y-27=0\Rightarrow y^2-8y-9=0\Rightarrow y=9$ hoặc $y=-1$. Kiểm tra: với $y=9$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=3-18=-15<0$ nên góc là $135^{\circ }$ (loại do bình phương). Với $y=-1$: $\cos =\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa góc $45^{\circ }$. Vậy $y=-1$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(0;y)$ thuộc trục tung. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;y-2)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$: $(-4)(-1)+(-1)(y-2)=4-y+2=6-y=0$, suy ra $y=6$. Vậy $C(0;6)$, đáp án A. Kiểm tra: $C(0;6)$ thỏa mãn và là phương án duy nhất trên trục tung.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ dự tính ban đầu $\overrightarrow{AB}=(0;46)$, vectơ thực tế $\overrightarrow{AC}=(35;46)$. Góc lệch $\alpha$ thỏa $\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{0\cdot 35+46\cdot 46}{46\cdot \sqrt{35^2+46^2}}=\frac{46}{\sqrt{3341}}\approx 0,7958$. Suy ra $\alpha =\arccos (0,7958)\approx 37,3^{\circ }\approx 37^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (37).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;3)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-1)$. $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{|-2-3|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$ bằng $45^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn: B.

a) [Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.
Đặt $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PC}\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{-k}{1-k}\overrightarrow{AC}$ (vì $k=1$ không thỏa mãn).

Ta có:
$2\overrightarrow{BN}+5\overrightarrow{NC}=\vec{0}\iff 2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0}\iff 2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{NM}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$
$\iff 2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{NM}+\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}=\vec{0}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{7}{6}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AG}=\frac{-k}{1-k}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(\frac{-2k-1}{3-3k}\right)\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$$\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{7}{6}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac{7}{6}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$

Mà 3 điểm $G,P,N$ thẳng hàng nên hai vectơ $\overrightarrow{GP},\overrightarrow{GN}$ cùng phương

$$\Rightarrow \frac{\frac{-2k-1}{3-3k}}{\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{1}{3}}{-1}\iff \frac{\frac{-2k-1}{3-3k}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{3}\iff \frac{-2k-1}{1-k}=\frac{4}{3}\iff k=-\frac{7}{2}.$$

b)

+ Gọi $A(t;t-4)\in \Delta$ với $t>0$.

Do $G(2;-3)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên: $\{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B=5-t\\ y_C=3y_G-y_A-y_B=-6-t\end{array}$

$\Rightarrow C(5-t;-6-t)$.

+ Vì $AI$ là phân giác trong của tam giác $ABC$ nên $d(I;AB)=d(I;AC)$, khi đó

$$S_{IAB}=\frac{4}{5}{S}_{IAC}\iff \frac{1}{2}d(I;AB).AB=\frac{4}{5}.\frac{1}{2}d(I;AC).AC\iff AB=\frac{4}{5}AC$$

$\iff 25A{B}^2=16A{C}^2$

$\iff 25\left[(t-1{)}^2+(t-5{)}^2\right]=16\left[(2t-5{)}^2+(2t+2{)}^2\right]$

$\iff 39t^2+54t-93=0\iff t=1$ hoặc $t=-\frac{31}{13}$ (loại) $\Rightarrow C(4;-7)$.

+ Khi đó $BC$ đi qua $B(1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(3;-8)$ nên có phương trình $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-8t\end{array}$.

Suy ra đường thẳng $BC$ có phương trình tổng quát là $8x+3y-11=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-3)(5)+(-4)(-12)=-15+48=33$. Đáp án D, khớp với bảng đáp án nguồn (Câu 4 chọn D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-3)(5)+4(-12)=-15-48=-63$. Đáp án C, khớp với bảng đáp án Mã đề 103 (Câu 6 chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 5+(-4)\cdot (-12)=15+48=63$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9 chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-3)(5)+4(-12)=-15-48=-63$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 11 chọn B).

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác $ABCDE$ có 5 đỉnh. Mỗi vectơ được xác định bởi một cặp (điểm đầu, điểm cuối) gồm 2 đỉnh khác nhau, nên có $5\cdot 4=20$ vectơ. Vì điểm đầu và điểm cuối luôn khác nhau nên không có vectơ $\vec{0}$ nào. Vậy số vectơ khác vectơ $\vec{0}$ là 20, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần III câu 2 = 20).

Gọi $K$ là trung điểm của $CD$. Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}$. Khi đó, $\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}\iff \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}$. Suy ra $E\equiv D$. Vậy $T=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|+2\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MK}\right|+2\left|\overrightarrow{ME}\right|=2(MK+ME)=2(MK+MD)\ge 2KD\iff T\ge 8$.

(AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}=(2;-1)$, $\vec{b}=(4;-5)$. Tính $3\vec{a}-2\vec{b}=(6;-3)-(8;-10)=(-2;7)$. Vậy đáp án B.

$|\vec{d}|=\sqrt{5^2+12^2}=13$.
Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ với $|\vec{a}|=1$, $|\vec{c}|=x$ và $\vec{a}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$.

Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $\vec{C}-\vec{M}=-2(\vec{B}-\vec{M})\Rightarrow 3\vec{M}=\vec{C}+2\vec{B}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}+2\vec{a}}{3}$.

Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $\vec{B}-\vec{N}=-2(\vec{A}-\vec{N})\Rightarrow 3\vec{N}=\vec{B}+2\vec{A}$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{a}}{3}$ và $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{a}-3\vec{c}}{3}$.

Điều kiện $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{CN}$:
$$(\vec{c}+2\vec{a})\cdot (\vec{a}-3\vec{c})=0\iff \vec{a}\cdot \vec{c}-3x^2+2-6\vec{a}\cdot \vec{c}=0$$
$$\iff \frac{x}{2}-3x^2+2-3x=0\iff 6x^2+5x-4=0\iff x=\frac{-5+\sqrt{121}}{12}=\frac{1}{2}$$
(nghiệm âm loại vì $x>0$).

Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp đáp án D (bảng đáp án mã đề 1009, câu 13: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$.

- $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ nên $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $MB:MC=1:2$, suy ra $M=\frac{2B+C}{3}=\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$.
- $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ nên $NA:NC=1:2$, suy ra $N=\frac{2A+C}{3}=\left(\frac{a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$.
- $P$ trên $AB$ với $AP=\frac{4a}{15}$ nên $P=\left(\frac{4a}{15};0\right)$.

a) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$, $\overrightarrow{PN}=\left(\frac{a}{6}-\frac{4a}{15};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)=\left(-\frac{a}{10};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$. Tích vô hướng: $\frac{5a}{6}\cdot \left(-\frac{a}{10}\right)+\frac{\sqrt{3}a}{6}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{6}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$. Vậy $AM\perp PN$: ĐÚNG.

b) $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{28a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}$, suy ra $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$: SAI.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$: ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác với $\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$: SAI.

Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $M\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$, $P\left(\frac{4a}{15};0\right)$, $N\left(\frac{a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$ ta có $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$ nên $AM\perp PN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}$ nên $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}$, không phải $\frac{a\sqrt{7}}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều nên góc $A=60^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác khẳng định đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$, tức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}$. Thử $M$ là trung điểm $CA$: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}$, nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}$ (vì $M$ trung điểm $CA$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$). Vậy $M$ là trung điểm $CA$, khớp với đáp án B.