Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình vuông và $M$ là trung điểm $AB$ nên theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$. Trong hình vuông $ABCD$ cạnh 5, khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh $AB$ bằng nửa cạnh, tức $OM=\frac{5}{2}$, và $OM\perp AB$. Do đó $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=2\cdot OM=2\cdot \frac{5}{2}=5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $J$ nằm trên cạnh $AC$ với $JA=\frac{2}{3}JC$ nên $\frac{AJ}{AC}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$, tức $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Ta có: $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)=\frac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$. Vậy $m=\frac{3}{5}$, $n=\frac{2}{5}$, suy ra $m-n=\frac{1}{5}=0,2$, khớp với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$). Cộng lại: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$. Suy ra $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$, tức $m=n=\frac{1}{2}$. Vậy $m^2+n^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0,5$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DC}$: $3(\vec{B}-\vec{D})=2(\vec{C}-\vec{D})\Rightarrow \vec{D}=3\vec{B}-2\vec{C}$. Từ $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\vec{0}$: $\vec{A}-\vec{I}+3(\vec{B}-\vec{I})-2(\vec{C}-\vec{I})=\vec{0}\Rightarrow \vec{I}=\frac{\vec{A}+3\vec{B}-2\vec{C}}{2}=\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2}$. Vậy $I$ là trung điểm của $AD$, suy ra $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$, tức $k=2$. Kết quả trùng với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})$. Suy ra $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})$. Mà $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$, tức $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM})$. Vậy $k=\frac{2}{3}\approx 0,67$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với mọi điểm $M$. Do đó $\left|3\overrightarrow{MG}\right|=6\Rightarrow MG=2$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $2$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=7$ cm, $BC=14$ cm nên $\cos \hat{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{14}=0,5$.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$: vectơ $\overrightarrow{AC}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $C$; vectơ $\overrightarrow{CB}$ có điểm đầu $C$. Đưa về cùng điểm đầu: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ với $C^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, tức $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$. Do đó góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $180^{\circ }-\hat{C}$.

Vậy $\cos (180^{\circ }-\hat{C})=-\cos \hat{C}=-0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.2 (trang 5–6): hình vẽ tứ diện $ABCD$ có ở đầu trang 6, nên token hình là hợp lệ. Dùng quy tắc hiệu vectơ $\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZY}$:
- A: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ → sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ → sai.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$ → hai vế bằng nhau, đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$ → sai.
Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB\perp AB$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{SB}=0$. Ta có $\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}$, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BS}=a^2+0=a^2$. Mặt khác $|\overrightarrow{AB}|=a$ và $AS=\sqrt{A{B}^2+S{B}^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Vậy $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS})=\frac{a^2}{a\cdot 2a}=\frac{1}{2}$, nên góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) M là trung điểm AB nên MA + MB = 0 → đúng. b) 2MN = MC + MD... tổng quát: MN = ½(C + D − A − B) nên 2MN = AC + BD → đúng. c) I là trung điểm MN nên I = ¼(A + B + C + D), suy ra IA + IB + IC + ID = 4·(tọa độ I − trung bình) = 0 → đúng. d) G là trọng tâm tam giác BCD nên AG = ⅓(AB + AC + AD) = ⅓(B + C + D − 3A). Còn AI = ¼(B + C + D − 3A), do đó 3AI = ¾(B + C + D − 3A) = (9/4)AG ≠ 2AG → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA + MB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN = ½(MC + MD) = ½[(AC) + (AD)]... chính xác: 2MN = (C − A) + (D − B) = AC + BD.
c) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm MN nên I = ¼(A + B + C + D), do đó IA + IB + IC + ID = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
AG = ⅓(B + C + D − 3A) còn 3AI = ¾(B + C + D − 3A) = (9/4)AG ≠ 2AG.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$), nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Sai.
b) $\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (quy tắc ba điểm). Đúng.
c) Theo ý a), tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ nên độ dài bằng đường chéo hình lập phương $B{D}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne a\sqrt{2}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, nên độ dài bằng $0\ne a$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{BD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài bằng $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức rút gọn thành $\vec{0}$, độ dài bằng 0.

a) Phương trình chuyển động tên lửa: $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\end{array}\text{( với }t\ge 0\text{)}$$ [0,25 điểm]
Tại $t=50s$, tọa độ điểm $B$ là: $x_B=50,y_B=2\cdot 50=100\Rightarrow \mathbf{B}(50;100)$. [0,25 điểm]
b) Mục tiêu đi từ $A(20;60)$ đến $B(50;100)$ trong 50 giây.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(50-20;100-60)=(30;40)$. [0,25 điểm]
Vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Delta t}=\left(\frac{30}{50};\frac{40}{50}\right)=(0,6;0,8)$.
Tốc độ của mục tiêu: $\left|{\vec{v}}_2\right|=\sqrt{0,6^2+0,8^2}=1$ (km/s). [0,25 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=1\cdot 3+(-4)\cdot 2=3-8=-5$. Đáp án trùng với key nguồn (mã đề 210, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi định thức bằng 0: $2\cdot m-(-1)\cdot 3=0\Rightarrow 2m+3=0\Rightarrow m=-\frac{3}{2}=-1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-1.5).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot (-3)+(-4)\cdot 2=-3-8=-11$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi định thức bằng 0: $2\cdot 3-(-1)\cdot m=0\Rightarrow 6+m=0\Rightarrow m=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;9)$, $\overrightarrow{AC}=(0;5)$ nên $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(-2;19)$, độ dài $=\sqrt{4+361}=\sqrt{365}$. Đúng. b) $\overrightarrow{AB}=(1-3;5-(-4))=(-2;9)$. Đúng. c) Trung điểm $I$ của $AB$ là $I(2;\frac{1}{2})$, vectơ chỉ phương của $CI$ là $\overrightarrow{CI}=(-1;-\frac{1}{2})$. Vectơ pháp tuyến $(9;-4)$ có tích vô hướng với $\overrightarrow{CI}$ bằng $-9+2=-7\ne 0$, nên $(9;-4)$ không là pháp tuyến của $CI$. Sai. d) $\overrightarrow{BC}=(2;-4)$ nên đường thẳng qua $A(3;-4)$ song song $BC$: $2(x-3)-4(y+4)=0\iff x-2y-11=0$. Thay $A$ vào $2x+y+2=0$ được $4\ne 0$. Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(-2;19)$, độ dài $\sqrt{4+361}=\sqrt{365}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1-3;5+4)=(-2;9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$I(2;0,5)$, $\overrightarrow{CI}=(-1;-0,5)$; $(9;-4)\cdot \overrightarrow{CI}=-7\ne 0$ nên không phải pháp tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $A$ song song $BC$ có phương trình $x-2y-11=0$, không phải $2x+y+2=0$ (vì $A$ không thỏa).

Trang lời giải (trang 4) trình bày các phương án theo thứ tự khác trang đề: A. $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}$, B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$, C. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$, D. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$, và lời giải ghi "Chọn C" — tức đẳng thức $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$, tương ứng với phương án A trên trang đề. Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$.

Đáp án: 6,32
Cách 1:

$$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$$
Ta có $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\approx 6,32$.
Cách 2: (Gắn tọa độ) Với A là gốc tọa độ và $A(0;0)$, $B(0;2)$, $C(3;0)$