Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Xét từng khẳng định (đặt $AB=c,AC=b,BC=a$):
- A: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos B=c\cdot a\cdot \frac{c}{a}=c^2>0$, nên $0<c^2$ đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=|AC||CB|\cos C=b\cdot a\cdot \frac{b}{a}=b^2$; còn $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=-b^2$. Khi đó $b^2<-b^2$ là vô lý, khẳng định B luôn sai.
- C: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-c^2$ và $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=b^2>0$, nên $-c^2<b^2$ đúng.
- B là khẳng định sai (luôn sai với mọi tam giác vuông tại $A$).

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $BC$, $P$ trung điểm $CA$, ta có:
$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{CB}/2,\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BA}/2.$$
Do đó:
$$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}...$$
Cách khác: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{QP}$ với $Q$ trung điểm $MN$, mà $Q$ là trung điểm $AC$ trùng... Thực chất: trung điểm $MN$ có tọa độ $\frac{1}{2}(\frac{A+B}{2}+\frac{B+C}{2})=\frac{A+C+2B}{4}$, nên $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2(\overrightarrow{QP})$ với $Q$ trung điểm $MN$: $2(\frac{A+C}{2}-\frac{A+C+2B}{4})=\frac{A+C-2B}{2}=\overrightarrow{BP}$.
Vậy $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BP}$, chọn đáp án B. Kiểm tra đáp án D: $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})$, khác kết quả trên (nó là $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}$ đổi dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Hai vecto này cùng xuất phát từ $A$; nếu $B\ne C$ thì chúng có hướng khác nhau nên không thể bằng nhau. Do đó bắt buộc $B$ trùng với $C$ (khi đó hai vecto cùng trùng nhau). Khi $B\equiv C$, tam giác $ABC$ suy biến nên các phương án A, B, C đều sai. Phương án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ nên độ dài cạnh $AB=2a$, do đó $|\overrightarrow{AB}|=AB=2a$. Xét các đáp án: A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài nhưng khác hướng; B sai vì vecto không thể bằng một số vô hướng; D sai vì vecto không thể bằng một độ dài. Vậy đẳng thức đúng là $|\overrightarrow{AB}|=2a$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $AC=a\sqrt{2}$ và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $45^{\circ }$ (góc $\widehat{BAC}$ của tam giác vuông cân $ABC$). Do đó: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình vuông $ABCD$ tâm $O$ (thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều, kết quả không đổi).
- $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$: vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC})=0^{\circ }$.
- $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$: vì $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$... thực tế $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$, còn $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}$, hai vecto cùng phương ngược chiều nên góc bằng $180^{\circ }$? Kiểm tra lại: $\overrightarrow{CB}$ đi từ $C$ đến $B$, tức hướng ngược với $\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, còn $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$). Vậy $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }$.
- $\overrightarrow{CO}$ và $\overrightarrow{DC}$: $\overrightarrow{DC}$ hướng từ $D$ xuống $C$; $\overrightarrow{CO}$ hướng từ $C$ vào tâm $O$, tạo với $\overrightarrow{DC}$ một góc $45^{\circ }$ (vì $CO$ nằm trên đường chéo $CA$, tạo với cạnh $CD$ góc $45^{\circ }$, và $\overrightarrow{CO}$ cùng phía với hướng xuống của $\overrightarrow{DC}$).
Tổng: $0^{\circ }+180^{\circ }+45^{\circ }=225^{\circ }$.
Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=a\sqrt{2}$ nên $CA=CB=a$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $45^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|CA||CB|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. Cách khác: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=C{A}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=a^2+0=a^2$ vì $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án là $a^2$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{u}$. Với $M$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$. Với $N$ là trung điểm $AB$: $\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}=-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{DN}=\left(\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)\cdot \left(-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)=-{\vec{v}}^2+\frac{1}{4}{\vec{u}}^2=\frac{1}{4}A{B}^2-A{D}^2$ (các số hạng chéo triệt tiêu vì $\vec{u}\cdot \vec{v}-\vec{u}\cdot \vec{v}=0$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(a;0),C(a;a\sqrt{3}),D(0;a\sqrt{3})$ vì $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Khi đó $\overrightarrow{CA}=(-a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{DC}=(a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{DC}=-a^2$. Vậy $\cos (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{DC})=\frac{-a^2}{2a\cdot a}=-\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto là $120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi M là trung điểm AB thì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CM}$, với $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\right|=a\sqrt{3}\ne 2a$ → Sai. b) Hiệu hai vecto cùng gốc: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm) → Đúng. d) Tam giác đều cạnh a nên $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=a$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Gọi M trung điểm AB thì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CM}$, với $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên độ dài bằng $a\sqrt{3}\ne 2a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vecto cùng gốc: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh a nên $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành ABCD, O là trung điểm hai đường chéo nên $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{DO}$, và $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AB}$.
a) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{DO}\ne 2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{DO}$ → Sai.
b) Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành) và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{BD}$ → Sai.
d) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AD}$ nên $2(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO})=2\overrightarrow{AD}\ne 2\overrightarrow{AB}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{DO}$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{DO}$, khác vế phải $2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{DO}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, tổng bằng $2\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$, không bằng $\overrightarrow{BD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AB}$. Mặt khác $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AD}$, nên $2(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO})=2\overrightarrow{AD}\ne 2\overrightarrow{AB}$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$ → sai.
b) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ → đúng.
c) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+36-2\cdot 24=20$, vậy $BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → sai.
d) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(24k-32+36k-24\right)=\frac{1}{2}(60k-56)$. Cho bằng $0$: $k=\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B{C}^2=32+36-2\cdot 24=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\Rightarrow k=\frac{14}{15}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ suy ra $A-I=2(B-I)\Rightarrow I=2B-A$, do đó $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}$ (ý a sai). Từ $3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}$ suy ra $J=\frac{3A+2C}{5}$, nên $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Chọn hệ vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ (ý b đúng); $\overrightarrow{IG}=\frac{-5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ (ý c đúng). Vì $\frac{-2}{-5/3}=\frac{2/5}{1/3}=\frac{6}{5}$ nên $\overrightarrow{IJ}=\frac{6}{5}\overrightarrow{IG}$, ba điểm $I,J,G$ thẳng hàng (ý d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ suy ra $I=2B-A$, nên $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}\ne 3\overrightarrow{AB}$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}-2\overrightarrow{AB}=\frac{-5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IJ}=\frac{6}{5}\overrightarrow{IG}$ nên $I,J,G$ thẳng hàng. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CB}$, tức $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$, nên $M=A+\overrightarrow{BC}$ (tổng theo toạ độ: $M=A+B-C$). Từ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, nên $N=A+\overrightarrow{NA}=A+\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=B-3\overrightarrow{AC}$, tức $N=3A+B-3C$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=N-M=(3A+B-3C)-(A+B-C)=2A-2C=-2\overrightarrow{AC}$. a) $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{AC}\ne 3\overrightarrow{AC}$ → sai. b) Vì $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{AC}$ nên hai vecto cùng phương → đúng. c) $M=A+\overrightarrow{BC}$, nói chung $M$ không thuộc đường thẳng $AC$ (vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ trong tam giác) → sai. d) $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{AC}$ và $M\notin AC$ nên hai đường thẳng $MN$ và $AC$ song song → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{AC}$, không bằng $3\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{AC}$ nên hai vecto cùng phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ nên $M\notin AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{AC}$ và $M\notin AC$ nên $MN\parallel AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì C' là trung điểm AB nên $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$... xét chi tiết: đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\vec{u}$? Kiểm tra lại bằng tọa độ: lấy $B$ làm gốc, $\overrightarrow{BA}=\vec{u}$. Khi đó $C^{\prime }$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\vec{u}$. Tương tự $\overrightarrow{C^{\prime }A}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\vec{u}$. Với $A^{\prime }$ trung điểm $BC$, $B^{\prime }$ trung điểm $CA$: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB})$... tính theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$? Chính xác: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }C}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\cdot (-1)$... dùng công thức trung điểm: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB})$ (đường trung bình song song với AB, cùng chiều từ A' đến B' tương ứng chiều B đến A). Cụ thể: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$? Ta tính: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{CA}}{2}-\frac{\overrightarrow{BC}}{2}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$. Vì $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$... thay bằng tọa độ: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CD}$ với D... Kết luận đúng: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$ với M trung điểm AB = C', nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Mặt khác $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$ và $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$, suy ra $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. Vậy $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ (cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài $\frac{AB}{2}$).
a) Đúng: $B{C}^{\prime }=C^{\prime }A=\frac{AB}{2}$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình nên $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{2}$.
b) Sai: hai vecto cùng hướng (đều bằng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$), không ngược hướng.
c) Đúng: cả ba vecto đều bằng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.
d) Đúng: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$... tính: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; và $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (vì A' trung điểm BC, $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$)? Kiểm tra: $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$, còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$? Tính lại bằng tọa độ: đặt $A(0,0),B(2,0),C(0,2)$. Khi đó $A^{\prime }(1,1),B^{\prime }(0,1),C^{\prime }(1,0)$. $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(1,-1)$; $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=(1,-1)$. Bằng nhau. Vậy d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^{\prime }=C^{\prime }A=\frac{AB}{2}$ vì C' trung điểm AB; $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình nối trung điểm BC và CA nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ (đường trung bình cùng chiều với BA), nên hai vecto cùng hướng chứ không ngược hướng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba vecto đều bằng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$: cùng độ dài $\frac{AB}{2}$, cùng phương và cùng hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra bằng tọa độ $A(0,0),B(2,0),C(0,2)$: $A^{\prime }(1,1),B^{\prime }(0,1),C^{\prime }(1,0)$, suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(1,-1)=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$ → sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$ (chỉ có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$) → sai.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(\vec{B}-\vec{A})-(\vec{C}-\vec{A})=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\vec{B}-\vec{A}-(\vec{C}-\vec{B})=2\vec{B}-\vec{A}-\vec{C}\ne \overrightarrow{CA}=\vec{A}-\vec{C}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BC}$; đúng ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=2\vec{B}-\vec{A}-\vec{C}\ne \overrightarrow{CA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 39: $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$.
a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Trong hình bình hành, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$). Vậy khẳng định đúng.
b) $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$. Vậy khẳng định sai.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (hiệu hai vecto cùng xuất phát $A$). Đúng.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$. Hai vế bằng nhau, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$, hai vế trái dấu nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ theo quy tắc hiệu vecto.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai vế đều bằng $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$.