Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$, $D$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $BC$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ (định lý trung tuyến dạng vecto: $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$). Do đó các vecto đối của $\overrightarrow{DN}$ là các vecto cùng phương, ngược hướng và cùng độ dài $\frac{1}{2}AB$, tức là $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, và $\overrightarrow{ND}=-\overrightarrow{DN}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$, suy ra $C(1,1)$, $M$ trung điểm $DC$ là $(0,5;1)$, $N$ trung điểm $AB$ là $(0,5;0)$.

A) $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{NB}$: $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{NB}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ trong hình bình hành). Vậy A đúng.

B) $P$ là giao của $AM$ và $DB$: đường $AM$ đi qua $A(0,0)$ và $M(0,5;1)$; đường $DB$ đi qua $D(0,1)$, $B(1,0)$, có phương trình $x+y=1$. Đường $AM$: $y=2x$, thay vào: $3x=1\Rightarrow x=1/3$? Kiểm tra lại: $M(0,5;1)$ nên $y=2x$, giao với $x+y=1$: $3x=1$, $x=1/3$, $y=2/3$. Tương tự $Q$ là giao của $CN$ (từ $C(1,1)$ đến $N(0,5;0)$, phương trình $y=2x-1$) với $DB$: $3x=2$, $x=2/3$, $y=1/3$.

Vậy $P(1/3;2/3)$, $Q(2/3;1/3)$, $P\ne Q$. Trên $DB$: $D(0,1)\to P(1/3;2/3)\to Q(2/3;1/3)\to B(1,0)$, thực ra $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QB}=(1/3;-1/3)$ đều bằng nhau! Kiểm tra: $\overrightarrow{DP}=(1/3,-1/3)$, $\overrightarrow{PQ}=(1/3,-1/3)$, $\overrightarrow{QB}=(1/3,-1/3)$. Vậy B cũng đúng.

Suy ra cả A và B đều đúng, đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{DA}$ nên $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AD}$, tức khẳng định A đúng. Xét $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$, còn $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DC}$ (do $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$). Hai vecto này không bằng nhau, nên B sai. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $BD$. Ta chứng minh tứ giác $AHCD$ là hình bình hành: gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó $AM$ là trung tuyến và $AH\perp BC$ nên $\widehat{MAH}=90^{\circ }-\widehat{ABM}$... cách ngắn gọn hơn: đặt $O$ làm gốc, $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (tính chất trực tâm), mà $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$ nên $\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$, tức trung điểm của $HD$ trùng trung điểm của $AC$. Vậy $AHCD$ là hình bình hành. Suy ra $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$. Do đó khẳng định ở phương án B đúng. Phương án A sai vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CH}\ne \overrightarrow{HC}$. Phương án C sai vì $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CH}$. Phương án D sai vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, không thể có $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ (trừ khi $B$ trùng $O$, vô nghiệm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp làm gốc tọa độ, gọi $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ lần lượt là các vectơ vị trí của $A,B,C$. Khi đó $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$ và trực tâm $H$ có vectơ vị trí $\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$. Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $\vec{d}=-\vec{b}$.

Xét $\overrightarrow{HA}=\vec{a}-\vec{h}=\vec{a}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-(\vec{b}+\vec{c})$ và $\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}=-\vec{b}-\vec{c}=-(\vec{b}+\vec{c})$. Suy ra $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$.

Xét $\overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=-\vec{b}-\vec{a}=-(\vec{a}+\vec{b})$ và $\overrightarrow{HC}=\vec{c}-\vec{h}=\vec{c}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=-(\vec{a}+\vec{b})$. Suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$.

Vậy $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}$, đáp án đúng là C. Lưu ý $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ còn $\overrightarrow{OD}=\vec{d}=-\vec{b}$ nên $\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OD}$, do đó D sai; A sai vì $\overrightarrow{AD}=-(\vec{a}+\vec{b})\ne \overrightarrow{CH}=\vec{h}-\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$; B sai vì $\overrightarrow{DA}=\vec{a}+\vec{b}\ne \overrightarrow{HC}=-(\vec{a}+\vec{b})$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Tương tự $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$, $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Cộng lại: $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức với 4 điểm $M,N,P,Q$ bất kì.

A: $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NQ}$, còn $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MN}$ không rút gọn được thành một vecto cố định. Không luôn đúng.

B: Vế trái $\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ (giao hoán, quy tắc ba điểm). Vế phải $\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MP}$. Hai vế cùng bằng $\overrightarrow{MP}$, luôn đúng.

C: Thử với $M=(0;0),N=(1;0),P=(0;1),Q=(1;1)$: vế trái $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}=(1;0)+(1;0)=(2;0)$; vế phải $\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MQ}=(-1;1)+(1;1)=(0;2)$. Khác nhau, nên C không luôn đúng.

D: Chuyển vế: $\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}-\overrightarrow{QP}$, tức $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MP}$, chỉ đúng khi $M=P$. Không luôn đúng.

Vậy đẳng thức luôn đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức (dùng quy tắc ba điểm, có thể kiểm tra bằng cách đặt các điểm trên trục số).
A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FA}=\vec{0}$ → đúng.
B: $\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ → đúng.
C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}-(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD})=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD})+(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{AE})+(\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BF})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ → đúng.
D: $\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF})=(\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{AE})+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{FC}\ne \vec{0}$ (vì $F\ne C$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=0,B=1,C=2,D=3,E=4,F=5$ thì vế trái $=-2+3+2=3$, vế phải $=2+4+3=9$, không bằng nhau. Vậy đẳng thức D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: A(0;0), B(2;0), C(0;2) thì D(1;0), E(1;1). Gọi M(x;y). Phương trình: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ tức $(A-M)+(C-B)-(M-B)-(B-A)=A-B$, suy ra $2A+C-2B-2M=A-B$, nên $2M=3A+C-2B$, tức $M=(0;1)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{MA}=(0;-1)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;2)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(2;0)$: tổng bằng $(-2;0)=\overrightarrow{BA}$ đúng. Xét các đáp án: $\overrightarrow{BD}=(-1;0)$, $\overrightarrow{CM}=(0;-1)$ → A sai; $\overrightarrow{AM}=(0;1)$, $\overrightarrow{ED}=(0;-1)$ → B sai; M không là trung điểm BC → C sai; $\overrightarrow{EM}=M-E=(-1;0)=\overrightarrow{BD}$ → D đúng. Cách vecto: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BE}$, nên $2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}$, suy ra $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BE}=\frac{\overrightarrow{CB}}{2}$, từ đó $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, do đó vế phải bằng $\vec{0}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{NA}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NA}$. Chọn gốc $A$: gọi $\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{d}=\overrightarrow{AD},\vec{n}=\overrightarrow{AN}$. Khi đó $\overrightarrow{NC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{n}$, $\overrightarrow{ND}=\vec{d}-\vec{n}$, $\overrightarrow{NA}=-\vec{n}$. Phương trình: $(\vec{b}+\vec{d}-\vec{n})+(\vec{d}-\vec{n})=-\vec{n}\Rightarrow \vec{b}+2\vec{d}-2\vec{n}=0\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Suy ra $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$). Vậy $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BN}$, tức điểm $C$ là trung điểm cạnh $BN$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=3$, $BC=4$. Theo định lí Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Vậy $|\overrightarrow{AC}|=AC=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ các đỉnh lục giác đều bán kính 1: $A(1,0)$, $B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $C(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1,0)$, $E(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $F(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$, tâm $O(0,0)$. Khi đó $\overrightarrow{OC}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, có độ dài bằng cạnh lục giác. Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{ED}=D-E=(-1+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{OC}$. Lưu ý $\overrightarrow{DE}=E-D=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\overrightarrow{OC}$ nên không thỏa. Các cặp đỉnh khác cho vectơ khác hướng hoặc khác độ dài (chỉ các cạnh song song cùng chiều với $OC$ mới thỏa). Vậy có đúng 2 vectơ: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{ED}$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$ và $\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{YX}$. A: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$, sai. B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{BC}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$), sai. C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, đúng. D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$... tính lại: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$; dùng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{CA}$, sai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $I$ nằm giữa $A$ và $B$ và $IA=IB$, tức là hai vecto $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ có cùng điểm đầu $I$, cùng độ dài nhưng ngược hướng, nghĩa là $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Xét các phương án: A) $IA=IB$ chỉ cho biết $I$ nằm trên trung trực của $AB$, chưa đảm bảo $I$ nằm trên đoạn $AB$, nên sai. B) $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$ suy ra $A=B$, mâu thuẫn với $A,B$ phân biệt, sai. C) $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ đúng như trên. D) $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ suy ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, tức $I$ là điểm đầu của $\overrightarrow{IB}$... thực chất $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ với $I$ chung: $I-A=B-I$ suy ra $A+I...$ kiểm tra: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ nghĩa là $I-A=I-B$ suy ra $A=B$, sai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$ (tính chất trung điểm). Do đó C đúng. Kiểm tra các phương án khác: $G$ nằm trên trung tuyến $AI$ với $AG=2GI$ và $G$ giữa $A,I$ nên $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$ (A sai); $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}$ nên B sai; $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GA}\ne \overrightarrow{GA}$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Xét $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$. Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$. Vậy khẳng định A đúng. Các phương án khác sai: B sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{DA}\ne 2\overrightarrow{CD}$; D sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{CD}$ (ví dụ với $A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)$ thì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(2,1)\ne (1,0)=\overrightarrow{CD}$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=\overrightarrow{BC}$ và $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ không cùng phương (lần lượt cùng phương với hai cạnh khác phương $BC$ và $AC$ của tam giác), nên hai vectơ $x\vec{a}+y\vec{b}$ và $x^{\prime }\vec{a}+y^{\prime }\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{x}{x^{\prime }}=\frac{y}{y^{\prime }}$. Xét từng đáp án: A: $\frac{2}{1}\ne \frac{1}{2}$ nên không cùng phương. B: $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{-1}=2$ nên không cùng phương. C: $-10\vec{a}-2\vec{b}=-2(5\vec{a}+\vec{b})$, nên hai vectơ cùng phương (ngược hướng). D: $\frac{1}{1}\ne \frac{1}{-1}$ nên không cùng phương. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\hat{B}=50^{\circ }$ nên $\hat{C}=40^{\circ }$.
- A: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-\hat{B}=130^{\circ }$, đúng.
- B: $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC})=\hat{C}=40^{\circ }$, đúng.
- C: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB})=\hat{B}=50^{\circ }$, đúng.
- D: $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-\hat{C}=140^{\circ }\ne 120^{\circ }$, nên khẳng định D sai.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng bằng 0°. Do đó $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 0^{\circ }=|\vec{a}|.|\vec{b}|$. Vậy đáp án A.