Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $A,M,B$ thẳng hàng, $MA=MB=\frac{AB}{2}$.
- A: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=-MA.AB$ — đúng.
- B: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-MA.MB$ — đúng.
- C: $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=AM.AB$ — đúng.
- D: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-MA.MB\ne MA.MB$ (với $MA,MB>0$) — sai.
Vậy biểu thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Do đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA})$. Tam giác đều cạnh $a$ có góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $120^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$; ngoài ra $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA}=-|\overrightarrow{AC}{|}^2=-a^2$. Vậy $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left(-\frac{a^2}{2}-a^2\right)=-\frac{3a^2}{4}$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3),\vec{b}=(4;1)$: $\vec{a}\cdot \vec{b}=-8+3=-5$, $|\vec{a}{|}^2=13$, $|\vec{b}{|}^2=17$. a) $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=13-(-5)=18\ne 12$ → Sai. b) $(\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=2|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2=26-5-17=4$ → Đúng (sửa: tính lại $2|a{|}^2-a\cdot b+2a\cdot b-|b{|}^2=26+5-17=14$? Kiểm tra trực tiếp: $\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=-16+20=4$ → Đúng). c) $\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$: $-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}$ → Đúng. d) $\vec{d}=(x;y)$: $-2x+3y=4$, $4x+y=-2$. Từ phương trình thứ hai $y=-2-4x$, thay vào: $-2x-6-12x=4\Rightarrow x=-\frac{5}{7}$, $y=-2+\frac{20}{7}=\frac{6}{7}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=13-(-5)=18\ne 12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=2(-8)+4(5)=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}\perp \vec{a}\iff -2m+3=0\iff m=\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $-2x+3y=4$, $4x+y=-2$ được $x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 32: a) $\vec{a}.\vec{b}=2.3+5.(-7)=6-35=-29\ne 29$ → sai. b) $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-29}{\sqrt{29}\sqrt{58}}=\frac{-29}{\sqrt{1682}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ }\ne 15^{\circ }$ → sai. c) $\cos (\vec{a},\vec{c})=\frac{2.1+5.1}{\sqrt{29}\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{58}}\approx 0,91915$ nên $(\vec{a},\vec{c})\approx 23,1986^{\circ }$ → đúng. d) $\vec{d}=(4x+1;x+4)$, $\cos (\vec{d},\vec{c})=\frac{(4x+1)+(x+4)}{\sqrt{(4x+1{)}^2+(x+4{)}^2}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ suy ra $5x+5=\sqrt{17x^2+16x+17}$ (cần $x\ge -1$). Bình phương: $25(x+1{)}^2=17x^2+16x+17\iff 4x^2+17x+4=0\iff x=-\frac{1}{4}$ hoặc $x=-4$. Với $x=-4$ thì $5x+5=-15<0$ (loại vì cos phải dương), vậy $x=-\frac{1}{4}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}.\vec{b}=2.3+5.(-7)=-29\ne 29$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-29}{\sqrt{29.58}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $135^{\circ }$, không phải $15^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{c})=\frac{7}{\sqrt{58}}\approx 0,91915$ nên $(\vec{a},\vec{c})\approx 23,1986^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\cos (\vec{d},\vec{c})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ta được $5x+5=\sqrt{17x^2+16x+17}$, giải ra $x=-\frac{1}{4}$ hoặc $x=-4$; nghiệm $x=-4$ bị loại vì khi đó $\vec{d}.\vec{c}<0$ (góc $135^{\circ }$). Vậy $x=-\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(4a;0),C(4a;3a),D(0;3a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ là $M(2a;0)$, trọng tâm $G$ của tam giác $ACM$ là $G\left(\frac{0+4a+2a}{3};\frac{0+3a+0}{3}\right)=(2a;a)$.

a) $\overrightarrow{CM}=M-C=(-2a;-3a)$. Mặt khác $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(-4a;0)-3(0;3a)=(-2a;-9a)\ne \overrightarrow{CM}$. Sai.

b) $\overrightarrow{BG}=G-B=(-2a;a)$. Mặt khác $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(-6a;0)+(0;a)=(-6a;a)\ne \overrightarrow{BG}$. Sai.

c) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=(0;3a)\cdot (-4a;0)=0$ (vì $BA\perp BC$). Đúng.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(-2a)(-2a)+(a)(-3a)=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.

Ghi chú: bản gốc in nhãn câu con thứ tư là 'b)' thay vì 'd)', giữ nguyên theo nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=(-2a;-3a)$ còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(-2a;-9a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=(-2a;a)$ còn $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(-6a;a)$, hai vectơ không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp BC$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(-2a)(-2a)+a(-3a)=a^2\ne -a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 150^{\circ }=3\cdot 4\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6\sqrt{3}$, nên a) đúng. b) $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=9-16=-7\ne 7$, sai. c) $(3\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-2\vec{b})=3|\vec{a}{|}^2-6\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{b}{|}^2=27-5(-6\sqrt{3})-32=-5+30\sqrt{3}$, đúng. d) sai vì giá trị đúng là $-5+30\sqrt{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 4\cos 150^{\circ }=12\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=9-16=-7\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(3\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-2\vec{b})=27-5\vec{a}\cdot \vec{b}-32=-5+30\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $-5+30\sqrt{3}$, không phải $5+30\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ với $\vec{u}\perp \vec{v}$, $|\vec{u}|=|\vec{v}|=a$.

a) $E$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}=\vec{u}+\frac{3}{4}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{3}{4}\vec{v}$, khác $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{4}\overrightarrow{AD}$. Sai.

c) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{3}{4}\vec{v}\right)-\left(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\right)=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}{a}^2+\frac{3}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{a}^2\ne 0$ nên góc $A$ không vuông; $|AE{|}^2=\frac{5a^2}{4}\ne |AF{|}^2=\frac{5a^2}{8}$ nên tam giác $AEF$ không vuông cân. Sai.
a) E là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$, khác với $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{4}\overrightarrow{AD}$. Sai.
c) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)-\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$. Đúng.
d) $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}{a}^2+\frac{3}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{a}^2\ne 0$ nên góc $A$ không vuông; hơn nữa $|AE{|}^2=\frac{5a^2}{4}$ còn $|AF{|}^2=\frac{5a^2}{8}$, hai cạnh không bằng nhau → tam giác $AEF$ không vuông cân. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$ → sai. b) $D$ trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ → đúng. c) Định lí cosin: $B{C}^2=32+36-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=68-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → sai. d) $\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(24k-32+36k-24)=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$, phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $D$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, phát biểu đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B{C}^2=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$, phát biểu sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$, phát biểu đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều, góc $A=B=C=60^{\circ }$, $AH$ là đường cao nên $AH\perp BC$.

a) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng góc $BAC=60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$ → sai.

b) $AH\perp BC$ mà $\overrightarrow{CB}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $90^{\circ }$ → đúng.

c) Góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng góc $ACB=60^{\circ }$; vì $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$ nên góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ → đúng.

d) Góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{BA}$: tại $B$, góc giữa $BH$ (cùng hướng $AH$) và $BA$ là góc $ABH=30^{\circ }$, nhưng $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BH}$... tính trực tiếp: góc giữa $\overrightarrow{AH}$ (hướng từ $A$ xuống $H$) và $\overrightarrow{BA}$ (hướng từ $B$ lên $A$) bằng $180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, không phải $130^{\circ }$ → sai.

a) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng góc $BAC=60^{\circ }$ (tam giác đều), không phải $30^{\circ }$.

b) $AH$ là đường cao nên $AH\perp BC$; $\overrightarrow{CB}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $90^{\circ }$.

c) Góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $60^{\circ }$; do $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$ nên góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

d) Góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $180^{\circ }-$ góc $ABH=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, không phải $130^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh 2, góc $B=60^{\circ }$ nên góc $A=120^{\circ }$, góc $D=60^{\circ }$.

a) Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2$ và $\hat{B}=60^{\circ }$ nên đều, do đó $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, tức góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$. Đúng.

b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng $\hat{A}=120^{\circ }$, nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ (đối chiều với $\overrightarrow{AD}$) bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.

c) Góc $D=60^{\circ }$ nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DA}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2\ne 3$. Sai.

d) Tọa độ hóa: $A(0,0),B(2,0),C(1,\sqrt{3}),D(-1,\sqrt{3})$, tâm $O\left(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{OB}=\left(1.5,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{BA}=(-2,0)$, nên $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=1.5\cdot (-2)+0=-3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ với góc $B=60^{\circ }$ nên đều, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi có góc $B=60^{\circ }$ nên góc $D=60^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DA}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $A(0,0),B(2,0),C(1,\sqrt{3}),D(-1,\sqrt{3})$, $O(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})$: $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=1.5\cdot (-2)+0=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$, $BC=2a$ nên $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=30^{\circ }\ne 60^{\circ }$ ⇒ Sai.
b) $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$ nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos B=a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=a^2$ ⇒ Đúng.
c) Góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$ là $180^{\circ }-C=150^{\circ }$, nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3a^2\ne 3a^2$ ⇒ Sai.
d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$; $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=-3a^2$; $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ (vì $CA\perp AB$). Tổng $=-a^2-3a^2+0=-4a^2$ ⇒ Đúng.
Lưu ý: nguồn in nhãn mệnh đề thứ tư là 'b)' (lỗi đánh số gốc), thực chất là mệnh đề d).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot 2a\cdot \cos B=2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \cos (180^{\circ }-30^{\circ })=-3a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$, $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=-3a^2$, $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, tổng bằng $-4a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$, suy ra $M(a/2;0),O(a/2;a/2)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, $\overrightarrow{CA}=(-a;-a)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-a^2\ne a^2$ → sai.
b) $\overrightarrow{AM}=(a/2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a)$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2/2\ne a^2/3$ → sai.
c) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=(0;a)\cdot (-a;a)=a^2$; $\overrightarrow{OM}=(0;-a/2)$, $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2/2$; tổng bằng $a^2/2$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(a;a)$; $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(-a;a)+(0;a)=(-a;2a)$; tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=(a;0)\cdot (-a;-a)=-a^2\ne a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=(a/2;0)\cdot (a;a)=a^2/2\ne a^2/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2$ và $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2/2$, tổng bằng $a^2/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=(a;a)\cdot (-a;2a)=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(8;0)$, $D(0;6)$, $C(4;6)$ (vì $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$). Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;3)$.
Suy ra $\overrightarrow{IA}=(0;-3)$, $\overrightarrow{IB}=(8;-3)$, nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(8;-6)$.
Ta có $\overrightarrow{ID}=(0;3)$.
Do đó $(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})\cdot \overrightarrow{ID}=8\cdot 0+(-6)\cdot 3=-18$.
Kết quả khớp với đáp số $-18$ của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$. Tam giác vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Khi đó: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(-A{B}^2+0\right)=\frac{1}{2}(-1)=-0,5$. Kết quả khớp đáp số nguồn $-0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=A-C=(1;-1)$, $\overrightarrow{CB}=B-C=(-1;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 0=-1$. Độ dài: $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1+0}=1$. Vậy $\cos \widehat{ACB}=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\approx -0,7$. Kết quả trùng với đáp số $-0,7$ của nguồn.