Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(\sqrt{13};0)$, $D(0;\sqrt{13})$, $C(\sqrt{13};\sqrt{13})$. Trung điểm $M$ của $AB$ là $M\left(\frac{\sqrt{13}}{2};0\right)$. Vì $N$ đối xứng với $C$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $CN$: $\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{DC}$, suy ra $N=2D-C=(-\sqrt{13};\sqrt{13})$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{3\sqrt{13}}{2};\sqrt{13}\right)$, nên $MN=\sqrt{\frac{117}{4}+13}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}$. (Điểm $P$ với $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}$ không ảnh hưởng đến độ dài $\overrightarrow{MN}$.) Vậy $|\overrightarrow{MN}|=\frac{13}{2}=6,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với quy tắc hiệu và tổng vecto:
- A: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$, đúng.
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, sai.
- D: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, sai.
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{GD}$, nên $\vec{v}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{GE}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (tính chất tổng ba vecto từ trọng tâm đến ba đỉnh). Do đó đáp án đúng là C. Các phương án A, B, D đều sai vì tổng này luôn xác định được, ba vecto $\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC}$ không bằng nhau, và $\overrightarrow{GC}\ne \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$ (vế phải bằng $-\overrightarrow{GC}$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (vì $CD$ song song và bằng $AB$, cùng chiều với $\overrightarrow{BA}$). Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án với quy tắc ba điểm và tính chất hình bình hành $ABCD$ (có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$):
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$, sai.
- B: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AC}$, sai.
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành), đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$, sai.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Do đó $\vec{v}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IB}=-2\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ (đề viết nhầm $ABCDCF$). Chọn hệ trục với bán kính 1: $A(1;0)$, $B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $C(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1;0)$, $E(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $F(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
A) $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AF}|=1$ (cạnh lục giác đều) → đúng.
B) $\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{ED}=D-E=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ → đúng.
C) $\overrightarrow{OD}=(-1;0)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(-1;0)$ → đúng.
D) $\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ còn $\overrightarrow{OE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\overrightarrow{OB}$, hai vecto ngược hướng nên không bằng nhau → sai.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=\vec{0}$ khi và chỉ khi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ (quy tắc trung điểm). Đoạn thẳng $PQ$ có đúng một trung điểm, nên có đúng 1 điểm $M$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với tam giác $ABC$:
A) $\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$, nên A sai.
B) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên B sai.
C) Cộng một vecto với vecto $\vec{0}$ được chính nó: $\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}$, nên C đúng.
D) Theo quy tắc trừ hai vecto cùng điểm đầu: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$, nên D sai.
Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|$. Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, $H$ là trung điểm $BC$ nên $CA=a$, $CH=\frac{a}{2}$, và góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CH}$ là $\widehat{ACH}=60^{\circ }$. Do đó ${\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|}^2=a^2+\frac{a^2}{4}+2\cdot a\cdot \frac{a}{2}\cos 60^{\circ }=a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{7a^2}{4}$. Vậy $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\frac{a\sqrt{7}}{2}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh 5 nên $|\overrightarrow{BC}|=BC=5$. Vậy độ dài véc-tơ bằng 5, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $D$ của hình vuông $ABCD$: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$. Vậy độ dài cần tính là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh $2a$: $|\overrightarrow{DB}|=DB=2a\sqrt{2}$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực cùng độ dài 50 N, góc $60^{\circ }$. a) Đúng theo giả thiết. b) Hai vecto khác hướng nên $\overrightarrow{F_1}\ne \overrightarrow{F_2}$, sai. c) Lực tổng hợp $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$, với hai lực bằng nhau hợp góc $60^{\circ }$ thì $|\overrightarrow{F}|=2\cdot 50\cos 30^{\circ }=50\sqrt{3}$ N, đúng. d) Do $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|$, tổng hợp nằm trên phân giác góc giữa hai lực nên tạo với mỗi lực góc $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết hai lực đều có cường độ 50 N.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto cùng độ dài nhưng khác phương (hợp góc $60^{\circ }$) nên $\overrightarrow{F_1}\ne \overrightarrow{F_2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có độ dài $|\overrightarrow{F}|=2\cdot 50\cos 30^{\circ }=50\sqrt{3}$ N (quy tắc hình bình hành OACB với OC là đường chéo).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|$, hình bình hành OACB là hình thoi nên $\overrightarrow{F}$ nằm trên phân giác góc $\widehat{AOB}=60^{\circ }$, do đó tạo với $\overrightarrow{F_1}$ góc $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $GM=\frac{1}{3}AM$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$. Suy ra $GM=\frac{6}{3}=2$ và $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2GM=2\cdot 2=4$. Vậy độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ bằng $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overrightarrow{v_n}$ là vận tốc của dòng nước so với bờ: $|\overrightarrow{v_n}|=10$ km/h, hướng từ Bắc xuống Nam. Gọi $\overrightarrow{v_c}$ là vận tốc của ca nô so với dòng nước: $|\overrightarrow{v_c}|=35$ km/h, hướng từ Đông sang Tây. Vì hai phương này vuông góc với nhau, vận tốc của ca nô so với bờ là $\vec{v}=\overrightarrow{v_c}+\overrightarrow{v_n}$ với $|\vec{v}|=\sqrt{35^2+10^2}=\sqrt{1225+100}=\sqrt{1325}=5\sqrt{53}\approx 36.4$ km/h. Vậy vận tốc của ca nô so với bờ khoảng $36.4$ km/h (hướng chếch về phía Tây Nam, tạo với hướng Tây góc $\arctan (10/35)\approx 15.9^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, vecto vận tốc của máy bay có độ lớn 150 km/h theo hướng bắc, vecto vận tốc gió có độ lớn 30 km/h theo hướng đông. Hai vecto này vuông góc với nhau nên theo quy tắc hình bình hành (ở đây là quy tắc tam giác), vecto tổng là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh vuông góc 150 km/h và 30 km/h.

Độ dài vecto tổng là:
$$|\vec{v}|=\sqrt{150^2+30^2}=\sqrt{22500+900}=\sqrt{23400}=30\sqrt{26}\approx 152,97\text{ (km/h)}.$$

Vậy độ dài vecto tổng của hai vecto vận tốc bằng $30\sqrt{26}\approx 153$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi vận tốc riêng của mỗi tàu đối với nước là $\vec{v}$ (cùng độ lớn $v$), vận tốc dòng nước là $\vec{u}$ song song với bờ. Chọn trục vuông góc với bờ. Thành phần vận tốc của tàu theo phương vuông góc với bờ chỉ do vận tốc riêng của tàu tạo ra (dòng nước không có thành phần theo phương này), bằng $v\sin \alpha$ với cả hai tàu vì chúng cùng tạo với bờ góc nhọn $\alpha$ như nhau. Bề rộng sông là như nhau nên thời gian sang bờ của mỗi tàu là $t=\frac{d}{v\sin \alpha }$, giống nhau đối với cả hai tàu. Dòng nước chỉ làm tàu trôi dọc theo bờ (tàu hướng hạ lưu trôi xuống dưới, tàu hướng thượng nguồn bị đẩy lùi) nhưng không ảnh hưởng đến thời gian vượt sông. Vậy hai tàu sang bờ bên kia cùng một lúc.

(AI giải đề cho tôi)
Vật ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $F_3=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$.
Ta có $\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=F_1{F}_2\cos 120^{\circ }=100\cdot 100\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-5000$.
Do đó:
$$F_3^2=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=F_1^2+F_2^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=10000+10000-10000=10000.$$
Vậy $F_3=100N$. (Nhận xét: vì hai lực bằng nhau và góc giữa chúng $120^{\circ }$, tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn đúng bằng $100N$, hướng đối diện với $\overrightarrow{F_3}$ như trong hình.)