Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}$. Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IG})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})=4\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}$. Vì $I$ nằm trên đoạn $GC$ với $IC=3IG$ nên $\overrightarrow{GI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}$, tức $\vec{I}=\frac{3\vec{G}+\vec{C}}{4}$, suy ra $3\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}=3(\vec{G}-\vec{I})+(\vec{C}-\vec{I})=3\vec{G}+\vec{C}-4\vec{I}=\vec{0}$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MI}$ với mọi $M$, tức $x=4$. Khi đó $3x+2024=12+2024=2036$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n_a,n_b,n_c$ là các vecto đơn vị pháp tuyến hướng vào trong của các cạnh $BC,CA,AB$; vì tam giác đều nên $n_a+n_b+n_c=\vec{0}$. Gọi $d_a,d_b,d_c$ là khoảng cách từ $I$ đến $BC,CA,AB$ thì $\overrightarrow{ID}=-d_a{n}_a$, $\overrightarrow{IE}=-d_b{n}_b$, $\overrightarrow{IF}=-d_c{n}_c$, do đó $\vec{S}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=-(d_a{n}_a+d_b{n}_b+d_c{n}_c)$.

Vì $O$ là tâm tam giác đều (đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp bán kính $r$) nên khoảng cách từ $O$ đến mỗi cạnh bằng $r$, và theo định lý Viviani $d_a+d_b+d_c=h=3r$. Với mọi điểm $P$: $d_a(P)=d_a+\overrightarrow{IP}\cdot n_a$, nên $\overrightarrow{IO}\cdot n_a=r-d_a$ (tương tự với $n_b,n_c$).

Tính $\vec{S}\cdot n_a=-(d_a-\frac{d_b+d_c}{2})=-(d_a-\frac{3r-d_a}{2})=\frac{3}{2}(r-d_a)=\frac{3}{2}\overrightarrow{IO}\cdot n_a$. Tương tự với $n_b,n_c$. Vì $n_a,n_b,n_c$ sinh toàn mặt phẳng nên $\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{IO}$.

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$ (tối giản), $a+b=3+2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình lưới ô vuông, vecto $\overrightarrow{AB}$ đi từ $A$ sang $B$ với độ dài 2 đơn vị theo chiều ngang sang phải, tức $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}$. Vecto $\overrightarrow{CD}$ đi từ $C$ sang $D$ với độ dài 6 đơn vị theo chiều ngang sang trái, tức $\overrightarrow{CD}=-6\vec{i}$. Suy ra $\overrightarrow{CD}=-3(2\vec{i})=-3\overrightarrow{AB}$. Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Vậy đáp án B. (Kiểm tra A: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AM}$, sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ suy ra $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MN}$ và $MP=\frac{1}{3}MN$, tức điểm $P$ nằm giữa $M$ và $N$, gần $M$ hơn (thứ tự điểm là $M$, $P$, $N$ với $MP=\frac{1}{3}MN$). Hình vẽ đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$, tức $MA=2MB$ và $M,B,A$ thẳng hàng với $B$ nằm giữa $M$ và $A$ (vì hai vecto cùng hướng). Đặt $MB=x$, khi đó $MA=x+AB$. Điều kiện $x+AB=2x$ cho $x=AB$, suy ra $AM=AB+BM=2AB$. Vậy $M$ nằm ngoài đoạn thẳng $AB$ (về phía $B$) sao cho $AM=2AB$. Kiểm tra: $MA=2AB=2MB$ đúng vì $MB=AB$. Các phương án A, B, C đều sai vì $M$ không nằm giữa $A$ và $B$ và $A$ không phải trung điểm $BM$ (vì $BA=AB\ne AM=2AB$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $BC=AD=4$. Theo định lý Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$ nên $H$ là trung điểm của $BC$, do đó $\left|\overrightarrow{HC}\right|=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\right|$, tức $\left|\overrightarrow{AC}\right|=2\left|\overrightarrow{HC}\right|$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có phương khác nhau; B sai vì $AH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\sqrt{3}HC\ne \frac{\sqrt{3}}{2}HC$; C sai vì $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{HC}$ ngược hướng. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ (hình vuông cạnh $a$). Khi đó $\overrightarrow{AB}=(a,0)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a)$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2a,a)$. Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=4MC$ nên $\overrightarrow{MB}=-4\overrightarrow{MC}$, suy ra $\overrightarrow{BM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$. Do đó: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm $BC$, $M$ là trung điểm $AB$. Ta có $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})$. Giả sử $\overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{AN}+\beta \overrightarrow{CM}$, so sánh hệ số: $\frac{\alpha +\beta }{2}=1$ và $\frac{\alpha -2\beta }{2}=0$, suy ra $\alpha =2\beta$ và $\frac{3\beta }{2}=1\Rightarrow \beta =\frac{2}{3},\alpha =\frac{4}{3}$. Vậy $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AN}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, giao điểm $O$ của hai đường chéo là trung điểm của cả $AC$ lẫn $BD$.
- Xét A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. Vì $\overrightarrow{AO}$ cùng phương với $AC$ còn $\overrightarrow{BO}$ cùng phương với $BD$ (hai đường chéo khác phương), nên $\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{BO}$. Mệnh đề A sai.
- Xét B: $O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, đúng.
- Xét C: Theo quy tắc hình bình hành tại $C$: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CO}$ (vì $O$ là trung điểm $BD$), đúng.
- Xét D: $O$ là trung điểm $DB$ nên $\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{OB}$, đúng.
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$, do đó $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$, tức $I$ cũng là trung điểm của $MA$. Vậy hai đường chéo $MA$ và $BC$ của tứ giác $ABMC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $ABMC$ là hình bình hành. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$, với $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AD}|=BC=2a$. Khi đó ${\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right|}^2=a^2+4\cdot (2a{)}^2=a^2+16a^2=17a^2$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{17}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
b) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$: đúng.
d) $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})$. Lại có $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$; $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$. Suy ra $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD})=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD})=\vec{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\right]=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay A bay hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h nên $|\vec{a}|=600$; máy bay B bay hướng tây nam với tốc độ 800 km/h nên $|\vec{b}|=800$. Hai hướng đông bắc và tây nam đối nhau nên $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng.
a) Đúng: đông bắc và tây nam là hai hướng ngược nhau, nên $\vec{b}$ ngược hướng $\vec{a}$.
b) Sai: $|\vec{a}|=600$ (km/h), $|\vec{b}|=800$ (km/h), đề đảo ngược hai giá trị.
c) Đúng: vì $\vec{b}$ ngược hướng $\vec{a}$ nên $\vec{b}=k\vec{a}$ với $k<0$ và $|k|=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}=\frac{800}{600}=\frac{4}{3}$, suy ra $\vec{b}=-\frac{4}{3}\vec{a}$.
d) Sai: vì $\vec{a}$ ngược hướng $\vec{b}$ và $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=\frac{600}{800}=\frac{3}{4}$ nên $\vec{a}=-\frac{3}{4}\vec{b}$, không phải $\vec{a}=\frac{4}{3}\vec{b}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đông bắc và tây nam là hai hướng đối nhau, nên $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thực tế $|\vec{a}|=600$ (km/h) và $|\vec{b}|=800$ (km/h), khẳng định đã hoán đổi hai giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{b}$ ngược hướng $\vec{a}$ và $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}=\frac{800}{600}=\frac{4}{3}$ nên $\vec{b}=-\frac{4}{3}\vec{a}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ ngược hướng $\vec{b}$ và $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=\frac{3}{4}$ nên $\vec{a}=-\frac{3}{4}\vec{b}$, không phải $\vec{a}=\frac{4}{3}\vec{b}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MN}$ nên $P$ nằm trên đoạn thẳng $MN$, cùng phía với $N$ so với $M$, và $MP=\frac{1}{4}MN=\frac{1}{4}\cdot 8=2$ cm. Vậy $P$ là điểm trên đoạn $MN$ sao cho $MP=2$ cm (khi đó $PN=6$ cm). Cách dựng: từ $M$ vẽ cung tròn bán kính 2 cm cắt đoạn $MN$ tại $P$; hoặc lấy $P$ sao cho $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MN}$, tức $P$ chia đoạn $MN$ theo tỉ số $\frac{MP}{PN}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện đề bài:
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$$
$$\iff \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AK}.$$
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}$, do đó:
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AK}.$$
Vì $K$ là trung điểm của $AI$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$. Mặt khác $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BA}$, suy ra:
$$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BI}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BA}\right)=\frac{5}{2}\overrightarrow{BI}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$$
Vì $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, ta được:
$$\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$$
Vậy điểm $M$ cần tìm là điểm xác định duy nhất bởi:
$$\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA},$$
tức là $M$ nằm trên đường thẳng qua đầu $C^{\prime }$ của vecto $\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}$ (điểm trên tia $BC$ với $B{C}^{\prime }=\frac{5}{4}BC$) và được tịnh tiến thêm vecto $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra: với $\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{BI}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BM}$, nên tổng các vecto trong đề bài bằng $\vec{0}$. Điểm $M$ tồn tại duy nhất vì $\overrightarrow{BM}$ được xác định duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc tại $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$.

Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

$M$ là trung điểm của $OA$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}$.

$N$ là trung điểm của $CD$: ta có $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}\right)-\left(\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$.

Vậy $a=\frac{1}{4}$, $b=\frac{3}{4}$, suy ra $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đối xứng qua đường thẳng $MC$ (góc $\widehat{AMB}=60^{\circ }$), nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{MC}$ (tức ngược hướng $\overrightarrow{F_3}$). Do đó $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|$. Vì $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=25$ N và góc giữa chúng bằng $60^{\circ }$: ${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|}^2=25^2+25^2+2\cdot 25\cdot 25\cdot \cos 60^{\circ }=625+625+625=1875$. Suy ra $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}\approx 43,3$ N. Vậy cường độ lực của $\overrightarrow{F_3}$ bằng $25\sqrt{3}\approx 43,3$ N.