Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$.

a) Dựng điểm:
- $M$ trên đoạn $AB$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $M$ nằm giữa $A$ và $B$ với $AM=\frac{1}{3}AB$.
- $N$ sao cho $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$: vì $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ và cùng hướng, nên $N$ nằm trên tia $BC$ với $CN=2BC$, tức $B$ là trung điểm $CN$.

b) Phân tích:
- $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$.
- $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\vec{b}+2\overrightarrow{BC}=\vec{b}+2(\vec{b}-\vec{a})=-2\vec{a}+3\vec{b}$.
- $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(-2\vec{a}+3\vec{b})-\frac{1}{3}\vec{a}=-\frac{7}{3}\vec{a}+3\vec{b}$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=-\left(\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}\right)+2(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{7}{3}\vec{a}+3\vec{b}$, khớp kết quả trên.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vận tốc ngược hướng nhau nên $k<0$. Độ lớn: $|k|=\frac{|\overrightarrow{v_2}|}{|\overrightarrow{v_1}|}=\frac{80}{20}=4$. Vậy $k=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Ox theo hướng của $\overrightarrow{F_1}$. Hai lực $\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau $20N$ và tạo với $\overrightarrow{F_1}$ các góc $45^0$ đối xứng nhau qua trục Ox nên thành phần theo phương vuông góc triệt tiêu, còn hợp thành phần theo phương Ox bằng: $2\cdot 20\cos 45^0=40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}N$ cùng chiều $\overrightarrow{F_1}$. Để vật dừng lại, tổng các lực bằng $\vec{0}$: theo phương Ox ta có $F_1+20\sqrt{2}-F_2=0$. Mà $F_2=2F_1$ nên $2F_1=F_1+20\sqrt{2}\Rightarrow F_1=20\sqrt{2}N$. Vậy $F_2=2F_1=40\sqrt{2}\approx 56,6N$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto cùng phương khi định thức $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$. A: $2\cdot 9-6\cdot 3=0$ cùng phương. B: $0\cdot (-1)-0\cdot 5=0$ cùng phương. C: $(-2)\cdot 2-1\cdot 1=-5\ne 0$ không cùng phương. D: $3\cdot (-8)-(-6)\cdot 4=0$ cùng phương. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\vec{v}=-\vec{u}$. Với $\vec{u}=(2;-1)$ thì $-\vec{u}=(-2;1)$. Xét từng phương án: A. $\vec{v}=(-1;2)\ne -\vec{u}$, sai. B. $\vec{v}=(-2;-1)\ne -\vec{u}$, sai. C. $\vec{v}=(-2;1)=-\vec{u}$, đúng. D. $\vec{v}=(2;1)\ne -\vec{u}$, sai. Vậy mệnh đề đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(8-7;4+3)=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(1-7;5+3)=(-6;8)$ → đúng.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\cdot (-6)+7\cdot 8=50\ne 0$, hai vecto không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng → sai.
c) $M(8;4)=B$ thuộc đường thẳng BC. $\overrightarrow{BC}=(-7;1)$, $\overrightarrow{AM}=(1;7)$, tích vô hướng $=1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$ nên $AM\perp BC$ → M là hình chiếu vuông góc của A lên BC → đúng.
d) $AB=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$, $BC=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$, $CD=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$, $DA=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$. Bốn cạnh bằng nhau và có góc vuông tại B nên ABCD là hình vuông → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;8)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=50\ne 0$ nên không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
M=B thuộc BC và $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên AM⊥BC.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bốn cạnh đều $\sqrt{50}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên ABCD là hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N(x;y)$. Ta có $\overrightarrow{AN}=(x-1;y+2)$, $\overrightarrow{BN}=(x;y-4)$, $\overrightarrow{CN}=(x-3;y-2)$.

Điều kiện $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}=4\overrightarrow{CN}$ cho ta:
$$\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}=(x-1+2x;y+2+2(y-4))=(3x-1;3y-6)$$
$$4\overrightarrow{CN}=(4x-12;4y-8)$$

Suy ra hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x-1=4x-12\\ 3y-6=4y-8\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=11\\ y=2\end{array}$$

Vậy $N(11;2)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AN}=(10;4)$, $\overrightarrow{BN}=(11;-2)$, $\overrightarrow{CN}=(8;0)$. Khi đó $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}=(10+22;4-4)=(32;0)=4(8;0)=4\overrightarrow{CN}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos \left(\vec{u},\vec{v}\right)$. Do đó đáp án A đúng. B sai vì vế phải chứa $\vec{u}\cdot \vec{v}$ (chính nó), C dùng sin thay cos, D thiếu cos.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=8\cdot 11\cdot \cos 60^{\circ }=88\cdot \frac{1}{2}=44$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 30^{\circ }=4+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7+6=13$. Vậy $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{13}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $90^{\circ }$, do đó $\sin \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\sin 90^{\circ }=1$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng góc tại đỉnh $B$ của tam giác, tức $\hat{B}=30^{\circ }$, nên $\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy tổng bằng $1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 30^{\circ }=4+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7+6=13$. Vậy $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{13}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$. Khi đó $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=A{M}^2+\overrightarrow{MA}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=A{M}^2-\overrightarrow{AM}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, vì tam giác $ABC$ đều nên $AH\perp BC$ và $D$ đối xứng $A$ qua $BC$ cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=A{M}^2-\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AD}+\frac{a^2}{2}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (\vec{m},\vec{n})=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{-27}{9\cdot 6}=\frac{-27}{54}=-\frac{1}{2}$. Vì góc giữa hai vecto thuộc $[0^{\circ };180^{\circ }]$ nên $(\vec{m},\vec{n})=120^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\vec{a}-\vec{b}{)}^2=(\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{b}={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$. Do đó đáp án D. Lưu ý $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})$ nên phương án A sai vì viết $a^2+b^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}\cos (\vec{a},\vec{b})$ (cos bị thừa).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 90^{\circ }=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ có $\widehat{BAD}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cos 90^{\circ }=10\cdot 10\cdot 0=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, vì góc vuông tại $A$ và $D$ nên $B(a;0)$, $D(0;a)$, và $CD=2a$ song song $AB$ nên $C(2a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(2a;a)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=2a\cdot (-a)+a\cdot a=-2a^2+a^2=-a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$, $BC=2a$ nên $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=\sqrt{3}a$. Ta có $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$, do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=-|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BC}|\cos C$. Mà $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=-\sqrt{3}a\cdot 2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-3a^2$. Vậy đáp án A. (Kiểm tra bằng tọa độ: $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $C=(0,\sqrt{3}a)$; $\overrightarrow{AC}=(0,\sqrt{3}a)$, $\overrightarrow{CB}=(a,-\sqrt{3}a)$, tích vô hướng $=-3a^2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại B, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{BA}$ ($|\vec{u}|=4a$), $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$ ($|\vec{v}|=3a$, $\vec{u}\perp \vec{v}$). M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

a) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$. Khẳng định $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$ SAI.

b) G là trọng tâm tam giác ACM nên với gốc B: $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Khẳng định $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ SAI.

c) ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\left(\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{u}-\vec{v}\right)=\frac{1}{4}|\vec{u}{|}^2-\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{v}+\frac{1}{6}\vec{v}\cdot \vec{u}-\frac{1}{3}|\vec{v}{|}^2=\frac{1}{4}(16a^2)-\frac{1}{3}(9a^2)=4a^2-3a^2=a^2$. Khẳng định $-a^2$ SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$, không có hệ số 3 trước $\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, hệ số của $\overrightarrow{BA}$ là $\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$, tích vô hướng bằng 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}(4a{)}^2-\frac{1}{3}(3a{)}^2=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$.