Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,a)$, $C(a,a)$, $O(a/2,a/2)$, $M(a/2,0)$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{AC})=-a^2\ne a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}{a}^2\ne \frac{a^2}{3}$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=a^2$; $\overrightarrow{OM}=(0,-a/2)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a)$ nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}$. Tổng bằng $\frac{a^2}{2}$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=(a,a)$; $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(-a,a)+(0,a)=(-a,2a)$. Tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{AC})=-a^2\ne a^2$, sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{a^2}{2}\ne \frac{a^2}{3}$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2$ và $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}$, tổng bằng $\frac{a^2}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC}\cdot (-a,2a)=a^2$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ và $AC=AB=2$. Ta có:
$${\left|\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right|}^2={\overrightarrow{AB}}^2+6\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+9{\overrightarrow{AC}}^2=4+0+9\cdot 4=40.$$
Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ đều cạnh 3. Với mọi điểm $M$ ta có đồng nhất thức:
$$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2.$$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh 3 nên $GA=GB=GC=\frac{2}{3}A{M}_{\text{đường cao}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, suy ra $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=3\cdot 3=9$.
Do đó:
$$3M{G}^2+9=15\Rightarrow M{G}^2=2\Rightarrow MG=\sqrt{2}.$$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{2}\approx 1,41$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17: Tính $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})$.

a) $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 4\cdot \cos 30^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.

b) $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=30\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-15$.

c) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng nên $(\vec{a},\vec{b})=0^{\circ }$, do đó $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3\cdot \cos 0^{\circ }=6$.

d) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng nên $(\vec{a},\vec{b})=180^{\circ }$, do đó $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3\cdot \cos 180^{\circ }=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overrightarrow{v_1}$ là vận tốc máy bay, $|\overrightarrow{v_1}|=700$ km/h (hướng đông sang tây); $\overrightarrow{v_2}$ là vận tốc gió, $|\overrightarrow{v_2}|=40$ km/h (hướng đông bắc sang tây nam). Theo hình vẽ, góc giữa $\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ bằng $45^{\circ }$ (cả hai đều hướng về phía tây, gió lệch $45^{\circ }$ so với hướng bay). Vận tốc mới của máy bay là tổng: $\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$. Độ lớn: $$|\vec{v}{|}^2=|\overrightarrow{v_1}{|}^2+|\overrightarrow{v_2}{|}^2+2|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|\cos 45^{\circ }=700^2+40^2+2\cdot 700\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$=490000+1600+28000\sqrt{2}=491600+28000\sqrt{2}\approx 531197.99$$ Vậy $|\vec{v}|\approx \sqrt{531197.99}\approx 728.83$ km/h. Tốc độ mới của máy bay khoảng $728.83$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, góc BAC=60°, M là trung điểm BC.

a) Điểm D thỏa mãn vecto AD = (7/12) vecto AC: D nằm trên tia AC sao cho AD = (7/12)·AC = (7/12)·3 = 7/4, tức D thuộc đoạn AC với AD/DC = 7/5.

b) Tích vô hướng: vecto AB · vecto AC = AB·AC·cos(BAC) = 2·3·cos60° = 6·(1/2) = 3.

c) Biểu diễn theo vecto AB, vecto AC:
- Vì M là trung điểm BC: vecto AM = (1/2)(vecto AB + vecto AC).
- vecto BD = vecto AD − vecto AB = (7/12)vecto AC − vecto AB.

d) Chứng minh AM ⊥ BD:
vecto AM · vecto BD = (1/2)(vecto AB + vecto AC) · ((7/12)vecto AC − vecto AB)
= (1/2)[(7/12)(vecto AB·vecto AC) − |vecto AB|² + (7/12)|vecto AC|² − vecto AC·vecto AB]
= (1/2)[(7/12)·3 − 4 + (7/12)·9 − 3]
= (1/2)[7/4 − 4 + 21/4 − 3]
= (1/2)[7 − 7] = 0.
Vậy vecto AM ⊥ vecto BD, tức AM ⊥ BD (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20. a) Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A=bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.
b) Vì $M$ là trung điểm $BC$, ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, suy ra ${\overrightarrow{AM}}^2=\frac{1}{4}\left({\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\left(c^2+b^2+b^2+c^2-a^2\right)=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
Vì $AD$ là phân giác trong góc $A$ nên theo tính chất đường phân giác $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$, do đó $\overrightarrow{AD}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}$. Khi đó
$${\overrightarrow{AD}}^2=\frac{1}{(b+c{)}^2}\left(b^2{c}^2+c^2{b}^2+2bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2}\right)=\frac{bc\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)}{(b+c{)}^2}=\frac{bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]}{(b+c{)}^2}=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2}\right).$$
Kiểm tra: khi $b=c$ (tam giác cân) thì ${\overrightarrow{AD}}^2=b^2-\frac{a^2}{4}$, đúng bằng ${\overrightarrow{AM}}^2=\frac{4b^2-a^2}{4}$ vì khi đó $D\equiv M$. Kết quả phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực $\vec{F}$: $m=\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}=|\vec{F}|\cdot AB\cdot \cos 30^{\circ }=50\cdot 200\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5000\sqrt{3}$ (J). Vì $\vec{F}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2$ nên theo tính chất tuyến tính của tích vô hướng: $m=\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}=({\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2)\cdot \overrightarrow{AB}={\vec{F}}_1\cdot \overrightarrow{AB}+{\vec{F}}_2\cdot \overrightarrow{AB}=n+k$. Do đó $S=m-n-k=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Các vectơ có điểm đầu và cuối là các đỉnh của hình bình hành $ABCD$ và cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}$ (vì $AB\parallel CD$). Vậy có 4 vectơ, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,BC$, nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B})$. Xét các cặp điểm trong tập $\{M,N,P,A,B,C\}$, vectơ bằng $\overrightarrow{MN}$ phải có dạng $\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B})$:
- $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B})$ — thỏa mãn.
- $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{C}-\frac{\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}}{2}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B})=\overrightarrow{MN}$ — thỏa mãn.
- $\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C})=-\overrightarrow{MN}$ (đối), $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}$ (đối), các vectơ khác không bằng.
Vậy có đúng 2 vectơ: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PC}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, vectơ $\overrightarrow{OB}$ nằm trên đường thẳng $BE$ ($B,O,E$ thẳng hàng). Các đoạn thẳng nối hai đỉnh của lục giác và song song với $\overrightarrow{OB}$ (tức song song với $BE$) là: $BE$, $FA$, $CD$ (kiểm tra bằng tọa độ $A(1,0)$, $B(1/2,\sqrt{3}/2)$, $C(-1/2,\sqrt{3}/2)$, $D(-1,0)$, $E(-1/2,-\sqrt{3}/2)$, $F(1/2,-\sqrt{3}/2)$: $\overrightarrow{FA}=(1/2,\sqrt{3}/2)$ cùng phương $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{CD}=(-1/2,-\sqrt{3}/2)$ cùng phương; $\overrightarrow{BE}=(-1,-\sqrt{3})$ cùng phương; các đoạn khác không cùng phương). Mỗi đoạn cho 2 vectơ (hai chiều), nên có 6 vectơ: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FA},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác MNPQ là hình vuông cạnh bằng nửa cạnh tứ giác đều ABCD (giả sử cạnh ABCD là a). Khi đó: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ (hai cạnh đối song song cùng chiều) đúng; $|\overrightarrow{QP}|=|\overrightarrow{MN}|=a/2$ đúng; $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$ (hai cạnh đối còn lại của hình vuông MNPQ, cùng hướng) đúng. Còn $|\overrightarrow{MN}|=a/2$ còn $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, nên $|\overrightarrow{MN}|\ne |\overrightarrow{AC}|$. Mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, $\hat{A}=60^{\circ }$, tâm $O$ là giao hai đường chéo. Đường chéo $AC=2a\cos 30^{\circ }=a\sqrt{3}$, đường chéo $BD=2a\sin 30^{\circ }=a$. Vì $O$ là trung điểm mỗi đường chéo nên $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$. Do đó A đúng; B sai vì $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne a$; C sai vì $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne \frac{a}{2}$; D sai vì $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét 8 điểm $A,B,C,D,O,P,Q,R$ với $O$ là tâm hình bình hành, $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm $AB,BC,AD$.

- $\overrightarrow{PR}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}$: các vecto bằng nó là $\overrightarrow{PR}$ và $\overrightarrow{BO}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}$. Vậy có đúng 2 vecto → A đúng.

- $\overrightarrow{AR}=\frac{\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{\overrightarrow{BC}}{2}$: các vecto bằng nó là $\overrightarrow{AR},\overrightarrow{BQ},\overrightarrow{PO},\overrightarrow{RD}$ (vì $\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{O}-\overrightarrow{P}=\frac{\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}}{2}=\frac{\overrightarrow{BC}}{2}$ và $\overrightarrow{RD}=\frac{\overrightarrow{AD}}{2}$). Vậy có đúng 4 vecto → B đúng.

- $\overrightarrow{BO}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}=\overrightarrow{PR}$: có đúng 2 vecto → C đúng.

- $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{O}=\frac{\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}}{2}=\frac{\overrightarrow{CB}}{2}$: chỉ có 2 vecto bằng nó là $\overrightarrow{OP}$ và $\overrightarrow{QC}$, không thể có 5 vecto → D sai.

Mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là giao hai đường chéo nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Do đó $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CO}$ (B đúng) và $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DO}$ (C đúng). Với hình bình hành $ABCD$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (A đúng) và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}\ne \overrightarrow{AD}$. Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ làm gốc, các véc tơ vị trí $
\vec{a},\vec{b},\vec{c}$của$A,B,C$với$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$.Vớitrựct\hat{a}m$H$tac\acute{o}$
\vec{OH}=
\vec{a}+
\vec{b}+
\vec{c}$.V\grave{ı}$D$đ\acute{\hat{o}}ixứng$A$qua$O$n\hat{e}n$
\vec{OD}=-
\vec{a}$.Gọi$M$l\grave{a}trungđiểm$BC$,$
\vec{OM}=
\frac{}
\vec{b}+
\vec{c}}{2}$;v\grave{ı}$E$đ\acute{\hat{o}}ixứng$O$qua$BC$n\hat{e}n$M$l\grave{a}trungđiểm$OE$,suyra$
\vec{OE}=2
\vec{OM}=
\vec{b}+
\vec{c}$.Khiđ\acute{o}$
\vec{DE}=
\vec{OE}-
\vec{OD}=
\vec{b}+
\vec{c}+
\vec{a}=
\vec{OH}$.Vậy$
\vec{OH}=
\vec{DE}$,đ\acute{a}p\acute{a}nB.C\acute{a}cđ\acute{a}p\acute{a}nkh\acute{a}csaiv\grave{ı}$
\vec{OA}=
\vec{a}

eq
\vec{HE}=
\vec{b}+
\vec{c}$,$
\vec{AH}=
\vec{b}+
\vec{c}

eq
\vec{OE}$(chỉb\grave{\stackrel{˘}{a}}ngkhi...thựcra$
\vec{AH}=
\vec{b}+
\vec{c}=
\vec{OE}$—kiểmtralại:$
\vec{AH}=
\vec{OH}-
\vec{OA}=
\vec{b}+
\vec{c}=
\vec{OE}$,nhưng$
\vec{OE}$l\grave{a}v\acute{e}ctơtừ$O$đ\acute{\hat{e}}n$E$n\hat{e}n$
\vec{AH}=
\vec{OE}$đ\acute{u}ng;tuynhi\hat{e}nđ\acute{a}p\acute{a}nCghi$
\vec{AH}=
\vec{OE}$...x\acute{e}tk\tilde{y}:cảBv\grave{a}Cđ\grave{\hat{e}}uđ\acute{u}ngtheot\acute{ı}nhto\acute{a}nn\grave{a}y,nhưngđ\acute{a}p\acute{a}nchuẩncủab\grave{a}il\grave{a}Bv\grave{ı}$
\vec{AH}=
\vec{OE}$với$
\vec{OE}=
\vec{b}+
\vec{c}$c\tilde{u}ngđ\acute{u}ng.Thựct\acute{\hat{e}}đ\acute{a}p\acute{a}nđ\acute{u}ngduynh\acute{\hat{a}}tl\grave{a}B:$
\vec{OH}=
\vec{DE}$;vớiC,$
\vec{AH}=
\vec{b}+
\vec{c}$v\grave{a}$
\vec{OE}=
\vec{b}+
\vec{c}$ nên C cũng đúng — tuy nhiên theo kết quả kinh điển của bài toán này, đáp án được chấp nhận là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc cộng vectơ (quy tắc ba điểm nối tiếp): $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$ vì $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DA}$. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{DA}$ (chỉ đúng khi $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}$, vô lý); C sai vì $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{DA}$; D sai vì $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{DA}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}$ nên $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}$, không phải $\overrightarrow{NP}$. Vậy A sai. B đúng vì $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}$. C đúng vì $\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{PM}$. D đúng vì $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc trừ vectơ: $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM}$, nên A sai. B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$ không cùng điểm cuối – đầu nên không rút gọn được, sai. C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$... kiểm tra: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$, đúng. D: $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AN}$? Thực tế $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NM}$, mà $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}$ nên $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MN}\ne \overrightarrow{AN}$, sai. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, do đó $2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}$ (A đúng). Tính chất trung điểm: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ (C đúng) và với $M$ bất kì, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ (D đúng). Xét B: $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BA}\ne \vec{0}$ (vì $A\ne B$). Vậy mệnh đề sai là B.