Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\iff \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\iff \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}$, đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}\iff \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}$? Xét lại: $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, nên đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\iff \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}\iff \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}$, đúng.
- D: Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (chứng minh: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AM}$ với $M$ trung điểm $CD$, mà $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$, do đó tổng bằng $3\overrightarrow{AG}$). Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}\ne 3\overrightarrow{GA}$, khẳng định D là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ba vectơ đồng phẳng khi định thức ma trận hệ số theo $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ bằng 0 (vì $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không đồng phẳng nên là cơ sở).

A: các hàng $(1,1,2),(2,-3,-6),(-1,3,6)$:
$\det =1(-18+18)-1(12-6)+2(6-3)=0-6+6=0$ → đồng phẳng. Thực tế $\vec{y}+2\vec{z}=(2,-3,-6)+2(-1,3,6)...$ kiểm tra: $\vec{y}+\vec{z}=(1,0,0)$, và $\vec{x}-\vec{z}=(2,-2,-4)$... cách nhanh nhất là định thức bằng 0 như trên.

B: $\det \left(\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 3& -3& 2\\ 2& -3& -3\end{array}\right)=1(9+6)+2(-9-4)+4(-9+6)=15-26-12=-23\ne 0$.

C: $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -3& 1\\ -1& 3& 3\end{array}\right)=1(-9-3)-1(6+1)+1(6-3)=-16\ne 0$.

D: $\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& -1& 3\\ -1& -1& 2\end{array}\right)=1(-2+3)-1(4+3)-1(-2-1)=1-7+3=-3\ne 0$.

Vậy chỉ khẳng định A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $CD$: $M=\left(\frac{1-5}{2};\frac{1+5}{2};\frac{2-12}{2}\right)=(-2;3;-5)$. Đường trung tuyến đỉnh $O$ đi qua $O(0;0;0)$ và $M$, nên một vector chỉ phương là $\overrightarrow{OM}=(-2;3;-5)$, tỉ lệ với $(4;-6;10)$ (nhân với $-2$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $A+C=B+D$, suy ra $D=A+C-B$. Thay tọa độ: $x_D=1+(-1)-3=-3$, $y_D=-1+(-2)-3=-6$, $z_D=2+2-3=1$. Vậy $D(-3;-6;1)$, khớp đáp án D của đề (theo bảng đáp án Mã đề 2102, trang 28).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;6;0), S(0;0;7), C = B + D − A = (2;6;0).
a) S thuộc Oz và SA = 7 nên S(0;0;7). ĐÚNG.
b) SB = (2;0;−7), CD = D − C = (−2;0;0), tích vô hướng = −4. ĐÚNG.
c) Trung điểm BD = (1;3;0), không phải (1;3;7). SAI.
d) SC = (2;6;−7), BD = (−2;6;0); cos = 32/√3560 ≈ 0,5364 nên góc ≈ 57,6° < 60°. SAI.
Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 2102 (a Đ, b Đ, c S, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
S thuộc Oz và SA = 7 nên S(0;0;7).
b) (AI giải đề cho tôi)
SB = (2;0;−7), CD = (−2;0;0), tích vô hướng = −4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BD là (1;3;0), không phải (1;3;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(SC, BD) = 32/√3560 ≈ 0,5364 nên góc ≈ 57,6° < 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động thẳng đều nên vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Sau 10 phút tiếp theo (cùng khoảng thời gian), vị trí $D=B+\overrightarrow{AB}=(940+140;550+50;8+1)=(1080;600;9)$. Suy ra $x-y+z=1080-600+9=489$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Phần III Câu 3: 489).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác OAB: $G=\left(\frac{0+1+(-1)}{3};\frac{0+2+4}{3};\frac{0+(-1)+(-5)}{3}\right)=(0;2;-2)$. Vậy $a+b-c=0+2-(-2)=4$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 5: 4).

Theo bảng đáp án các mã đề (trang 28), câu 6 của Mã đề 2102 có đáp án D. Kiểm tra: $d_1=AB=\sqrt{(6-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-2{)}^2}=\sqrt{110}\approx 10,5$; $d_2=AC=\sqrt{(8-1{)}^2+(11-1{)}^2+(14-2{)}^2}=\sqrt{293}\approx 17,1$; $d_3=BC=\sqrt{(8-6{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{45}\approx 6,7$. Vậy $d_1+d_2+d_3\approx 34,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các khoảng cách: $AB=\sqrt{(6-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-2{)}^2}=\sqrt{25+36+49}=\sqrt{110}\approx 10,49$; $AC=\sqrt{(8-1{)}^2+(11-1{)}^2+(14-2{)}^2}=\sqrt{49+100+144}=\sqrt{293}\approx 17,12$; $BC=\sqrt{(8-6{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}\approx 6,71$. Vậy $d_1+d_2+d_3\approx 10,49+17,12+6,71\approx 34,3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 12, Mã đề 2101: A).

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;6;0), S(0;0;7), C(2;6;0).
a) Trung điểm BD = ((2+0)/2; (0+6)/2; 0) = (1;3;0) ≠ (1;3;7) → Sai.
b) SB = B−S = (2;0;−7), CD = D−C = (−2;0;0), SB·CD = −4 → Đúng.
c) S thuộc Oz, SA = 7 nên S(0;0;7) → Đúng.
d) SC = (2;6;−7), BD = (−2;6;0); SC·BD = −4+36+0 = 32, |SC| = √89, |BD| = √40, cos = 32/√3560 ≈ 0,536 → góc ≈ 57,6° < 60° → Sai.
Khớp đáp án mã đề 2101 (trang 28): S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
B(2;0;0), D(0;6;0) nên trung điểm BD là (1;3;0), không phải (1;3;7).
b) (AI giải đề cho tôi)
SB = (2;0;−7), CD = (−2;0;0), tích vô hướng SB·CD = −4.
c) (AI giải đề cho tôi)
S thuộc Oz và SA = 7 nên S(0;0;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
SC = (2;6;−7), BD = (−2;6;0); cos = 32/(√89·√40) ≈ 0,536 nên góc ≈ 57,6° < 60°.

Ta có:
$d_1=AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-1{)}^2}=2\sqrt{29}$.
$d_2=BC=\sqrt{(9-5{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{57}$.
$d_3=CA=\sqrt{(1-9{)}^2+(1-11{)}^2+(1-14{)}^2}=3\sqrt{37}$.
Vậy $d_1+d_2+d_3=2\sqrt{29}+\sqrt{57}+3\sqrt{37}\approx 36,6$.

Lời giải gốc (trang 12) kết luận "Chọn C" vì trong bản in lời giải, thứ tự phương án khác: B là 37,1 và C là 36,6. Trong đề thi (trang 5, mã đề 2102), phương án có giá trị $36,6$ là B, nên đáp án cho câu này là B.

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;4;0), S(0;0;6), C(2;4;0).
a) Trung điểm BD = ((2+0)/2;(0+4)/2;(0+0)/2) = (1;2;0) ≠ (1;2;3) → sai.
b) S thuộc Oz và SA = 6 nên S(0;0;6) → đúng.
c) SB = (2;0;−6), CD = (−2;0;0), SB·CD = −4 → đúng.
d) SC = (2;4;−6), BD = (−2;4;0); SC·BD = −4+16+0 = 12; |SC| = √56, |BD| = √20; cos = 12/√1120 ≈ 0,3586 → góc ≈ 69,0° < 70° → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BD = (1;2;0), không phải (1;2;3) → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S thuộc Oz và SA = 6 nên S(0;0;6) → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
SB = (2;0;−6), CD = (−2;0;0), tích vô hướng = −4 → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(SC,BD) = 12/√1120 ≈ 0,3586 nên góc ≈ 69,0° < 70° → sai.

Gọi $D(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{AD}=(x-1;y+1;z-2)$, $\overrightarrow{BC}=(-4;-5;-1)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-1=-4\\ y+1=-5\\ z-2=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-6\\ z=1\end{array}$. Vậy $D(-3;-6;1)$. Chọn C.

Ta có:
$d_1=AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-1{)}^2}=2\sqrt{29}$.
$d_2=BC=\sqrt{(9-5{)}^2+(11-7{)}^2+(14-9{)}^2}=\sqrt{57}$.
$d_3=CA=\sqrt{(1-9{)}^2+(1-11{)}^2+(1-14{)}^2}=3\sqrt{37}$.
Vậy $d_1+d_2+d_3=2\sqrt{29}+\sqrt{57}+3\sqrt{37}\approx 36,6$. Chọn C

a) $\overrightarrow{SB}=(2;0;-6)$, $\overrightarrow{CD}=(-2;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=2.(-2)=-4$. » Chọn ĐÚNG.
b) Tọa độ của điểm $S$ là $(0;0;6)$. » Chọn ĐÚNG.
c) $\overrightarrow{SC}=(2;4;-6),\overrightarrow{BD}=(-2;4;0)$ $\Rightarrow \cos (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=\frac{2.(-2)+4.4+(-6).0}{\sqrt{2^2+4^2+(-6{)}^2}\sqrt{(-2{)}^2+4^2+0^2}}=\frac{3\sqrt{70}}{70}$ $\Rightarrow (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=68.99^{\circ }$. » Chọn SAI.
d) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $BD$ là $(1;2;0)$. » Chọn SAI.
a) $\overrightarrow{SB}=(2;0;-6)$, $\overrightarrow{CD}=(-2;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CD}=2.(-2)=-4$. » Chọn ĐÚNG.
b) Tọa độ của điểm $S$ là $(0;0;6)$. » Chọn ĐÚNG.
c) $$\overrightarrow{SC}=(2;4;-6),\overrightarrow{BD}=(-2;4;0)$$ $$\Rightarrow \cos (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=\frac{2.(-2)+4.4+(-6).0}{\sqrt{2^2+4^2+(-6{)}^2}\sqrt{(-2{)}^2+4^2+0^2}}=\frac{3\sqrt{70}}{70}$$ $$\Rightarrow (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD})=68.99^{\circ }$$ » Chọn SAI.
d) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $BD$ là $(1;2;0)$. » Chọn SAI.

Xét tam giác $OCM$ vuông tại $C$: $OC=OM.\cos 60^{\circ }=6=p$; $CM=OM.\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}=ON$. Xét tam giác $OBN$ vuông tại $B$: $OB=ON.\cos 30^{\circ }=9=3n$; $BN=ON.\sin 30^{\circ }=3\sqrt{3}=OA=m\sqrt{3}$. Ta có tọa độ $M\left(3\sqrt{3};9;6\right)\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(3\sqrt{3};9;6\right)=\left(\sqrt{3}m;3n;p\right)$. Vậy $m+n+p=3+3+6=12$.

Gọi $D(x;y;z)$. Ta có: $\overrightarrow{AD}=(x-1;y+1;z-2)$, $\overrightarrow{BC}=(-4;-5;-1)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:
$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-1=-4\\ y+1=-5\\ z-2=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-6\\ z=1\end{array}$$
Vậy $D(-3;-6;1)$. Chọn C

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz ta có khoảng cách $AB=\sqrt{4^2+4^2+2^2}=6$.

Do hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau nên $\vec{u}.\vec{v}=0\iff \left(\frac{5}{2}\vec{a}-2\vec{b}\right).\left(\vec{a}+2\vec{b}\right)=0$. Nên ta có $\frac{5}{2}+3\vec{a}.\vec{b}-4=0\Rightarrow \vec{a}.\vec{b}=0.5=|\vec{a}||\vec{b}|.\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)\Rightarrow \left(\vec{a};\vec{b}\right)=60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$. Khi đó $C^{\prime }(2;2;2)$, $M$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $(2;0;1)$, $N$ trung điểm $AD$ là $(0;1;0)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(-2;1;-1)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-2)(2)+(1)(2)+(-1)(2)=-4+2-2=-4$. Vậy đáp án A.