Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Gọi $Q\left(x;y;z\right)$ khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(-2;-3;0\right)$; $\overrightarrow{QP}=\left(-x;-y;4-z\right)$. Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\iff \{\begin{array}{l}-x=-2\\ -y=-3\\ 4-z=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\\ z=4\end{array}$. Vậy $Q\left(2;3;4\right)$.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(0-2;-4-0;5-(-3))=(-2;-4;8)$.
$\overrightarrow{AC}=(-1-2;2-0;0-(-3))=(-3;2;3)$. (0,25 điểm)
Ta thấy $\frac{-2}{-3}\ne \frac{-4}{2}$ nên hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. (0,25 điểm)
Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Gọi $D(x;y;z)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. (0,25 điểm)
Ta có $\overrightarrow{DC}=(-1-x;2-y;0-z)$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}-1-x=-2\\ 2-y=-4\\ -z=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\\ z=-8\end{array}$. (0,25 điểm)
Vậy $D(1;6;-8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành tại A). B đúng theo quy tắc đường chéo hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. C đúng vì $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. D sai vì $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ (quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng ABCD), không có thành phần $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vậy mệnh đề sai là D, trùng đáp án nguồn.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(0-2;-4-0;5-(-3))=(-2;-4;8)$.
$\overrightarrow{AC}=(-1-2;2-0;0-(-3))=(-3;2;3)$. (0,25 điểm)
Ta thấy $\frac{-2}{-3}\ne \frac{-4}{2}$ nên hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. (0,25 điểm)
Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Gọi $D(x;y;z)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. (0,25 điểm)
Ta có $\overrightarrow{DC}=(-1-x;2-y;0-z)$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}-1-x=-2\\ 2-y=-4\\ -z=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\\ z=-8\end{array}$. (0,25 điểm)
Vậy $D(1;6;-8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$. B đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. D đúng vì $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). C sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy mệnh đề sai là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(3-1;4-2;-2-1)=(2;2;-3)$ → Đúng. b) Trung điểm $BC$: $M\left(\frac{3+(-1)}{2};\frac{4+(-3)}{2};\frac{-2+2}{2}\right)=(1;\frac{1}{2};0)\ne (2;1;-1)$ → Sai. c) $\overrightarrow{BC}=(-4;-7;4)$ nên $BC=\sqrt{16+49+16}=\sqrt{81}=9\ne 7$ → Sai. d) $\overrightarrow{AB}=(2;2;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;-5;1)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 2793, Câu 1: Đúng, Sai, Sai, Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-1;4-2;-2-1)=(2;2;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $M(1;\frac{1}{2};0)$, không phải $(2;1;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC=\sqrt{(-4{)}^2+(-7{)}^2+4^2}=9\ne 7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;-3)$ và $\overrightarrow{AC}=(-2;-5;1)$ không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MN}=N-M=(1-2;-2-1;1-2)=(-1;-3;-1)$ và $\overrightarrow{MP}=P-M=(2-2;-3-1;2-2)=(0;-4;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=(-1)(0)+(-3)(-4)+(-1)(0)=0+12+0=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4. 12, Mã đề 2793).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{MN}=(x_0-1;y_0-2;z_0-3)=(2;2;4)$ nên $x_0=3$, $y_0=4$, $z_0=7$. Vậy $x_0+y_0+z_0=3+4+7=14$, khớp với đáp án nguồn (Câu 3, Mã đề 1234: 14).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật, ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ đôi một vuông góc với độ dài lần lượt là $1,2,3$. Ta có $|\vec{u}{|}^2=A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}=1+4+9=14$, suy ra $|\vec{u}|=\sqrt{14}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-3;4)$, $\overrightarrow{BC}=(-6;8;2)$. Từ $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=(1-12;-3+16;4+4)=(-11;13;8)$. Do đó $D=A+\overrightarrow{AD}=(-10;15;7)$, tức $a=-10,b=15,c=7$. Vậy $a+b+c=-10+15+7=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;-1-2;3-(-1))=(1;-3;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-4-1;7-2;5-(-1))=(-5;5;6)$, do đó $2\overrightarrow{AC}=(-10;10;12)$. Suy ra $\overrightarrow{AD}=(1-10;-3+10;4+12)=(-9;7;16)$. Vậy $D=A+\overrightarrow{AD}=(1-9;2+7;-1+16)=(-8;9;15)$, tức $a=-8$, $b=9$, $c=15$. Do đó $a+b+c=-8+9+15=16$, khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1201: 16).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.EFGH$ (E, F, G, H lần lượt nằm trên A, B, C, D), ta có $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=0+a^2=a^2$ (vì $AB\perp AD$). Vậy đáp án là $a^2$, khớp với đáp án nguồn B.

Đáp số: 331

Giải

Vận tốc mới của máy bay là $\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}$.

$${\vec{v}}^2={\left(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}\right)}^2={\overrightarrow{v_1}}^2+{\overrightarrow{v_2}}^2+{\overrightarrow{v_3}}^2+2\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}+2\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_3}+2\overrightarrow{v_2}.\overrightarrow{v_3}$$

Ta có:

$${\overrightarrow{v_1}}^2={\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2=300^2,{\overrightarrow{v_2}}^2={\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2=40^2,{\overrightarrow{v_3}}^2={\left|\overrightarrow{v_3}\right|}^2=30^2.$$

$$\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}=\left|\overrightarrow{v_1}\right|.\left|\overrightarrow{v_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)=\mathrm{300.40.}\cos 45^{\circ }=6000\sqrt{2}.$$

$$\overrightarrow{v_1}\perp \overrightarrow{v_3}\Rightarrow \overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_3}=0;\overrightarrow{v_2}\perp \overrightarrow{v_3}\Rightarrow \overrightarrow{v_2}.\overrightarrow{v_3}=0.$$

Nên ${\vec{v}}^2=300^2+40^2+30^2+2.6000\sqrt{2}$.

Mà ${\vec{v}}^2={\left|\vec{v}\right|}^2$

Suy ra $\left|\vec{v}\right|=\sqrt{300^2+40^2+30^2+2.6000\sqrt{2}}\approx 331$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ nên có dạng $M(a;0;0)$. Điều kiện $MA=MB$: $M{A}^2=(a-1{)}^2+0+1=(a-1{)}^2+1$; $M{B}^2=(a+1{)}^2+1+4=(a+1{)}^2+5$. Suy ra $(a-1{)}^2+1=(a+1{)}^2+5\iff a^2-2a+2=a^2+2a+6\iff -4a=4\iff a=-1$. Vậy $M(-1;0;0)$, khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ ta có $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}$. Trước hết, do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, suy ra $C=B+D-A=(0;2;0)+(0;0;1)-(-3;0;0)=(3;2;1)$. Sau đó $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}=E-A=(1;2;3)-(-3;0;0)=(4;2;3)$, nên $G=C+(4;2;3)=(7;4;4)$. Vậy $G(7;4;4)$, trùng với đáp án D đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ nên có dạng $M(x;0;0)$. Điều kiện $MA=MB$ (bình phương hai vế):
$$M{A}^2=(x-1{)}^2+(0-0{)}^2+(0+1{)}^2=(x-1{)}^2+1$$
$$M{B}^2=(x+1{)}^2+(0+1{)}^2+(0-2{)}^2=(x+1{)}^2+5$$
Cho $M{A}^2=M{B}^2$:
$$(x-1{)}^2+1=(x+1{)}^2+5\Rightarrow x^2-2x+2=x^2+2x+6\Rightarrow -4x=4\Rightarrow x=-1$$
Vậy $M(-1;0;0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $E(0;0;a)$, $G(a;a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{EG}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EG}=a\cdot a+0+0=a^2$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ ta có $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (vì $EFGH$ là hình bình hành với $E$ tương ứng $A$, $F$ tương ứng $B$, $H$ tương ứng $D$).

Tính các vecto:
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-3);2-0;0-0)=(3;2;0),$$
$$\overrightarrow{AD}=D-A=(0-(-3);0-0;1-0)=(3;0;1).$$

Suy ra $\overrightarrow{EG}=(3+3;2+0;0+1)=(6;2;1)$.

Do đó:
$$G=E+\overrightarrow{EG}=(1+6;2+2;3+1)=(7;4;4).$$

Vậy $G(7;4;4)$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ (đáy trên $ABCD$, đáy dưới $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$).
a) Đúng: $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ mà $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt phẳng $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$).
b) Đúng: $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ (hai vecto cùng hướng, bằng nhau) nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}|=a$.
c) Sai: Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vecto đường chéo hình hộp xuất phát từ $A$), không phải $\overrightarrow{C^{\prime }A}$ (ngược hướng).
d) Sai: $AD\perp C{C}^{\prime }$ (nằm trong hai mặt phẳng song song, vuông góc với phương cạnh bên) nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=0\ne a^2$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần II Câu 3, Mã đề 122: D, D, S, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ theo quy tắc hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ nên hai vecto có cùng độ dài $a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{C^{\prime }A}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên tích vô hướng bằng $0$, không phải $a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều $ABCD$ cạnh $2a$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 60^{\circ }=2a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=2a^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.