Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}$. Vì $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$ nên $\overrightarrow{AC}=-\vec{a}$; $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$; và $M$ là trung điểm $B{B}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{c}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác đều, bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (vì $DC\parallel AB$ cùng chiều và $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ cùng chiều). Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})=|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=a^2+0=a^2$, vì $AB\perp A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là $a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) M là trung điểm AC nên theo tính chất trung điểm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ → đúng.
b) N là trung điểm BD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Vì $\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{GN}$... thực tế $\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=2\overrightarrow{GN}$ (do G là trung điểm MN), còn $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}$. Kiểm tra lại: $\vec{N}-\vec{M}=(\vec{N}-\vec{G})-(\vec{M}-\vec{G})=\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NG}$... tính lại: $\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM}$ với $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GN}$ cho $2\overrightarrow{GN}$. Vậy $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}$ → phát biểu b thực chất ĐÚNG. Tuy nhiên theo đáp án nguồn (đánh dấu sai) và vì đề nguồn không có đáp án chi tiết, ta giữ kết quả giải độc lập: b đúng. Lưu ý: kết quả giải độc lập mâu thuẫn với key nguồn (b sai), nhưng key nguồn có origin 'ai' nên không phải đáp án chính thức của PDF; tuy nhiên theo quy tắc không ghi đè đáp án nguồn, ta vẫn trả về solved=true với đánh giá độc lập: b đúng.
c) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ vì G là trung điểm MN → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})=(\vec{B}+\vec{D})-(\vec{A}+\vec{C})=2\overrightarrow{GN}-2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM})=2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{NM}\ne 2\overrightarrow{NM}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$ và vì G là trung điểm MN nên $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{GN}$, do đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{MN}$ → đúng. (Kết quả giải độc lập mâu thuẫn với key nguồn đánh dấu b sai; key nguồn có origin 'ai' nên không phải đáp án chính thức.)
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ vì G là trung điểm MN → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}+\vec{D})-(\vec{A}+\vec{C})=2\overrightarrow{GN}-2\overrightarrow{GM}=2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{NM}\ne 2\overrightarrow{NM}$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), D'(0;a;a), C'(a;a;a). Khi đó M trung điểm A'D' là (0; a/2; a), N trung điểm C'D' là (a/2; a; a). Suy ra MN = (a/2; 0; 0). C'B = B − C' = (0; −a; −a). Tích vô hướng MN·C'B = (a/2)(0) + 0(−a) + 0(−a) = 0. Vậy na² = 0, tức n = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ (M là trung điểm BC) và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Do đó $$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right).$$ Vì $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, và ${\overrightarrow{AB}}^2=A{B}^2=1$. Vậy $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(0-1+0-0)=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật, ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ đôi một vuông góc và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{3^2+5^2+8^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, các góc giữa các cạnh đều bằng $60^{\circ }$. Ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cos 60^{\circ }-a\cdot a\cos 60^{\circ }=a^2/2-a^2/2=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Xét từng khẳng định:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → SAI.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ → đúng.
- C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ → đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → đúng.
Vậy khẳng định SAI là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$. Khi đó: $$|2\vec{a}+3\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+12\vec{a}\cdot \vec{b}+9|\vec{b}{|}^2=4\cdot 9+12\cdot 6+9\cdot 16=36+72+144=252.$$ Vậy $|2\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{252}=6\sqrt{7}\approx 15,87\approx 15,9$.

Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$, nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}$. Chọn B.

Điểm $M\in Oy\Rightarrow M(0;y;0)$. Ta có $M{A}^2=M{B}^2\iff 4+(y-1{)}^2+0=16+(y-3{)}^2+4\iff -2y+5=-6y+29\iff 4y=24\iff y=6\Rightarrow M(0;6;0)$. Chọn đáp án B.

a) Sai: Tàu thám hiểm ở vị trí $A(25;-15;-10)$ có khoảng cách đến $O$ là $OA=\sqrt{25^2+(-15{)}^2+(-10{)}^2}=5\sqrt{38}\approx 30,8\text{ km}$.
b) Đúng: Vì $OA\approx 30,8>30\text{ km}$ nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm tại $A$.
c) Đúng: $OB=\sqrt{(-20{)}^2+15^2}=25\text{ km}<30\text{ km}$ nên radar phát hiện được tàu đánh cá tại $B$.
d) Đúng: Điểm $C(15;y;0)$ thỏa mãn $OC\le 30⟺\sqrt{15^2+y^2}\le 30⟺|y|\le 15\sqrt{3}\text{ km}$.

Điểm đối xứng với $A(-1;3;5)$ qua trục $Oz$ là $B(1;-3;5)$. Suy ra $AB=\sqrt{2^2+(-6{)}^2+0^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2;0;0)+(0;2;0)=(2;2;0)$.

Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1;0;0)+(0;1;0)=(1;1;0)$.

Điểm đối xứng với $A(-2;3;5)$ qua trục $Oz$ là $B(2;-3;5)$. Suy ra $AB=\sqrt{(2+2{)}^2+(-3-3{)}^2+(5-5{)}^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Phương trình $z^2-4z+5=0$ có ${\Delta }^{\prime }=4-5=-1=i^2$.
Hai nghiệm phức là $z_1=2+i$ và $z_2=2-i$.
Điểm biểu diễn là $M(2;1)$ và $N(2;-1)$.
Độ dài đoạn thẳng $MN=\sqrt{(2-2{)}^2+(-1-1{)}^2}=2$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên với điểm $A^{\prime }$ ta có:
$\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}).$
Do $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ có cùng độ dài và hướng nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\vec{c}$.
Do đó:
$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}).$

Ta có quy tắc chèn điểm:
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }M}$.
Trong đó:
- $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{c}$.
- $M$ là trung điểm của $D^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{b}$.
Do đó:
$\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{b}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$. Chọn D.