Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Vì $G$ là trọng tâm $△ABC$ nên $a=3\cdot 2-1-2=3$, $c=\frac{-3-4-2}{3}=-3$, $b=3\cdot 3-3-5=1$. Do đó $a+b+c=3+1-3=1$.

Chọn D
 
Ta có: AB = ( 2; -2;5 ) , BC = ( x - 1; y; -4 )
 
A, B, C thẳng hàng $\iff$ AB cùng phương với BC
3
x = -
x -1 y 4  5
$\iff$ = =- $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ x + y = 1.
2 -2 5  8
y=
 5

Chọn B
Gọi M ( x; y; z ) .
x - 0 = 3(3 - 0) x = 9
   
Ta có AM = 3 AB $\iff$ y - 1 = 3 ( -1 - 1) $\iff$ y = -5 . Vậy tọa độ điểm M là
 z = 7
z + 2 = 3 (1 + 2 )
M ( 9; -5;7 ) .

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;6;-2)$. Gọi $D(x_D;y_D;z_D)$, ta có $\overrightarrow{AD}=(x_D-1;y_D-2;z_D+1)$. Do đó: $\{\begin{array}{l}{x}_D-1=-5\\ y_D-2=6\\ z_D+1=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=-4\\ y_D=8\\ z_D=-3\end{array}$. Vậy $D(-4;8;-3)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, do đó đẳng thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ là sai. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-1;1)$.
Tích có hướng của hai véc-tơ:
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left((-3)(1)-(1)(-1);(1)(0)-(2)(1);(2)(-1)-(-3)(0)\right)=(-2;-2;-2).$
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\right|=\frac{1}{2}\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}.$

Chọn đáp án B.

Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$. Chọn C.

Vì máy bay giữ nguyên tốc độ và hướng bay nên trong $10$ phút tiếp theo $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, tức $B$ là trung điểm $AC$. Suy ra $C=2B-A=(2\cdot 950-812;2\cdot 530-600;2\cdot 6-5)=(1088;460;7)$. Vậy $x+y+z=1088+460+7=1555$.

Ta có $\vec{a}=(0;2;-3),\vec{b}=(4;1;1)⟹\vec{v}=2\vec{a}-\vec{b}=(-4;3;-7)⟹|\vec{v}|=\sqrt{74}$.

Ta có $(2-i)z=8+i⟺z=\frac{8+i}{2-i}=3+2i$.

Khi đó $z-(5-2i)=3+2i-(5-2i)=-2+4i$.

Vậy $|z-(5-2i)|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=2\sqrt{5}$.

Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$ nên $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$. Do đó các phương án A, B, D đúng và phương án C sai. Chọn C.

Từ hình vẽ, điểm $M$ có tọa độ $(-3;5)$, suy ra số phức $z=-3+5i$, tức là $a=-3,b=5$. Khi đó $P=2a+b=2(-3)+5=-1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Trong hình thoi $ABCD$ tâm $O$, $OC=OA=3\Rightarrow OB=\sqrt{B{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Suy ra $B(4;0;0)$ và $S(0;0;2)$. Trung điểm $M$ của $SB$ có tọa độ $(2;0;1)$, nên $\overrightarrow{OM}=(2;0;1)$. Chọn B.

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\Rightarrow Q=M+P-N=(1+7-2;1+7-3;1+5-4)=(6;5;2)$. Chọn A.

Trong hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Chọn C.

Ta có $\vec{u}+2\vec{v}=(1+2\cdot 2;1+2\cdot 0;0+2\cdot (-1))=(5;1;-2)$. Vậy $|\vec{u}+2\vec{v}|=\sqrt{5^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{30}$. Chọn đáp án A.

Xét hai vectơ $\vec{u}=(2;0;1)$ và $\vec{v}=(-1;1;0)$, tìm vectơ $\vec{b}$ thỏa mãn các điều kiện đề bài suy ra $\vec{b}=(1;-2;1)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Ta có $\overline{z_2}=-1-i$. Số phức $z_1\overline{z_2}=(3-i)(-1-i)=-3-3i+i-1=-4-2i$. Phần thực bằng $-4$, phần ảo bằng $-2$. Tổng phần thực và phần ảo là $-4+(-2)=-6$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Hình chiếu của $M(x;y;z)$ lên $(Oyz)$ là $M_1(0;3;-5)\Rightarrow y=3,z=-5$. Hình chiếu của $M$ lên $(Oxz)$ là $M_2(-2;0;-5)\Rightarrow x=-2,z=-5$. Vậy $M(-2;3;-5)$. Chọn C.

Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa $MA=2MB\iff \overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}\iff \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{3}=\left(\frac{7}{3};-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$. Chọn A.