Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trả lời: 1,8. Ta có tam giác $I{A}^{\prime }M$ đồng dạng với tam giác $IN{B}^{\prime }$ nên suy ra: $$\frac{I{A}^{\prime }}{IN}=\frac{A^{\prime }M}{B^{\prime }N}=\frac{\frac{1}{2}{A}^{\prime }{D}^{\prime }}{\frac{1}{3}{A}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{3}{2}\Rightarrow A^{\prime }I=\frac{3}{5}{A}^{\prime }N$$ $$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{3}{5}\overrightarrow{A^{\prime }N}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }N}\right)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\right)$$ $$=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}.\text{Suy ra }a+b+c=\frac{9}{5}=1,8$$

Trả lời: 5,02. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có điểm $A(4;0;3)$ và điểm $B\left(0;3;\frac{5}{2}\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-4;3;-\frac{1}{2}\right)$. Do đó độ dài đoạn thẳng $AB\approx 5,024$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, gốc đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây, trục $Oz$ hướng thẳng lên trời. Chiếc Flycam thứ nhất có tọa độ $A(100,200,50)$; Chiếc Flycam thứ hai có tọa độ $B(-300,-200,100)$. Chiếc Flycam thứ ba có tọa độ $C(100,-150,50)$. Hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai tạo với chiếc thứ ba một góc bằng $\alpha$. Nên $ACB=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\alpha$. $\overrightarrow{CA}=(0;350;0);\overrightarrow{CB}=(-400;-50;50)$ $$\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\frac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|}=\frac{0.(-400)+350.(-50)+0.50}{\sqrt{0^2+350^2+0^2}.\sqrt{(-400{)}^2+(-50{)}^2+50^2}}$$ Vậy $\alpha =\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\approx 97,1^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: A(0;0;0), B(0;10;0), D(0;0;20), E(30;0;0). Mái nghiêng DCHG với C(0;10;15) (vì BC=15), H(30;0;20), G(30;10;15).
a) Đúng. Ăng ten S(10;30;32). Khoảng cách từ S đến các đỉnh mái: SH = √((30−10)²+(0−30)²+(20−32)²) = √(400+900+144) = √1444 = 38 (m); SD = √1144 ≈ 33,8; SC = √(100+400+289) = √789 ≈ 28,1; SG = √1089 = 33. Trên mái (hình bình hành DCHG), hàm bình phương khoảng cách đến S là hàm lồi nên giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh, xa nhất là SH = 38m.
b) Sai. K thỏa KA + 2KB + 3KC = 0 nên K = (A + 2B + 3C)/6 với C(0;10;15): K(0; 25/3; 7,5). Khi đó KD·KH = (0; −25/3; 12,5)·(30; −25/3; 12,5) = 625/9 + 156,25 > 0, giá trị dương chứ không âm.
c) Sai. G(30;10;15), không phải G(30;10;20).
d) Đúng. C(0;10;15) vì C nằm trên đường thẳng qua B song song trục Oz, cao BC = 15.
a) (AI giải đề cho tôi)
S(10;30;32). Khoảng cách xa nhất từ điểm trên mái đến S đạt tại đỉnh H(30;0;20): SH = √(400+900+144) = √1444 = 38m.
b) (AI giải đề cho tôi)
K(0;25/3;7,5). KD·KH = 625/9 + 156,25 > 0 nên giá trị dương, không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
G(30;10;15) vì mái nghiêng từ D(0;0;20), C(0;10;15) xuống phía E với H(30;0;20), G(30;10;15).
d) (AI giải đề cho tôi)
C thẳng hàng với B theo phương Oz, BC = 15 nên C(0;10;15).

(AI giải đề cho tôi)
Chim mẹ nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ nên có tọa độ $(0;y;z)$. Cách trục $Oy$ một khoảng $10m$ nên $|z|=10$; cách trục $Oz$ một khoảng $3m$ nên $|y|=3$. Theo hình vẽ chim mẹ ở phía dương của $Oy$ và $Oz$ nên $M(0;3;10)$. Hai con giun trên mặt đất: $G_1(3;-1;0)$ và $G_2(3;6;0)$. Chim con $C(-1;-2;4)$.

Đường đi $M\to G_1\to C$:
$$M{G}_1=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+(-10{)}^2}=\sqrt{125},G_{1}C=\sqrt{(-4{)}^2+(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{33}$$
Tổng: $\sqrt{125}+\sqrt{33}\approx 11,1803+5,7446=16,9249$.

Đường đi $M\to G_2\to C$:
$$M{G}_2=\sqrt{3^2+3^2+(-10{)}^2}=\sqrt{118}\approx 10,8628,G_{2}C=\sqrt{(-4{)}^2+(-8{)}^2+4^2}=\sqrt{96}\approx 9,7980$$
Tổng: $\approx 20,6608$.

Vậy quãng đường ngắn nhất là $\sqrt{125}+\sqrt{33}\approx 16,9$ m, khớp đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Nhà kho: $A(0;0;0)$, $B(0;10;0)$, $E(30;0;0)$, $D(0;0;20)$, $F(30;10;0)$. Mái nghiêng là mặt phẳng chứa $D(0;0;20)$, $C(0;10;15)$, $H(30;0;20)$, $G(30;10;15)$.

a) Từ $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\vec{0}$ suy ra $K=\frac{A+2B+3C}{6}=\left(0;\frac{25}{3};\frac{15}{2}\right)$. Với $H(30;0;20)$: $\overrightarrow{KD}=\left(0;-\frac{25}{3};\frac{25}{2}\right)$, $\overrightarrow{KH}=\left(30;-\frac{25}{3};\frac{25}{2}\right)$, nên $\overrightarrow{KD}\cdot \overrightarrow{KH}=\frac{625}{9}+\frac{625}{4}>0$. Vậy khẳng định giá trị âm là SAI.

b) Ăng ten $S(10;30;32)$. Khoảng cách từ $S$ tới các đỉnh mái: $SD=\sqrt{100+900+144}=\sqrt{1144}\approx 33,8$; $SC=\sqrt{100+400+289}=\sqrt{789}\approx 28,1$; $SH=\sqrt{400+900+144}=\sqrt{1444}=38$; $SG=\sqrt{400+400+289}=\sqrt{1089}=33$. Xa nhất là $38m$ → ĐÚNG.

c) $C$ nằm trên đường thẳng qua $B$ theo phương $Oz$ với chiều cao $BC=15m$: $C(0;10;15)$ → ĐÚNG.

d) $G$ nằm trên mái phía trên $F(30;10;0)$, cùng mặt phẳng mái với $C(0;10;15)$ nên $G(30;10;15)$, không phải $(30;10;20)$ → SAI.

Khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3): S Đ Đ S.

a) (AI giải đề cho tôi)
$K=(0;25/3;15/2)$; $KD\cdot KH=625/9+625/4>0$ nên không âm → SAI.

b) (AI giải đề cho tôi)
$S(10;30;32)$; khoảng cách xa nhất tới mái là $SH=\sqrt{1444}=38m$ → ĐÚNG.

c) (AI giải đề cho tôi)
$C(0;10;15)$ vì $BC=15m$ theo phương $Oz$ → ĐÚNG.

d) (AI giải đề cho tôi)
$G(30;10;15)$ vì $G$ thuộc mặt phẳng mái chứa $C(0;10;15)$, $H(30;0;20)$, không phải $(30;10;20)$ → SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Chim mẹ nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên có hoành độ x=0. Khoảng cách tới trục Oz là |y|=3, khoảng cách tới trục Oy là |z|=10, theo hình vẽ chim mẹ ở phía dương nên M(0;3;10). Chim con C(-1;-2;4). Hai con giun trên mặt đất: G1(3;-1;0) và G2(3;6;0). Quãng đường chim mẹ bay từ M đến giun rồi đến C là tổng hai đoạn thẳng.
- Đường qua G1: MG1 = √(3²+4²+10²) = √125 = 5√5 ≈ 11,1803; G1C = √(4²+1²+4²) = √33 ≈ 5,7446. Tổng ≈ 16,9249.
- Đường qua G2: MG2 = √(3²+3²+10²) = √118 ≈ 10,8628; G2C = √(4²+8²+4²) = √96 ≈ 9,7980. Tổng ≈ 20,6608.
Vậy quãng đường ngắn nhất ≈ 16,9 m (khớp đáp án 16,9).

Câu 1. (1.0đ)
+ Do $P\in (Oxy)$ và $a=2b\Rightarrow P(2b;b;0)$. (0,2)
+ Tính $\overrightarrow{MP}=(2b-4;b-2;-2)$, (0,2)
$\overrightarrow{NP}=(2b+4;b-3;-3)$. (0,2)
+ Vì $\widehat{MPN}=90^{\circ }\Rightarrow \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{NP}=0$
$\iff (2b-4)(2b+4)+(b-3)(b-2)+6=0$
$\iff 5b^2-5b-4=0\iff b=\frac{5\pm \sqrt{105}}{10}$ (0,2)
+ Vậy có hai điểm $P_1\left(\frac{5+\sqrt{105}}{5};\frac{5+\sqrt{105}}{10};0\right)$
và $P_2\left(\frac{5-\sqrt{105}}{5};\frac{5-\sqrt{105}}{10};0\right)$. (0,2)

Câu 1. (1.0đ)
+ Do $C\in (Oxy)$ và $b=2a\Rightarrow C(a;2a;0)$. (0,2)
+ Tính $\overrightarrow{AC}=(a-5;2a+3;-1)$, (0,2)
$\overrightarrow{BC}=(a-4;2a-6;-4)$. (0,2)
+ Vì $\widehat{ACB}=90^{\circ }\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0$
$\iff (a-5)(a-4)+(2a+3)(2a-6)+4=0$
$\iff 5a^2-15a+6=0\iff a=\frac{15\pm \sqrt{105}}{10}$. (0,2)
+ Vậy có hai điểm $C_1\left(\frac{15+\sqrt{105}}{10};\frac{15+\sqrt{105}}{5};0\right)$,
và $C_2\left(\frac{15-\sqrt{105}}{10};\frac{15-\sqrt{105}}{5};0\right)$. (0,2)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;6;0)$, $S(0;0;6)$, suy ra $C(3;6;0)$.
a) Đúng vì $AB=3$ trên $Ox$, $AD=6$ trên $Oy$, $AS=6$ trên $Oz$.
b) Trọng tâm tam giác $SBD$: $G=\left(\frac{3+0+0}{3};\frac{0+6+0}{3};\frac{0+0+6}{3}\right)=(1;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{CG}=G-C=(-2;-4;2)$, không phải $(2;4;-2)$ (đó là $\overrightarrow{GC}$). Sai.
c) $\overrightarrow{BD}=(-3;6;0)$, $\overrightarrow{CG}\cdot \overrightarrow{BD}=(-2)(-3)+(-4)(6)+2\cdot 0=6-24=-18$. Đúng.
d) $|\overrightarrow{CG}|=\sqrt{4+16+4}=2\sqrt{6}$, $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$. $\cos (\overrightarrow{CG},\overrightarrow{BD})=\frac{-18}{6\sqrt{30}}=-\frac{3}{\sqrt{30}}\approx -0,5477$, suy ra góc $\approx 123,2^{\circ }\ne 134,2^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $B\in Ox$ với $AB=3$, $D\in Oy$ với $AD=6$, $S\in Oz$ với $AS=6$ nên $B(3;0;0),D(0;6;0),S(0;0;6)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=(1;2;2)$, $C(3;6;0)$ nên $\overrightarrow{CG}=(-2;-4;2)\ne (2;4;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}=(-3;6;0)$, tích vô hướng $\overrightarrow{CG}\cdot \overrightarrow{BD}=6-24=-18$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =\frac{-18}{2\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{5}}=-\frac{3}{\sqrt{30}}\approx -0,5477$ nên góc $\approx 123,2^{\circ }$, không phải $134,2^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dịch chuyển trong 10 phút: $\overrightarrow{MN}=(210-100;303-200;12-8)=(110;103;4)$, độ dài $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{110^2+103^2+4^2}=\sqrt{22725}\approx 150,748$ km. Thời gian bay là $10$ phút $=\frac{1}{6}$ giờ nên độ lớn vận tốc mới là $150,748\cdot 6=904,49$ km/h. Vì máy bay bay thẳng theo $\overrightarrow{MN}$, vận tốc mới là $\vec{u}=\frac{\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{MN}|}\cdot 904,49=6\cdot (110;103;4)=(660;618;24)$ (vì $\frac{904,49}{150,748}=6$). Vận tốc gió: $\vec{v}=\vec{u}-\vec{a}=(660-630;618-600;24-18)=(30;18;6)$. Tốc độ gió: $|\vec{v}|=\sqrt{30^2+18^2+6^2}=\sqrt{1260}\approx 35,5$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;1-(-4);-3-2)=(1;5;-5)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1-1;2-(-4);-2-2)=(-2;6;-4)$. Vì $\frac{1}{-2}\ne \frac{5}{6}$ nên $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, do đó $A,B,C$ không thẳng hàng. Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}=(-1-1;2-5;-2+5)=(-2;-3;3)$. Vậy $D(-2;-3;3)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(-3;1;1)=\overrightarrow{BC}=(-1-2;2-1;-2+3)=(-3;1;1)$, thỏa mãn. b) Gọi $M(a;0;0)$ thuộc trục $Ox$. Ta có $M{A}^2=(a-1{)}^2+16+4=(a-1{)}^2+20$ và $M{B}^2=(a-2{)}^2+1+9=(a-2{)}^2+10$. Điều kiện $MA=MB$ cho $(a-1{)}^2+20=(a-2{)}^2+10\Rightarrow a^2-2a+21=a^2-4a+14\Rightarrow 2a=-7\Rightarrow a=-\frac{7}{2}$. Vậy $M\left(-\frac{7}{2};0;0\right)$. Lưu ý: trường errors trong dữ liệu nguồn nêu sai (khẳng định lời giải suy ra $D(0;7;-7)$), trong khi lời giải đính kèm thực tế đã cho đúng $D(-2;-3;3)$ và kiểm tra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ đúng; kết quả trên đã được kiểm tra độc lập và khớp với lời giải nguồn.

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) $AC=\sqrt{(1-0{)}^2+(2+1{)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}$, nên khẳng định đúng.
b) Điểm $N$ trên đường thẳng $AB$ có dạng $N(0-2t;-1+2t;2-t)$. Để $N\in (Oyz)$ cần $-2t=0\Rightarrow t=0$, khi đó $N(0;-1;2)$, không phải $N(0;1;-2)$, nên khẳng định sai.
c) Với $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;3;-3)$ thì $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-3;-7;-8)$, $|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|=\sqrt{122}$, nên $S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{122}}{2}\ne 2\sqrt{5}$, khẳng định sai.
d) $\overrightarrow{CB}=(-3;-1;2)$, $\overrightarrow{CA}=(-1;-3;3)$, $\cos \widehat{BCA}=\frac{12}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{19}}=\frac{12}{\sqrt{266}}\approx 0,7358$, suy ra $\widehat{BCA}\approx 42,6^0\approx 43^0$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ nên $AB=\sqrt{3}\ne 3$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0;4;4)$, $S=\frac{1}{2}\sqrt{32}=2\sqrt{2}$ → Đúng. c) $\overrightarrow{AC}=(1;-3;3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5$, $AB=\sqrt{3}$, $AC=\sqrt{19}$, $\cos \widehat{BAC}=\frac{5}{\sqrt{57}}\approx 0,662$ → $\widehat{BAC}\approx 48,55^0\approx 49^0$ → Đúng. d) $\overrightarrow{AN}=(2;-1;0)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ nên $A,B,N$ không thẳng hàng (giao điểm của AB với $(Oxy)$ là $A(1;2;0)$) → Sai. Khớp đáp án nguồn mã 1201: SĐĐS.
a) $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ nên $AB=\sqrt{3}\ne 3$ → Sai (khớp đáp án nguồn).
b) $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-3;3)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0;4;4)$, $S=\frac{1}{2}\sqrt{0+16+16}=2\sqrt{2}$ → Đúng (khớp đáp án nguồn).
c) $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{5}{\sqrt{3}\sqrt{19}}=\frac{5}{\sqrt{57}}\approx 0,662$ → $\widehat{BAC}\approx 48,55^0\approx 49^0$ → Đúng (khớp đáp án nguồn Đ).
d) Đường thẳng AB đi qua A(1;2;0) với vectơ chỉ phương $(-1;-1;1)$; giao điểm của AB với $(Oxy)$ chính là A(1;2;0) vì A đã thuộc $(Oxy)$. Điểm N(3;1;0): $\overrightarrow{AN}=(2;-1;0)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ nên A, B, N không thẳng hàng → Sai (khớp đáp án nguồn S).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $B$ làm gốc, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{BA},\vec{b}=\overrightarrow{BC},\vec{c}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

a) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{B^{\prime }D}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$. Vậy khẳng định a) SAI.

b) $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. Vì $G$ thuộc $B^{\prime }I$: $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+m\overrightarrow{B^{\prime }I}=\vec{c}+m\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\vec{c}\right)=\frac{m}{2}\vec{a}+\frac{m}{2}\vec{b}+(1-m)\vec{c}$. Vì $G$ thuộc $B{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{BG}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Do $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ độc lập tuyến tính, so sánh hệ số: $t=\frac{m}{2}$ và $t=1-m\Rightarrow m=\frac{2}{3},t=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right)$, tức $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$. Khẳng định b) ĐÚNG.

c) Từ trên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Khẳng định c) SAI.

d) $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ nên $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)$. Ta có $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=-\vec{b}+\vec{c}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{CB}=-\vec{b}$. Do đó $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(-\vec{b}-\vec{b}+\vec{c}+\vec{a}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Khẳng định d) ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (trang 11-12): a) SAI, b) ĐÚNG, c) SAI, d) ĐÚNG.
a) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (vì $\overrightarrow{B^{\prime }D}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$). Vậy khẳng định a) SAI.
b) Chọn $B$ làm gốc, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{BA},\vec{b}=\overrightarrow{BC},\vec{c}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. Gọi $G$ thuộc $B^{\prime }I$: $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+m\overrightarrow{B^{\prime }I}=\vec{c}+m\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\vec{c}\right)=\frac{m}{2}\vec{a}+\frac{m}{2}\vec{b}+(1-m)\vec{c}$. Gọi $G$ thuộc $B{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{BG}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Do $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ độc lập tuyến tính, so sánh hệ số suy ra $t=\frac{m}{2}$ và $t=1-m\Rightarrow m=\frac{2}{3},t=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right)$, tức $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Khẳng định c) SAI.
d) $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ nên $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}\right)$. Khẳng định d) ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\vec{a}=-3\vec{i}-4\vec{j}+14\vec{k}$ nên $\vec{a}=(-3;-4;14)$, không phải $(3;4;14)$ → sai.

b) $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ nên $B=A+\vec{a}=(3-3;4-4;-2+14)=(0;0;12)$ → đúng.

c) $2\vec{a}-3\overrightarrow{OA}=2(-3;-4;14)-3(3;4;-2)=(-6-9;-8-12;28+6)=(-15;-20;34)\ne (-15;-12;30)$ → sai.

d) $B(0;0;12)$ nên $OB=12$. Diện tích tam giác $OBM$ bằng $\frac{1}{2}\cdot OB\cdot d(M,(OB))=12$ suy ra khoảng cách từ $M$ đến trục $Oz$ bằng $\frac{24}{12}=2$, tức $M$ nằm trên mặt trụ tròn xoay quanh trục $Oz$ bán kính 2. Hình chiếu của $A(3;4;-2)$ lên mặt phẳng $Oxy$ là $(3;4)$ với khoảng cách tới trục $Oz$ bằng $5$. Điểm $M$ trên mặt trụ gần $A$ nhất nằm trên tia từ trục qua hình chiếu của $A$: $M=\left(3\cdot \frac{2}{5};4\cdot \frac{2}{5};-2\right)=(1,2;1,6;-2)$, khi đó $AM$ nhỏ nhất và $a+b+c=1,2+1,6-2=0,8$ → đúng.

Khớp với đáp án nguồn: câu 16 mã đề 1202 là SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{a}=(-3;-4;14)$, không phải $(3;4;14)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B=A+\vec{a}=(3-3;4-4;-2+14)=(0;0;12)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $2\vec{a}-3\overrightarrow{OA}=(-6-9;-8-12;28+6)=(-15;-20;34)\ne (-15;-12;30)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Diện tích $△OBM=12$ với $OB=12$ suy ra $M$ cách trục $Oz$ một khoảng 2. Điểm $M$ gần $A$ nhất là $(1,2;1,6;-2)$, khi đó $a+b+c=0,8$.

Ta có: $\overrightarrow{OA}=(2;2;1)$, $\overrightarrow{OB}=\left(-\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$. Suy ra $OA=3$, $OB=4$. (0,25 điểm)

Theo tính chất của phân giác trong ta có:

$$\frac{DA}{DB}=\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4}\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DB}\Rightarrow D=\left(0;\frac{12}{7};\frac{12}{7}\right).$$

(0,25 điểm)

Ta có $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-\frac{16}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=0\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$.

Suy ra $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$.