Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

**Chọn B**
Hình chiếu vuông góc của điểm B ( 2; −1;5 ) trên trục Oz là M ( 0;0;5 ) .

Ta có $|z|=|2-3i|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{13}$.

Trong hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$, hai trục $Ox$ và $Oz$ vuông góc với nhau nên góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$.

Hình chiếu vuông góc của $A(-3;1;2)$ lên trục $Oy$ là $H(0;1;0)$, nên điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ có tọa độ $(3;1;-2)$.

Vì $B(10;10;3)$ là trung điểm của đoạn $AM$ (do $z_A=6,z_B=3,z_M=0$) nên $M=2B-A=(16;20;0)$. Vậy $a-2b=16-40=-24$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Chọn C.

Tọa độ trung điểm $I$ của $MN$ là $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{-2+0}{2};\frac{3-1}{2}\right)=(2;-1;1)$.
Do đó $\overrightarrow{OI}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$.

Chọn C.

Ta có $\vec{a}+\vec{b}=(1+x;3-x;3)$.
$|\vec{a}+\vec{b}|=5\iff (1+x{)}^2+(3-x{)}^2+3^2=25\iff 2x^2-4x-6=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.

Ta có $\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\Rightarrow \vec{a}=(2;1;-3)$.

Điểm đối xứng của $I(x;y;z)$ qua trục $Oy$ giữ nguyên tung độ $y$ và đổi dấu hoành độ, cao độ, tức là có toạ độ $(-x;y;-z)$.
Do đó điểm đối xứng của $I(2;-3;4)$ qua trục $Oy$ là $(-2;-3;-4)$.

Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Rightarrow I(0;4;1)$.
Gọi $J$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD\Rightarrow \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD}=\vec{0}\Rightarrow J(0;1;3)$.
Khi đó:
$P=2|3\overrightarrow{MI}|+3|2\overrightarrow{MJ}|=6(MI+MJ).$
Ta thấy các điểm $I(0;4;1)$ và $J(0;1;3)$ đều thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và có cao độ $z>0$ nên nằm về cùng một phía đối với trục $Oy$.
Lấy điểm $I^{\prime }$ đối xứng với $I$ qua trục $Oy\Rightarrow I^{\prime }(0;4;-1)$.
Khi đó $MI+MJ=I^{\prime }M+MJ\ge I^{\prime }J=\sqrt{(0-0{)}^2+(1-4{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.
Suy ra $P_{\min }=6\cdot 5=30$.

Hình chiếu vuông góc của $A(1;3;4)$ trên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$, nên điểm đối xứng của $A$ qua trục $Ox$ có tọa độ là $(1;-3;-4)$.

Ta có $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{\sqrt{3}OM\cdot OA}{2}\iff \cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA})=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA})=30^{\circ }$.
Mặt khác $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}=0$ nên $△OMA$ vuông tại $M$ với $OA=4$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $M$ lên $OA$, ta có $OM=OA\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3},AM=2$, suy ra $OI=3,IA=1,r=IM=\sqrt{3}$ và $I(3;0;0)$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;0;0)$, bán kính $r=\sqrt{3}$ nằm trong mặt phẳng $(P):x-3=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B(1;2;3)$ lên mặt phẳng $(P):x-3=0$, ta có $H(3;2;3)$, suy ra $BH=2$ và $IH=\sqrt{(3-3{)}^2+2^2+3^2}=\sqrt{13}$.
Do đó:
$p=B{M}_{\max }=\sqrt{B{H}^2+(IH+r{)}^2}=\sqrt{4+(\sqrt{13}+\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{20+2\sqrt{39}}$,
$q=B{M}_{\min }=\sqrt{B{H}^2+(IH-r{)}^2}=\sqrt{4+(\sqrt{13}-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{20-2\sqrt{39}}$.
Vậy $p^2+q^2=(20+2\sqrt{39})+(20-2\sqrt{39})=40$.

Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ là $A{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Vậy $|\vec{u}|=a\sqrt{3}$.

Theo định nghĩa tọa độ vectơ theo các vectơ đơn vị của hệ trục $Oxyz$, ta có $\vec{a}=7\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}\Rightarrow \vec{a}=(7;4;2)$.

Đổi các kích thước sang mét: chiều dài $OM=12\text{ m}$, chiều rộng $OK=9\text{ m}$, chiều cao thân nhà $OA=4,5\text{ m}$, chiều cao ngôi nhà là $6\text{ m}$.
Vì chóp mái $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên đáy $(ABCD)$ trùng với tâm của $ABCD$.
Do đó hình chiếu vuông góc $I$ của $S$ lên mặt phẳng đáy $(OMNK)$ trùng với tâm của hình chữ nhật $OMNK$.
Tọa độ tâm $I$ là: $x_I=\frac{OM}{2}=\frac{9}{2}=4,5$ (trục $Ox$ dọc theo cạnh rộng $9\text{ m}$) và $y_I=\frac{OK}{2}=\frac{12}{2}=6$ (trục $Oy$ dọc theo cạnh dài $12\text{ m}$). Cao độ của $S$ là khoảng cách từ $S$ đến $(OMNK)$, bằng $6\text{ m}$.
Vậy tọa độ đỉnh $S$ là $S(4,5;6;6)$, tức $a=4,5;b=6;c=6$.
Tính giá trị: $a-b+c=4,5-6+6=4,5$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Chọn C.

Hình chiếu của điểm $M(1;2;3)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm $N(1;2;0)$.

Chọn D.

Ta có $z^2=(2-3i{)}^2=4-12i+9i^2=-5-12i$. Phần ảo của số phức $z^2$ bằng $-12$.

Chọn B.

Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$.
Khoảng cách từ $A$ đến trục $Ox$ là $AH=\sqrt{(1-1{)}^2+(2-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.