Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: gieo súc xắc 2 lần có $6\times 6=36$ kết quả đồng khả năng. Biến cố A: 'ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm'. Xét biến cố đối $\overline{A}$: 'cả hai lần đều không xuất hiện mặt sáu chấm', tức mỗi lần ra một trong 5 mặt (1 đến 5), có $5\times 5=25$ kết quả. Vậy $P(\overline{A})=\frac{25}{36}$, suy ra $P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx 0,31$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: rút 2 thẻ từ 9 thẻ, $n(\Omega )=C_9^2=36$. Tích là số lẻ khi và chỉ khi cả hai thẻ đều ghi số lẻ. Có 5 thẻ lẻ (1,3,5,7,9), nên số kết quả bất lợi là $C_5^2=10$. Vậy số kết quả thuận lợi để tích chẵn là $36-10=26$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}\approx 0,72$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{12}^3=220$. Gọi $A$ là biến cố 'trong 3 bóng lấy ra có ít nhất 1 bóng hỏng'. Cách thuận: biến cố đối $\overline{A}$ là 'cả 3 bóng đều tốt', có $C_8^3=56$ cách. Vậy $P(\overline{A})=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}$, suy ra $P(A)=1-\frac{14}{55}=\frac{41}{55}\approx 0,7455$.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 5 lần. Xác suất để không có lần nào xuất hiện mặt sấp (tức cả 5 lần đều ra mặt ngửa) là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$. Vậy xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là $P=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$.

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố $AB$ là số được chọn chia hết cho cả 2 và 3, tức chia hết cho 6. Các số từ 1 đến 22 chia hết cho 6 là $\{6,12,18\}$, gồm 3 thẻ. Không gian mẫu có 22 kết quả nên $P(AB)=\frac{3}{22}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 25 học sinh là $C_{25}^4=12650$. Trường hợp không thỏa (cả 4 nam hoặc cả 4 nữ): $C_{15}^4+C_{10}^4=1365+210=1575$. Vậy xác suất có cả nam và nữ là $P=1-\frac{1575}{12650}=\frac{11075}{12650}=\frac{443}{506}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh thích ít nhất một môn: $18+16-7=27$. Số học sinh không thích môn nào: $30-27=3$. Xác suất: $\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 người (Cường, Trọng và 6 bạn nữ) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang. Xác suất Cường không đứng đầu là $\frac{7}{8}$; khi đó trong 7 người còn lại, xác suất Trọng không đứng đầu là $\frac{6}{7}$. Vậy xác suất cả hai đều không đứng đầu hàng là $\frac{7}{8}\cdot \frac{6}{7}=\frac{6}{8}=0,75$. Xác suất của biến cố 'ít nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng đầu hàng' là $1-0,75=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_9^2=36$. Biến cố cùng màu: 2 xanh hoặc 2 đỏ, số cách $C_5^2+C_4^2=10+6=16$. Vậy $P=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 5 bi đỏ, 6 bi xanh, 7 bi vàng, tổng 18 bi. Chọn ngẫu nhiên 4 bi: $n=C_{18}^4=3060$. Biến cố đối của 'có nhiều nhất 2 viên bi đỏ' là 'có 3 hoặc 4 viên bi đỏ': $C_5^3{C}_{13}^1+C_5^4=10\cdot 13+5=135$. Vậy $P=1-\frac{135}{3060}=\frac{2925}{3060}=\frac{65}{144}\approx 0,9559\approx 0,96$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ, $n(\Omega )=C_9^2=36$. Trong 9 thẻ có 5 thẻ lẻ (1,3,5,7,9) và 4 thẻ chẵn (2,4,6,8). Tích hai số là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều lẻ, có $C_5^2=10$ cách. Vậy số cách để tích là số chẵn là $36-10=26$. Xác suất $P=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}\approx 0,72$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo đồng xu đồng chất 3 lần: mỗi lần có 2 kết quả (sấp/ngửa), nên $|\Omega |=2^3=8$, các kết quả đồng khả năng. Biến cố A: 'cả 3 lần đều được mặt sấp' chỉ gồm 1 kết quả (SSS), nên $|A|=1$. Vậy $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{1}{8}=0,125$. Cách khác: các lần gieo độc lập, xác suất sấp mỗi lần là $\frac{1}{2}$, nên $P={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 12 học sinh là $C_{12}^3=220$. Xác suất biến cố 'không có học sinh nữ nào' (cả 3 đều nam) là $\frac{C_7^3}{C_{12}^3}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}$. Vậy xác suất có ít nhất một học sinh nữ là $1-\frac{7}{44}=\frac{37}{44}\approx 0,84$.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo đồng tiền 3 lần, không gian mẫu có $2^3=8$ kết quả đồng khả năng. Biến cố đối của $A$ là 'không lần nào xuất hiện mặt sấp', tức cả 3 lần đều ra mặt ngửa, chỉ có 1 kết quả. Vậy $P(\overline{A})=\frac{1}{8}$, suy ra $P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0,875$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi: 6 + 8 + 10 = 24. Số cách lấy 4 bi từ 24 bi: $C_{24}^4=10626$. Biến cố đối của B là 'không viên bi nào màu đỏ', tức 4 bi lấy từ 18 bi (xanh và trắng): $C_{18}^4=3060$. Vậy $P(\bar{B})=\frac{3060}{10626}$, suy ra $P(B)=1-\frac{3060}{10626}=\frac{7566}{10626}=\frac{1261}{1771}\approx 0,712$.

(AI giải đề cho tôi)
Gieo 4 đồng xu: không gian mẫu có $2^4=16$ kết quả đồng khả năng. Biến cố 'ít nhất hai đồng xu lật ngửa' gồm các trường hợp: đúng 2 ngửa $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$, đúng 3 ngửa $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$, đúng 4 ngửa $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1$. Vậy số kết quả thuận lợi là $6+4+1=11$, xác suất $P=\frac{11}{16}=0,6875$. (Lưu ý: đề in trên trang nguồn ghi 'lật ngửa' trong Câu 14, dữ liệu câu hỏi ghi 'lật ngửa' — cùng một phép tính.)

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số mật khẩu khả dĩ: các số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000 (tức chữ số đầu từ 1 đến 5, chữ số cuối lẻ).

Trường hợp 1: chữ số đầu lẻ (1, 3, 5): có 3 cách chọn; chữ số cuối lẻ khác chữ số đầu: 4 cách; 4 chữ số giữa chọn từ 8 chữ số còn lại và sắp xếp: $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ cách. Số số: $3\cdot 4\cdot 1680=20160$.

Trường hợp 2: chữ số đầu chẵn (2, 4): có 2 cách; chữ số cuối lẻ: 5 cách; 4 chữ số giữa: $A_8^4=1680$ cách. Số số: $2\cdot 5\cdot 1680=16800$.

Tổng số mật khẩu khả dĩ: $20160+16800=36960$.

Vì An bấm ngẫu nhiên một số thỏa mãn điều kiện và chỉ có đúng 1 mật khẩu, xác suất nhập đúng là $P=\frac{1}{36960}\approx 0,000027$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng là bảng 3×3 gồm 9 ô. Em bé đặt 4 hạt đậu vào 4 ô phân biệt, nên không gian mẫu là $\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$ cách.

Yêu cầu: mỗi hàng và mỗi cột đều có hạt đậu. Gọi số hạt ở các hàng là bộ $(a_1,a_2,a_3)$ với $a_1+a_2+a_3=4$, $a_i\ge 1$, nên bộ này phải là $(2,1,1)$ (theo thứ tự nào đó). Tương tự số hạt ở các cột cũng phải là $(2,1,1)$.

Đếm số cách đặt thỏa mãn:
- Chọn hàng chứa 2 hạt: 3 cách; chọn 2 ô trong hàng đó: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ cách. Gọi 2 cột đã dùng là $c_1,c_2$, cột còn lại là $c_3$.
- Hai hạt còn lại nằm ở 2 hàng còn lại, mỗi hàng 1 hạt, và để cột có bộ $(2,1,1)$ thì trong 2 hạt đó phải có đúng 1 hạt ở cột $c_3$, hạt kia ở $c_1$ hoặc $c_2$, đồng thời 2 hạt ở 2 cột khác nhau. Các cặp cột khả dụng: $(c_1,c_3),(c_2,c_3),(c_3,c_1),(c_3,c_2)$ — 4 cách phân công cho 2 hàng còn lại.

Vậy số trường hợp thuận lợi là $3\cdot 3\cdot 4=36$.

Xác suất cần tính:
$$P=\frac{36}{126}=\frac{2}{7}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: mỗi bạn viết một số từ 1 đến 17 nên $|\Omega |=17^3=4913$.

Phân loại các số theo số dư khi chia cho 3:
- Số dư 0: $\{3;6;9;12;15\}$ gồm 5 số.
- Số dư 1: $\{1;4;7;10;13;16\}$ gồm 6 số.
- Số dư 2: $\{2;5;8;11;14;17\}$ gồm 6 số.

Tổng của ba số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các số dư chia hết cho 3, tức ba số dư thuộc các trường hợp:
- $(0;0;0)$: $5^3=125$ cách.
- $(1;1;1)$: $6^3=216$ cách.
- $(2;2;2)$: $6^3=216$ cách.
- Ba số dư đôi một khác nhau $(0;1;2)$: có $3!=6$ hoán vị, mỗi cách chọn $5\cdot 6\cdot 6=180$, nên $6\cdot 180=1080$ cách.

Số kết quả thuận lợi: $125+216+216+1080=1637$.

Vậy xác suất cần tìm là $$P=\frac{1637}{4913}\approx 0,3332.$$

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 4 người từ 21 người nên $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{4}\right)=5985$.

Bước 1: Đếm số cách chọn 4 người có đủ cả ba lĩnh vực. Vì chọn 4 người từ 3 lĩnh vực nên phân bố số người phải là $(2,1,1)$:
- Toán 2, Lý 1, Hóa 1: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\cdot 7\cdot 8=15\cdot 56=840$.
- Toán 1, Lý 2, Hóa 1: $6\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\cdot 8=6\cdot 21\cdot 8=1008$.
- Toán 1, Lý 1, Hóa 2: $6\cdot 7\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=42\cdot 28=1176$.
Tổng: $840+1008+1176=3024$.

Bước 2: Trừ các trường hợp chỉ toàn nam hoặc toàn nữ (vẫn đủ ba lĩnh vực).
Toàn nam (11 nam: 4 Toán, 3 Lý, 4 Hóa):
- $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 3\cdot 4=72$; $4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot 4=48$; $4\cdot 3\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=72$. Tổng $192$.
Toàn nữ (10 nữ: 2 Toán, 4 Lý, 4 Hóa):
- $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\cdot 4\cdot 4=16$; $2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 4=48$; $2\cdot 4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=48$. Tổng $112$.

Bước 3: Số kết quả thuận lợi: $3024-192-112=2720$.

Xác suất: $P=\frac{2720}{5985}=\frac{544}{1197}\approx 0,4545$.