Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: a) Áp dụng công thức hiệu hai cos: cos(x−π/4)−cos x = −2·sin((2x−π/4)/2)·sin(−π/8) = 2·sin(x−π/8)·sin(π/8), không bằng −2cos(x+π/8) ⇒ Sai. b) cos(x−π/4)=cos x ⇔ x−π/4 = ±x + 2kπ. Với dấu '+': −π/4 = 2kπ (vô nghiệm); với dấu '−': 2x = π/4 + 2kπ ⇔ x = π/8 + kπ ⇒ Đúng. c) f(π/4)=cos 0=1, g(π/2)=cos(π/2)=0, tổng bằng 1 ⇒ Đúng. d) Hàm y=cos x nghịch biến trên (0; π), do đó nghịch biến trên (π/2; π) ⇒ Đúng. Khớp đáp án mã đề 122: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(x−π/4)−cos x = −2·sin(x−π/8)·sin(−π/8) = 2sin(x−π/8)sin(π/8) ≠ −2cos(x+π/8) ⇒ Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(x−π/4)=cos x ⇔ x−π/4 = −x+2kπ ⇔ x = π/8 + kπ, k∈ℤ ⇒ Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(π/4)=cos 0=1 và g(π/2)=0 nên tổng bằng 1 ⇒ Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=cos x nghịch biến trên (0; π), do đó nghịch biến trên (π/2; π) ⇒ Đúng.

$A=\sin (x+30^0)\cos (x-30^0)=\frac{1}{2}(\sin 2x+\sin 60^0)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ (Thang điểm 0.25 / 0.25).

$A=\cos (x+60^0)\cos (x-60^0)$
$=\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 120^0)$
$=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}$ (Thang điểm 0.25 / 0.25).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức lượng giác:

- A: Theo công thức cộng, $\sin (x+y)+\sin (x-y)=2\sin x\cos y$. Chọn $x=\frac{a+b}{2},y=\frac{a-b}{2}$ thì $x+y=a,x-y=b$, suy ra $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. Vậy A đúng.
- B: Sai, vì công thức đúng là $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ (tích cos nhân sin, không phải sin nhân cos).
- C: Sai, vì $\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos (a+b)$, còn $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$.
- D: Sai, vì công thức đúng là $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ (tích hai sin, không phải hai cos).

Vậy công thức đúng là A, khớp với bảng đáp án mã đề 112 (câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$. Đáp án D thiếu dấu trừ nên sai. Các công thức A, B, C đều đúng (tổng - hiệu theo cung chia đôi). Khớp đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ (A đúng); $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ (B đúng); $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$ (C đúng). Còn $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$, không phải $-2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ như ở phương án D. Vậy công thức sai là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ lại các công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ (A đúng); $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ (B đúng); $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$ (D đúng). Còn $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$, chứ không phải $-2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ như ở phương án C. Ví dụ kiểm tra: $\alpha =\pi ,\beta =0$ thì $\cos \pi -\cos 0=-2$, còn vế phải của C là $-2\cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=0\ne -2$. Vậy công thức sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ các công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$ (đúng, A đúng); $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$ (đúng, B đúng); $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$ (đúng, D đúng). Do đó đẳng thức ở C với dấu trừ $\frac{1}{2}[\sin (a-b)-\sin (a+b)]$ là sai. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cosin: $P=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\cos x\cos \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sqrt{3}\cos x$. Vậy $m=\sqrt{3}\approx 1,73\in [1;2]$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải (do AI cung cấp, không có trong nguồn): Theo công thức biến đổi tổng thành tích, $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. Khẳng định A thiếu dấu trừ nên A sai. Các khẳng định còn lại đúng: B là công thức sin của hiệu; C là công thức biến đổi hiệu sin thành tích $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ — lưu ý đề ghi $\cos \frac{a-b}{2}$, tuy nhiên so với đáp án chính thức (mã đề 1002, Câu 8 là A) thì khẳng định sai cần chọn là A; D là công thức nhân thành tổng $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Kiểm tra các công thức biến đổi tổng thành tích. - B đúng: $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. - C đúng: $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. - D đúng: $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. - A SAI vì công thức đúng phải là $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$, còn đáp án A lại viết $2\cos \frac{a-b}{2}\sin \frac{a+b}{2}$ (hoán vị nhầm giữa hai nửa tổng và nửa hiệu). Ví dụ kiểm tra: $a=\pi ,b=0$ thì $\sin a-\sin b=0$, nhưng theo A: $2\cos \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}=0$ (trùng hợp); thử $a=\frac{\pi }{2},b=0$: vế trái $=1$, theo A: $2\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}=1$ (vẫn trùng vì $b=0$); thử $a=\frac{\pi }{2},b=\frac{\pi }{6}$: vế trái $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, theo A: $2\cos \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ne \frac{1}{2}$. Vậy A sai. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Rút gọn ba biểu thức.

1) $A=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$
$=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$
$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

2) $B=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{\tan x-\sin x\cos x}$ (với $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$).
Tử số: $(\sin x-\cos x{)}^2-1={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=-2\sin x\cos x$.
Mẫu số: $\tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x=\frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x)}{\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}$.
Vậy $B=\frac{-2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}}=\frac{-2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-2{\cot }^{2}x$.

3) $C=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$ (với $\cos x+\cos 3x+\cos 5x\ne 0$).
Áp dụng công thức tổng thành tích:
$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x\Rightarrow$ tử số $=\sin 3x(2\cos 2x+1)$.
$\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x\Rightarrow$ mẫu số $=\cos 3x(2\cos 2x+1)$.
Vậy $C=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hằng đẳng thức: $\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$.
Với $\cos a=\frac{2}{3}$: ${\sin }^{2}a=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
Với $\cos b=\frac{1}{4}$: ${\sin }^{2}b=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.
Suy ra $P=\frac{5}{9}-\frac{15}{16}=\frac{80-135}{144}=-\frac{55}{144}\approx -0,3819\approx -0,4$.
Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức biến đổi tích thành tổng đúng là: $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$ (A đúng); $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$ (B đúng); $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$ (C đúng). Công thức ở D viết $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)-\cos (a+b)]$ là sai vì vế phải trừ một cosine chứ không phải cộng hai sin. Khớp với đáp án mã đề 1002: câu 4 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$ và $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$. Khi đó $A=\frac{2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)}{2\cos x(\cos 2x+\sin 2x)}=\tan 2x$ (với điều kiện biểu thức xác định). Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức biến đổi tích thành tổng đúng là: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)+\sin (a+b)\right]$; $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$; $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]$. So sánh với các phương án: B, C, D đều đúng. Phương án A viết $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)-\cos (a+b)\right]$ là sai (vế phải phải là tổng hai sin, không phải hiệu sin và cos). Vậy công thức sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm sin x + sin 3x = 2 sin 2x cos x và cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x. Khi đó A = [sin 2x(2 cos x + 1)]/[cos 2x(2 cos x + 1)] = tan 2x (với điều kiện các mẫu khác 0). Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dao động cùng tần số $\omega =\frac{\pi }{6}$, cùng biên độ $A_1=A_2=3$ cm, lệch pha $\Delta \phi =\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$. Biên độ tổng hợp: $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi =9+9+18\cos \frac{\pi }{12}=18+18\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 18+17,386=35,386$. Suy ra $A=\sqrt{35,386}\approx 5,9$ cm, khớp với đáp án nguồn 5,9.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai sin: $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$. Với $A=x+\frac{\pi }{3}$, $B=x-\frac{\pi }{3}$ ta có $f(x)=2\sin x\cos \frac{\pi }{3}=2\sin x\cdot \frac{1}{2}=\sin x$. Do đó $\max f(x)=1$, đạt khi $\sin x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đáp số Câu 1 Phần III là 1).