Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+2a,2a^2-1,-2a$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại: $$2(2a^2-1)=(1+2a)+(-2a)=1.$$ Suy ra $4a^2-2=1\Rightarrow 4a^2=3\Rightarrow a^2=\frac{3}{4}\Rightarrow a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3^{n+1}$ là cấp số nhân, không phải cấp số cộng. B) $u_n=\frac{2}{n+1}$: hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{n+2}-\frac{2}{n+1}=\frac{-2}{(n+1)(n+2)}$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng. C) $u_n=\sqrt{n^2+1}$: ví dụ $u_1=\sqrt{2},u_2=\sqrt{5},u_3=\sqrt{10}$, các hiệu không bằng nhau. D) $u_n=\frac{5n-2}{3}$ có dạng $u_n=dn+u_0$ với $d=\frac{5}{3}$, khi đó $u_{n+1}-u_n=\frac{5}{3}$ không đổi với mọi $n$, nên đây là cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cấp số cộng: $u_2=u_1+d=9+2=11$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $n$ số hàng đầu của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]=\frac{n}{2}\left[6+4(n-1)\right]=\frac{n(4n+2)}{2}=n(2n+1)$. Theo đề $S_n=253$ nên $2n^2+n-253=0$. Giải phương trình: $\Delta =1+4\cdot 2\cdot 253=2025=45^2$, do đó $n=\frac{-1+45}{4}=11$ (nhận $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; nghiệm âm loại). Vậy $n=11$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=3n-2$, ta có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3$. Vậy công sai $d=3$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, $u_6=27$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_6=u_1+5d\Rightarrow 27=-3+5d\Rightarrow 5d=30\Rightarrow d=6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S_{50}=\frac{50}{2}(2u_1+49d)=25(10+49d)=5150$, suy ra $10+49d=206\Rightarrow d=4$. Vậy $u_n=u_1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1=1+4n$. Kiểm tra: $u_1=5$ đúng; $S_{50}=25(10+196)=25\cdot 206=5150$ đúng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $u_4=10$ và $u_4+u_6=26$ suy ra $u_6=16$. Vì $u_6=u_4+2d$ nên $2d=16-10=6$, tức $d=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{14}-u_4=10d=18-(-12)=30\Rightarrow d=3$. Suy ra $u_1=u_4-3d=-12-9=-21$. Tổng 16 số hạng đầu: $S_{16}=\frac{16}{2}\left(2u_1+15d\right)=8(-42+45)=8\cdot 3=24$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-2$, $d=3$. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_{10}=u_1+9d=-2+9\cdot 3=-2+27=25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=\frac{u_4-u_2}{4-2}=\frac{7-3}{2}=2$. Số hàng đầu $u_1=u_2-d=3-2=1$. Do đó $u_{15}=u_1+14d=1+28=29$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cần cấp số cộng 5 số hạng với $u_1=2$, $u_5=22$. Ta có $u_5=u_1+4d\Rightarrow 22=2+4d\Rightarrow d=5$. Ba số xen giữa là $u_2=7$, $u_3=12$, $u_4=17$. Kiểm tra: 2, 7, 12, 17, 22 có công sai 5. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 12 giờ, đồng hồ đánh tổng số tiếng là $1+2+\cdots +12=\frac{12\cdot 13}{2}=78$. Trong một ngày (24 giờ), chu trình lặp lại 2 lần nên tổng số tiếng đánh được là $2\cdot 78=156$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
3 năm = 12 quý. Mức lương các quý lập thành cấp số cộng với $u_1=4,5$, công sai $d=0,3$. Tổng 12 quý: $S_{12}=\frac{12}{2}\left(2\cdot 4,5+11\cdot 0,3\right)=6(9+3,3)=6\cdot 12,3=73,8$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $n$ tuần, tổng số tiền bạn An để dành được là $40+8(n-1)$ đồng (tuần đầu để dành 40 đồng, mỗi tuần sau tổng tiền để dành tăng thêm 8 đồng). Để mua được quyển sách giá 400 đồng, cần:
$$40+8(n-1)\ge 400\iff 8n\ge 368\iff n\ge 46.$$
Kiểm tra: với $n=46$, tổng tiền là $40+8\cdot 45=400$ đồng, đủ mua sách; với $n=45$, tổng tiền là $40+8\cdot 44=392$ đồng, chưa đủ.
Vậy sau ít nhất 46 tuần bạn An có đủ tiền mua quyển sách. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đợt 1: dãy CSC có công sai d=3, tháng thứ 8 góp 24 triệu nên u_8 = u_1 + 7d = u_1 + 21 = 24 ⟹ u_1 = 3 triệu. Vậy a) đúng. Đợt 2: tháng đầu 4 triệu, mỗi tháng gấp đôi tháng trước nên là CSCN với u_1 = 4, q = 2, vậy b) đúng. Tổng đợt 1 là 408 triệu: S_n = 3n(n+1)/2 = 408 ⟹ n(n+1) = 272 ⟹ n = 16 tháng, nên c) sai (14 tháng chỉ được S_14 = 3·14·15/2 = 315 triệu). Đợt 2 cần góp 2452 − 408 = 2044 triệu; S_n = 4(2^n − 1) ≥ 2044 ⟹ 2^n ≥ 512 ⟹ n = 9 tháng. Tổng thời gian tối thiểu 16 + 9 = 25 tháng, vậy d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
u_8 = u_1 + 7·3 = 24 ⟹ u_1 = 3 triệu, đúng là CSC với d = 3, u_1 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tháng đầu 4 triệu, mỗi tháng gấp đôi tháng trước: CSCN với u_1 = 4, q = 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
S_n = 3n(n+1)/2 = 408 ⟹ n(n+1) = 272 ⟹ n = 16 tháng, không phải 14 tháng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Còn lại 2044 triệu; 4(2^n − 1) ≥ 2044 ⟹ 2^n ≥ 512 ⟹ n = 9. Tổng 16 + 9 = 25 tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có số hạng tổng quát $u_n=-3n-7$. Ta có $u_{n+1}-u_n=-3(n+1)-7-(-3n-7)=-3$. Vậy công sai $d=-3$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

Từ $9u_2-u_7=1$: $9(u_1+d)-(u_1+6d)=1\Rightarrow 8u_1+3d=1$.

Từ $2u_4-u_{10}=-10$: $2(u_1+3d)-(u_1+9d)=-10\Rightarrow u_1-3d=-10$.

Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$. Suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$.

b) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

Kiểm tra: $u_2=2$, $9u_2-u_7=18-17=1$ đúng; $u_4=8$, $u_{10}=26$, $2u_4-u_{10}=16-26=-10$ đúng.

c) $S_{33}=\frac{33(2u_1+32d)}{2}=\frac{33(-2+96)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

d) Tổng $T$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$, $u_{55}=3\cdot 55-4=161$.

$T=\frac{23(95+161)}{2}=\frac{23\cdot 256}{2}=23\cdot 128=2944$.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là $u_n=u_1+(n-1)d$. Kiểm tra: với $n=1$ ta được $u_1$, đúng; hiệu $u_{n+1}-u_n=d$, đúng. Các phương án khác sai vì: A cho $u_1+d$ khi $n=1$; B cho $2u_1$ khi $n=1$; C cho $u_1+2d$ khi $n=1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số hàng cây. Tổng số cây là $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=3003$, suy ra $n(n+1)=6006$. Thử $n=77$: $77\times 78=6006$ (thỏa mãn, và $n$ nguyên dương duy nhất vì $n(n+1)$ tăng ngặt). Vậy số hàng cây được trồng là $77$. Hình minh họa trên trang 31 chỉ là hình tam giác cây trang trí, không ảnh hưởng đến lời giải.