Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n=u_1+(n-1)d$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Kiểm tra: với $n=1$ ta được $u_1$ đúng. Các phương án khác sai vì: A cho $u_1+d$ khi $n=1$; B cho $2u_1$ khi $n=1$; C cho $u_1+2d$ khi $n=1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa cấp số cộng, hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi: $u_{n+1}-u_n=d$, tức hệ thức truy hồi $u_{n+1}=u_n+d$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy cấp số cộng có dạng $u_n=u_1+(n-1)d$, tức là hàm bậc nhất theo $n$. Xét từng phương án: A: $u_n=n^2+1$ là hàm bậc hai, không phải CSC. B: $u_n=2n+3$ là hàm bậc nhất theo $n$ với $u_{n+1}-u_n=2$ không đổi, đây là cấp số cộng công sai $d=2$ (số hạng đầu $u_1=5$). C: $u_n=n^2+n-1$ là hàm bậc hai, không phải CSC. D: $u_n=2^n$ là cấp số nhân với công bội $q=2$, không phải CSC. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, công sai $d=5$. Khi đó $u_2=u_1+d=-3+5=2$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=4$, $u_2=1$ nên công sai $d=u_2-u_1=1-4=-3$. Số hàng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$, do đó $u_{10}=4+9\cdot (-3)=4-27=-23$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=u_1+(n-1)d=-5+3(n-1)$. Giải $-5+3(n-1)=100\Rightarrow 3(n-1)=105\Rightarrow n-1=35\Rightarrow n=36$. Vậy 100 là số hạng thứ 36, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=1$, $u_2=4$ nên công sai $d=u_2-u_1=3$. Tổng 20 số hạng đầu: $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2u_1+19d\right)=10\left(2+57\right)=10\cdot 59=590$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n+2}{2}=1+\frac{n}{2}$.
a) Sai: công thức đúng là $u_n=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) Đúng: $u_8=1+\frac{8}{2}=5$.
c) Sai: nếu $\frac{15}{4}=\frac{n+2}{2}$ thì $n+2=\frac{15}{2}$, suy ra $n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, vậy $\frac{15}{4}$ không là số hạng của cấp số cộng.
d) Sai: $S_{100}=\frac{100\left(u_1+u_{100}\right)}{2}=50\left(\frac{3}{2}+51\right)=50\cdot \frac{105}{2}=2625\ne 2620$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=1+\frac{n}{2}\ne 1+\frac{n}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=1+\frac{8}{2}=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{15}{4}=\frac{n+2}{2}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=50\left(\frac{3}{2}+51\right)=2625\ne 2620$.

(AI giải đề cho tôi)
Số khúc gỗ các hàng tạo thành cấp số cộng với 10 hàng, hàng trên cùng là 1 khúc và mỗi hàng trên ít hơn hàng dưới 3 khúc, nên số khúc hàng dưới cùng là $1+9\cdot 3=28$. Tổng số khúc gỗ là tổng của cấp số cộng: $S=\frac{10(1+28)}{2}=5\cdot 29=145$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, Câu 3: 145).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu hai số hạng liên tiếp của mỗi dãy: A: dãy $10;10;10;...$ có công sai $d=0$, là cấp số cộng. B: $2;0;-2;-4;-6;...$ có $0-2=-2-0=-4-(-2)=-2$, là cấp số cộng với $d=-2$. C: $1;5;9;13;17;...$ có $5-1=9-5=13-9=17-13=4$, là cấp số cộng với $d=4$. D: $0;-3;6;-9;...$ có $-3-0=-3$ nhưng $6-(-3)=9\ne -3$, hiệu không không đổi nên không phải cấp số cộng. Vậy dãy ở phương án D không phải là cấp số cộng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số khúc gỗ các hàng (từ trên xuống) lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=1$, công sai $d=3$, số hạng $n=10$. Tổng: $S_{10}=\frac{10}{2}\left(2\cdot 1+9\cdot 3\right)=5\cdot 29=145$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (145).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu các số hạng liên tiếp: A: 10−10=0 (công sai d=0, là CSC). B: 0−2=−2, −2−0=−2, ... (d=−2, là CSC). C: 5−1=4, 9−5=4, ... (d=4, là CSC). D: −3−0=−3 nhưng 6−(−3)=9, hiệu không không đổi nên không phải cấp số cộng. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=-5+3(n-1)=3n-8$. Kiểm tra: $u_{15}=3\cdot 15-8=37\ne 34,45$; $u_{13}=3\cdot 13-8=31$ đúng; $u_{10}=22\ne 35$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $-1;2;5;8;11;14;17$ có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng $3$: $2-(-1)=5-2=8-5=11-8=14-11=17-14=3$. Vậy dãy là cấp số cộng với công sai $d=3$, do đó ý a) Sai, ý b) Đúng. Vì tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không bằng nhau (ví dụ $2/(-1)=-2\ne 5/2$), dãy không phải cấp số nhân, nên ý c) Sai. Với $u_n=2^{n+1}$ thì $u_1=4\ne -1$, nên ý d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy có hiệu các số hạng liên tiếp đều bằng 3 nên là cấp số cộng, khẳng định 'không phải cấp số cộng' là Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=3$ với mọi $n$, vậy dãy là cấp số cộng công sai $d=3$, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số hai số hạng liên tiếp không không đổi (ví dụ $2/(-1)=-2\ne 5/2$), nên không phải cấp số nhân, Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dãy không phải cấp số nhân; hơn nữa $u_1=2^2=4\ne -1$, Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền tiết kiệm mỗi tuần lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=20$, công sai $d=15$. Tổng 16 tuần: $S_{16}=\frac{16}{2}\left(2\cdot 20+15\cdot 15\right)=8(40+225)=8\cdot 265=2120$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy cấp số cộng có dạng $u_n=an+b$ (bậc nhất theo $n$). Các dãy $a_n=\frac{n}{4}-2$, $v_n=\frac{-n+3}{2}$, $b_n=-3n+1$ đều là hàm bậc nhất theo $n$ nên là cấp số cộng với công sai lần lượt $\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{2}$, $-3$. Dãy $u_n=-3n^2-3$ là hàm bậc hai theo $n$: $u_1=-6$, $u_2=-15$, $u_3=-30$; $u_2-u_1=-9\ne u_3-u_2=-15$, nên không phải cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số tạo thành cấp số cộng khi $2(x^2-2x-4)=(3x-2)+(2-x)$.
Suy ra $2x^2-4x-8=2x\iff 2x^2-6x-8=0\iff x^2-3x-4=0$.
Phương trình có nghiệm $x=4$ hoặc $x=-1$ (hai nghiệm phân biệt, mỗi giá trị đều cho ba số theo thứ tự tạo cấp số cộng).
Vậy $S=\{-1;4\}$ và tổng các phần tử của $S$ là $-1+4=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=\frac{u_4-u_2}{4-2}=\frac{-18-(-10)}{2}=-4$. Suy ra $u_1=u_2-d=-10-(-4)=-6$. a) Sai vì $u_1=-6\ne -4$. b) $u_8=u_1+7d=-6-28=-34\ne -38$ nên sai. c) Giải $-114=-6+(n-1)(-4)\Rightarrow n-1=27\Rightarrow n=28\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, vậy $-114$ là số hạng thứ 28, đúng. d) $S_8=\frac{8}{2}(u_1+u_8)=4(-6-34)=-160\ne -156$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=\frac{u_4-u_2}{2}=\frac{-18+10}{2}=-4$; $u_1=u_2-d=-10+4=-6\ne -4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1+7d=-6+7(-4)=-34\ne -38$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-114=u_1+(n-1)d=-6-4(n-1)\Rightarrow n=28$, là số hạng thứ 28 của cấp số cộng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_8=\frac{8}{2}(u_1+u_8)=4(-6-34)=-160\ne -156$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị xe sau 4 năm: $870-4\cdot 40=870-160=710$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Giá mét khoan thứ $n$ là số hạng của cấp số cộng với $u_1=200000$, công sai $d=30000$. Tổng tiền khoan 20 mét: $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2\cdot 200000+19\cdot 30000\right)=10\cdot (400000+570000)=9700000$ đồng $=9,7$ triệu đồng. Vậy gia đình phải thanh toán 9,7 triệu đồng.