Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_4=10$ và $u_4+u_6=26$ nên $u_6=16$. Vì $(u_n)$ là cấp số cộng: $u_6=u_4+2d\Rightarrow 16=10+2d\Rightarrow d=3$. Suy ra $u_1=u_4-3d=10-9=1$. Vậy $u_1=1$, $d=3$. Kiểm tra: $u_4=1+3\cdot 3=10$, $u_6=1+5\cdot 3=16$, $u_4+u_6=26$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(u_n)$ là cấp số cộng nên $u_{n+1}-u_n=d$ với mọi $n$. Với $n=1$: $u_2=5u_1-3=5\cdot 6-3=27$. Suy ra công sai $d=u_2-u_1=27-6=21$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_4=6$, $u_5=1$.

a) Công sai $d=u_5-u_4=1-6=-5$. Đúng.

b) $u_1=u_4-3d=6-3(-5)=21$, nên ba số hạng đầu là $21;16;11$, không phải $-1;4;6$. Sai.

c) $S_{10}=\frac{10}{2}\left(2u_1+9d\right)=5\left(42-45\right)=-15\ne -16$. Sai.

d) Trong cấp số cộng, $u_6+u_{10}=(u_8-2d)+(u_8+2d)=2u_8$ luôn đúng. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_5-u_4=1-6=-5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=u_4-3d=6+15=21$, nên ba số hạng đầu là $21;16;11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=5(2\cdot 21+9\cdot (-5))=5(42-45)=-15\ne -16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_6+u_{10}=(u_8-2d)+(u_8+2d)=2u_8$ luôn đúng với mọi cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Số viên gạch các bậc lập thành cấp số cộng với $u_1=120$, công sai $d=-2$, số hạng tử $n=35$. Tổng: $S_{35}=\frac{35}{2}\left(2\cdot 120+34\cdot (-2)\right)=\frac{35}{2}(240-68)=\frac{35}{2}\cdot 172=35\cdot 86=3010$. Vậy cần 3010 viên gạch.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n+2}{2}=1+\frac{n}{2}$.
a) Sai: số hạng tổng quát là $u_n=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) Đúng: $u_8=1+\frac{8}{2}=5$.
c) Sai: $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n+2=\frac{15}{2}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, vậy $\frac{15}{4}$ không là số hạng của cấp số cộng.
d) Sai: $S_{100}=\frac{100\left(u_1+u_{100}\right)}{2}=50\left(\frac{3}{2}+51\right)=50\cdot \frac{105}{2}=2625\ne 2620$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=1+\frac{n}{2}\ne 1+\frac{n}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=1+\frac{8}{2}=5$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng của cấp số cộng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100(u_1+u_{100})}{2}=50\left(\frac{3}{2}+51\right)=2625\ne 2620$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây sau $n$ hàng là $S_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n+1)}{2}=4950\Rightarrow n(n+1)=9900$. Thử $n=99$: $99\cdot 100=9900$ (thỏa mãn). Vậy số hàng cây được trồng là $99$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=5$, $d=-7$ nên $u_n=5+(n-1)(-7)=12-7n$. a) $u_{11}=12-77=-65$ (đúng). b) $u_5=12-35=-23$, $u_7=12-49=-37$, nên $u_5+u_7=-60\ne -50$ (sai). c) $u_{123}=12-861=-849$ (đúng). d) $u_{10}=12-70=-58$, $S_{10}=\frac{10(5+(-58))}{2}=5\cdot (-53)=-265\ne -114$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=5+10(-7)=-65$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=-23$, $u_7=-37$, tổng $=-60\ne -50$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{123}=5+122(-7)=-849$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=-58$, $S_{10}=\frac{10(5-58)}{2}=-265\ne -114$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giá ban đầu 680 triệu, mỗi năm giảm 50 triệu nên $u_1=680$, $u_{n+1}-u_n=-50$. a) $u_2=680-50=630$ đúng. b) Cấp số cộng có công sai $d=-50$ (giảm), không phải $d=50$, nên sai. c) Sau 3 năm sử dụng giá là $u_4=680-3\cdot 50=530>500$ triệu, đúng. d) Giá nhỏ hơn một nửa giá ban đầu: $680-50n<340\iff n>6,8$, nên sau 7 năm đã nhỏ hơn 340 triệu, không cần 8 năm, do đó khẳng định 'ít nhất 8 năm' sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=680-50=630$ (triệu đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá giảm mỗi năm 50 triệu nên công sai $d=-50$, không phải $d=50$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau 3 năm: $u_4=680-3\cdot 50=530>500$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $680-50n<340\iff n>6,8$, tức sau 7 năm giá đã nhỏ hơn một nửa giá ban đầu, không phải ít nhất 8 năm.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các dãy lập thành cấp số cộng với $u_1=15$, công sai $d=4$, số hạng tử $n=30$.
a) Dãy thứ 20: $u_{20}=u_1+19d=15+19\cdot 4=15+76=91$ (ghế).
b) Dãy cuối: $u_{30}=15+29\cdot 4=131$. Tổng số ghế: $S_{30}=\frac{30(15+131)}{2}=15\cdot 146=2190$ (ghế).

(AI giải đề cho tôi)
Số cây mỗi hàng lập thành cấp số cộng 1, 2, 3, ... Tổng số cây sau $n$ hàng là $S_n=\frac{n(n+1)}{2}=3240$, tức $n^2+n-6480=0$. Giải được $n=\frac{-1+\sqrt{25921}}{2}=\frac{-1+161}{2}=80$ (nhận nghiệm dương). Vậy có tất cả 80 hàng cây.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có $u_1=-1$, công sai $d=3$ nên là cấp số cộng với $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$. a) $u_1=-1,u_2=2,u_3=5,u_4=8$ → đúng. b) $u_5=8+3=11\ne 13$ → sai. c) $u_n=3n-4\ne 2n-3$ → sai. d) $u_{35}=3(35)-4=101$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=-1$, $u_2=u_1+3=2$, $u_3=5$, $u_4=8$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_4+3=11$, không phải 13.
c) (AI giải đề cho tôi)
Dãy là cấp số cộng công sai 3 nên $u_n=3n-4$, không phải $2n-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{35}=3\cdot 35-4=101$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n+2}{2}=1+\frac{n}{2}$.
a) Sai: công thức đúng là $u_n=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) Đúng: $u_8=1+\frac{8}{2}=5$.
c) Sai: giải $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, vậy $\frac{15}{4}$ không là số hạng của cấp số cộng.
d) Sai: $S_{100}=\frac{100\left(u_1+u_{100}\right)}{2}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=\frac{100\cdot \frac{105}{2}}{2}=2625\ne 2620$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=1+\frac{n}{2}\ne 1+\frac{n}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=1+\frac{8}{2}=5$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=2625\ne 2620$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d=\frac{u_{14}-u_6}{14-6}=\frac{-36-(-4)}{8}=\frac{-32}{8}=-4$. Suy ra $u_1=u_6-5d=-4-5(-4)=-4+20=16$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi n là số ngày. Mỗi ngày mỗi bạn đóng theo cấp số cộng với u1=2000, công sai d=200. Tổng tiền của một bạn sau n ngày: Sn = n/2·[2·2000 + (n−1)·200] = 100n² + 1900n. Tổng của 43 bạn: 43(100n² + 1900n) = 5 658 800 ⟹ 100n² + 1900n = 131 600 ⟹ n² + 19n − 1316 = 0. Δ = 19² + 4·1316 = 5625 = 75², nên n = (−19 + 75)/2 = 28 (nhận n > 0). Vậy sau 28 ngày số tiền nuôi heo được 5 658 800 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Lương năm thứ nhất là 35000 đô la, mỗi năm tăng 1400 đô la nên lương theo năm lập thành cấp số cộng với $u_1=35000$, công sai $d=1400$. Tổng lương trong $n$ năm: $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 35000+(n-1)\cdot 1400\right]=319200$. Suy ra $n(70000+1400n-1400)=638400\iff 1400n^2+68600n-638400=0\iff n^2+49n-456=0$. Biệt thức $\Delta =49^2+4\cdot 456=2401+1824=4225=65^2$, nên $n=\frac{-49+65}{2}=8$ (nhận, $n>0$). Vậy anh Bình cần làm việc 8 năm để tổng lương là 319200 đô la. Kiểm tra: $S_8=\frac{8}{2}(2\cdot 35000+7\cdot 1400)=4(70000+9800)=4\cdot 79800=319200$ đô la, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ cao thừa ruộng bậc $n$ là $u_n$. Ta có $u_1=953,4$ m, $u_2=u_1+2=955,4$ m. Từ bậc thứ ba trở lên, mỗi bậc cao hơn bậc dưới $0,7$ m nên với $n\ge 2$, dãy $(u_n)$ là cấp số cộng công sai $d=0,7$: $u_n=u_2+(n-2)d=955,4+0,7(n-2)$. Giải $955,4+0,7(n-2)=964,5\Rightarrow 0,7(n-2)=9,1\Rightarrow n-2=13\Rightarrow n=15$. Vậy thừa ruộng cao $964,5$ m là thừa ruộng ở bậc thứ $15$. (Sai số $\pm 0,05$ m của phép đo không ảnh hưởng vì $964,5$ khớp đúng một giá trị của dãy.)

(AI giải đề cho tôi)
Với $S_n=4n-2n^2$: $S_1=4-2=2$, $S_2=8-8=0$ nên a đúng. $u_1=S_1=2$, $u_2=S_2-S_1=-2$ nên công sai $d=u_2-u_1=-4$, b đúng. Số hàng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d=2-4(n-1)=6-4n$ (không phải $6+4n$), c sai. $u_{20}=6-4\cdot 20=6-80=-74$, d đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 16: ĐĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_1=4-2\cdot 1^2=2$; $S_2=4\cdot 2-2\cdot 2^2=8-8=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=2$; $u_2=S_2-S_1=0-2=-2$; $d=u_2-u_1=-4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=2-4(n-1)=6-4n$, không phải $6+4n$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=6-4\cdot 20=-74$, đúng là số hạng thứ 20.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $v_1$ là số hạng đầu và $d$ là công sai. Ta có $v_3-v_6=(v_1+2d)-(v_1+5d)=-3d=-15$, suy ra $d=5$. Từ $v_1+v_2=v_1+(v_1+d)=2v_1+d=11$ suy ra $2v_1=6$, tức $v_1=3$. Khi đó $v_{20}=v_1+19d=3+19\cdot 5=98$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (98).

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $-x;12;2x+1$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $2\cdot 12=(-x)+(2x+1)$. Suy ra $24=x+1$, tức $x=23$. Kiểm tra: với $x=23$, ba số là $-23;12;47$, công sai $d=35$ thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi) Từ $S_n=n^2+3n$ ta có $S_1=4$, $S_2=10$, suy ra $u_1=4$, $u_2=6$, $d=2$; do đó $u_n=2n+2$ và $u_{20}=42$. Đáp án nguồn (bảng mã đề 1101, câu 14): SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi) Với $S_n=n^2+3n$: $S_1=1^2+3\cdot 1=4$ (đúng), nhưng $S_2=2^2+3\cdot 2=10\ne 8$. Vậy mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi) $u_1=S_1=4$; $u_2=S_2-S_1=10-4=6$, nên $d=u_2-u_1=6-4=2$. Vậy mệnh đề Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi) $u_n=u_1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2=2+2n$. Vậy mệnh đề Đúng. (Lưu ý: bảng đáp án mã đề 1101, câu 14 cho mẫu SDDS, ý c) là Đ.)
d) (AI giải đề cho tôi) $u_{20}=2+2\cdot 20=42\ne 46$. Vậy mệnh đề Sai.