Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bốn số dạng $a-3d,a-d,a+d,a+3d$. Tổng: $4a=28\Rightarrow a=7$. Tổng bình phương: $(a-3d{)}^2+(a-d{)}^2+(a+d{)}^2+(a+3d{)}^2=4a^2+20d^2=276\Rightarrow 196+20d^2=276\Rightarrow d^2=4$. Tích: $(a^2-9d^2)(a^2-d^2)=(49-36)(49-4)=13\cdot 45=585$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngôi nhà là hình chóp tứ giác đều với đáy vuông cạnh $6,8m$, chiều cao $2,72m$. Viên gạch có kích thước $0,2m-0,08m-1m$, được ốp sao cho chiều dài $0,2m$ nằm ngang theo cạnh đáy và chiều cao $0,08m$ xếp chồng theo phương thẳng đứng.

- Số hàng gạch trên mỗi mặt: $2,72:0,08=34$ hàng.
- Hàng dưới cùng của mỗi mặt (dọc theo cạnh đáy $6,8m$) có $6,8:0,2=34$ viên; mỗi hàng phía trên ít hơn 1 viên, hàng trên cùng là 1 viên. Vậy mặt bên là tam giác gồm 34 hàng với số viên là $1,2,\dots ,34$.
- Số viên trên một mặt: $1+2+\cdots +34=\frac{34\cdot 35}{2}=595$ viên.
- Cả bốn mặt: $4\times 595=2380$ viên.

Vậy cần dự tính $2380$ viên gạch nâu để ốp cả bốn mặt ngôi nhà.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}$, lấy nghịch đảo: $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2u_n+1}{u_n}=2+\frac{1}{u_n}$. Vậy dãy $v_n=\frac{1}{u_n}$ là cấp số cộng với $v_1=\frac{1}{u_1}=1$ và công sai $d=2$. Do đó $v_n=1+2(n-1)=2n-1$. Khi đó $T={\sum }_{n=1}^{50}{v}_n=\frac{50(1+99)}{2}=2500$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2500).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$. Từ $u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}$, ta có $v_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n}=2+\frac{1}{u_n}=v_n+2$. Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng với $v_1=1$, công sai $d=2$. Do đó $T=v_1+v_2+...+v_{40}=\frac{40}{2}\left(2v_1+39d\right)=20(2+78)=1600$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1600.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền tiết kiệm mỗi tháng lập thành cấp số cộng với $u_1=2,5$ triệu đồng, công sai $d=0,05$ triệu đồng. Tổng sau $n$ tháng: $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 2,5+(n-1)\cdot 0,05\right]=\frac{n(0,05n+4,95)}{2}$. Yêu cầu $S_n\ge 31$: $0,05n^2+4,95n-31\ge 0\iff n^2+99n-620\ge 0$. Nghiệm: $n\ge \frac{-99+\sqrt{99^2+4\cdot 620}}{2}=\frac{-99+\sqrt{12281}}{2}\approx \frac{-99+110,82}{2}\approx 5,91$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=6$. Kiểm tra: $S_5=\frac{5(0,25+4,95)}{2}=13$ triệu (chưa đủ); $S_6=\frac{6(0,3+4,95)}{2}=15,75$ triệu... Thực ra cần tính lại: $S_6=\frac{6}{2}(5+5\cdot 0,05)=3\cdot 5,25=15,75$ triệu — vẫn chưa đủ 31 triệu. Xét lại: $S_n=\frac{n}{2}(5+0,05(n-1))=\frac{0,05n^2+4,95n}{2}$. Với $n=10$: $\frac{5+49,5}{2}\cdot ...$ tính $S_{10}=\frac{10}{2}(5+0,45)=27,25$ triệu; $S_{11}=\frac{11}{2}(5+0,5)=30,25$ triệu; $S_{12}=\frac{12}{2}(5+0,55)=33,3$ triệu $\ge 31$. Vậy cần ít nhất 12 tháng. (Lưu ý: phương trình $n^2+99n-620\ge 0$ cho $n\ge 5,91$ là sai vì rút gọn nhầm; phương trình đúng là $0,05n^2+4,95n\ge 62\iff n^2+99n-1240\ge 0$, $n\ge \frac{-99+\sqrt{9801+4960}}{2}=\frac{-99+\sqrt{14761}}{2}\approx \frac{-99+121,49}{2}\approx 11,25$, nên $n=12$.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=2^{n-1}$ (cấp số nhân công bội 2, số hạng đầu 1) và $v_n=-2n-21$ là cấp số cộng công sai $-2$.

a) Sai: $u_n=2^{n-1}\to +\infty$ khi $n\to +\infty$ nên dãy không bị chặn trên.

b) Sai: $v_{n+1}-v_n=-2$ (hằng số) nên $(v_n)$ là cấp số cộng công sai $-2$, không phải cấp số nhân.

c) Đúng: $v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.

d) Sai: với $k=1,\dots ,20$ ta có $u_k-u_{k+5}=2^{k-1}-2^{k+4}=2^{k-1}(1-32)=-31\cdot 2^{k-1}$, nên $\frac{1}{u_k-u_{k+5}}=\frac{-1}{31\cdot 2^{k-1}}$. Do đó $T=-\frac{1}{31}\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{2^{k-1}}=-\frac{1}{31}\cdot \frac{1-2^{-20}}{1-\frac{1}{2}}=-\frac{2}{31}\cdot \frac{2^{20}-1}{2^{20}}=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$.

Kết quả đúng là $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$, khác với khẳng định $\frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$ (tử số $31\ne 15$), nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2^{n-1}$ tăng không giới hạn nên không bị chặn trên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v_{n+1}-v_n=-2$ hằng số nên $(v_n)$ là cấp số cộng, không phải cấp số nhân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_k-u_{k+5}=-31\cdot 2^{k-1}$, tổng cấp số nhân cho $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}\ne \frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2a) Gọi cấp số cộng là $a_n=a_1+(n-1)d$ với $d>0$ (dãy tăng).

Từ $a_1+a_4+a_{10}=69$: $a_1+(a_1+3d)+(a_1+9d)=69\Rightarrow 3a_1+12d=69\Rightarrow a_1+4d=23$, suy ra $a_1=23-4d$.

Vì $a_1;a_2+1;a_3+14$ lập thành cấp số nhân nên $(a_2+1{)}^2=a_1(a_3+14)$, tức $(a_1+d+1{)}^2=a_1(a_1+2d+14)$. Khai triển: $a_1^2+2a_1(d+1)+(d+1{)}^2=a_1^2+2a_{1}d+14a_1\Rightarrow (d+1{)}^2=12a_1$.

Thay $a_1=23-4d$: $d^2+2d+1=276-48d\Rightarrow d^2+50d-275=0\Rightarrow d=5$ hoặc $d=-55$. Vì dãy tăng nên $d=5$, khi đó $a_1=23-20=3$.

Tổng 20 số hạng đầu: $S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=10(6+95)=1010$.

Câu 2b) Hàm số xác định tại $x=0$ với $f(0)=\frac{1}{6}$. Xét giới hạn bên phải và trái (cùng một biểu thức, xét $x\to 0$):
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{1/3}-1}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{1/2}-1}{x}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}.$$

(Với $t=1+x\to 1$: ${\lim }_{t\to 1}\frac{t^{\alpha }-1}{t-1}=\alpha$.)

Vì ${\lim }_{x\to 0}f(x)=-\frac{1}{6}\ne \frac{1}{6}=f(0)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=0$.

Gọi $u_n$ là số con gà có thể nuôi ở chuồng ấp thứ n. Do lồng ấp đầu tiên nuôi được 10 con gà và mỗi chuồng ấp tiếp theo sẽ tăng thêm 5 con gà nên dãy $(u_n)$ lập thành cấp số cộng với $$u_1=10;d=5;u_n=10+(n-1)\cdot 5=5n+5;(n\in N^{\ast }).$$ Để có thể ấp 1200 con gà thì tổng số con gà có thể nuôi trong n chuồng ấp đầu tiên phải từ 1200 con gà trở lên nên ta có bất phương trình: $$S_n\ge 1200\iff \frac{n\left(2\cdot 10+(n-1)\cdot 5\right)}{2}\ge 1200\iff 5n^2+15n-2400\ge 0\iff n\ge 20,46.$$ Vậy trang trại cần xây dựng ít nhất 21 chuồng ấp để có thể ấp 1200 con gà.

a) Sai. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.
b) Sai. Ta có: $u_{100}=10+99.3=307$.
c) Đúng. $\frac{3}{u_1{u}_2}+\frac{3}{u_2{u}_3}+\frac{3}{u_3{u}_4}+....+\frac{3}{u_{24}.u_{25}}\Rightarrow \frac{1}{10}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{79}-\frac{1}{82}=\frac{1}{10}-\frac{1}{82}=\frac{18}{205}$.
d) Đúng. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.
a) Sai. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.
b) Sai. Ta có: $u_{100}=10+99.3=307$.
c) Đúng. $\frac{3}{u_1{u}_2}+\frac{3}{u_2{u}_3}+\frac{3}{u_3{u}_4}+....+\frac{3}{u_{24}.u_{25}}\Rightarrow \frac{1}{10}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{79}-\frac{1}{82}=\frac{1}{10}-\frac{1}{82}=\frac{18}{205}$.
d) Đúng. $\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5=35\\ u_3+u_{10}=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2u_1+5d=35\\ 2u_1+11d=53\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=10\\ d=3\end{array}$.

Gọi $u_n$ là số con gà có thể nuôi ở chuồng ấp thứ n. Do lồng ấp đầu tiên nuôi được 10 con gà và mỗi chuồng ấp tiếp theo sẽ tăng thêm 5 con gà nên dãy $\left(u_n\right)$ lập thành cấp số cộng với $u_1=10;d=5;u_n=10+(n-1)5=5n+5;\left(n\in N^{\ast }\right)$. Để có thể ấp 1200 con gà thì tổng số con gà có thể nuôi trong n chuồng ấp đầu tiên phải từ 1200 con gà trở lên nên ta có bất phương trình: $$S_n\ge 1500\iff \frac{n\left(2.10+(n-1)5\right)}{2}\ge 1500\iff n\ge 23,04.$$ Vậy trang trại cần xây dựng ít nhất 24 chuồng ấp để có thể ấp 1500 con gà.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy lớn rộng $2,4m=240cm$ nên hàng dưới cùng chứa $240:10=24$ viên gạch. Đáy bé rộng $1,2m=120cm$ nên hàng trên cùng chứa $120:10=12$ viên gạch. Vì mỗi hàng phía trên ít hơn hàng dưới đúng 1 viên, số viên của các hàng từ trên xuống dưới lập thành cấp số cộng: $12,13,14,\dots ,24$, gồm $24-12+1=13$ hàng. Tổng số viên gạch cần đúc là: $$S=\frac{(12+24)\cdot 13}{2}=\frac{36\cdot 13}{2}=234.$$ Vậy cần đúc $234$ viên gạch hình vuông $10cm\times 10cm$ để ốp hết bức tường.

Ta đặt $u_1$ là số que điểm của tầng trên cùng của tòa tháp, $u_2$ là số que điểm của tầng kế tiếp tầng trên cùng. Tương tự ta đặt liên tiếp như vậy ta có $u_{70}$ là số que điểm của tầng dưới cùng của tòa tháp 70 tầng. Theo cách xếp ta có: $u_1=3;u_2=7;u_3=11;\dots$ dãy số này lập thành một cấp số cộng với $u_1=3$ và công sai $d=4$.
Số que điểm để làm được tòa tháp 70 tầng là tổng của 70 số hạng đầu của cấp số cộng trên. Ta có $S_{70}=\frac{70}{2}(2u_1+69d)=\frac{70}{2}(2.3+69.4)=9870$.
Vậy số que điểm để xếp tòa tháp 70 tầng là 9870 que điểm.

Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa!

Lời giải: $s_1=\frac{\pi }{8};s_2=\frac{\pi }{2}-s_1=\frac{3}{8}\pi ;...;s_n=\frac{n^2}{8}\pi -\frac{(n-1{)}^2}{8}\pi =\frac{\pi }{8}(2n-1);...$ (0,25 điểm)

$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có: $s_{n+1}-s_n=\frac{\pi }{4}$. Vậy dãy số $(s_n)$ là một cấp số cộng. (0,25 điểm)

$s_1=\frac{\pi }{8};d=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S_{2024}=1012\left(\frac{\pi }{4}+2023\cdot \frac{\pi }{4}\right)=512072\pi$. (2 x 0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Lời giải: $s_1=\frac{\pi }{8};s_2=\frac{\pi }{2}-s_1=\frac{3}{8}\pi ;...;s_n=\frac{n^2}{8}\pi -\frac{(n-1{)}^2}{8}\pi =\frac{\pi }{8}(2n-1);...$ (0,25 điểm)

$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có: $s_{n+1}-s_n=\frac{\pi }{4}$. Vậy dãy số $(s_n)$ là một cấp số cộng. (0,25 điểm)

$s_1=\frac{\pi }{8};d=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S_{2024}=1012\left(\frac{\pi }{4}+2023\cdot \frac{\pi }{4}\right)=512072\pi$. (2 x 0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_1=a$, công sai $d$. Ta có $u_2-u_3+u_5=(a+d)-(a+2d)+(a+4d)=a+3d=7$ và $u_1+u_6=2a+5d=12$. Từ phương trình đầu $a=7-3d$, thay vào: $2(7-3d)+5d=12\Rightarrow 14-d=12\Rightarrow d=2$, suy ra $a=1$. Vậy $u_{100}=u_1+99d=1+99\cdot 2=199$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (199).

(AI giải đề cho tôi)
Mức phạt ngày thứ $n$ là số hạng thứ $n$ của cấp số cộng với $u_1=4000$, $d=1000$: $u_n=4000+(n-1)\cdot 1000=1000n+3000$. Tổng tiền phạt sau $n$ ngày: $S_n=\frac{n}{2}(2\cdot 4000+(n-1)\cdot 1000)=\frac{n(1000n+7000)}{2}=500n^2+3500n$. Yêu cầu $S_n\le 165000$: $500n^2+3500n-165000\le 0\iff n^2+7n-330\le 0$. Phương trình $n^2+7n-330=0$ có nghiệm $n=\frac{-7\pm \sqrt{49+1320}}{2}=\frac{-7\pm 37}{2}$, tức $n=15$ hoặc $n=-22$. Vậy $n\le 15$, số ngày tối đa công ty có thể trì hoãn là $15$ ngày (kiểm tra: $S_{15}=\frac{15}{2}(8000+14000)=165000$ đúng bằng ngân sách). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 22 = 15).

* $\{\begin{array}{l}7\left(u_1+6d\right)-3\left(u_1+2d\right)=84\\ \left(u_1+d\right)+5\left(u_1+3d\right)=12\end{array}$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}4u_1+36d=84\\ 6u_1+16d=12\end{array}$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}{u}_1=-6\\ d=3\end{array}$ — 0,25

* $S_{11}=11u_1+\frac{11.10}{2}.d=99$ — 0,25

Gọi ba số đó theo thứ tự là $a;b;c$.
Ta có: $a+c=2b$ ; $a+b+c=21$
Và $(a+2)(c+9)=(b+3{)}^2$.
Giải hệ được: $a=3;b=7;c=11$ hoặc $a=18;b=7;c=-4$

Thang điểm: + Thay đúng: 0,25 đ; + Tìm đúng: 0,25 đ; + Tính đúng: 0,25 đ.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16. b) Đúng: dãy số tam giác là tổng cấp số cộng số hàng đầu 1, công sai 1, nên $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$. c) Sai: với 6 người thì $n+1=6\Rightarrow n=5$, số lần bắt tay là $S_5=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần; công thức $\frac{6\cdot 7}{2}=21$ áp dụng cho 7 người. d) Đúng: $T_n+T_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2$, tức số viên bi bằng tổng hai số tam giác liên tiếp xếp được hình vuông cạnh $n$ (như $16=10+6$, $25=15+10$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số cộng với $u_1=1$, $d=1$: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
6 người thì $n=5$, số bắt tay $=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần, không phải 21.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T_n+T_{n-1}=n^2$, xếp được hình vuông cạnh $n$ viên bi.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ:
$9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$.
$2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10$.
Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$; suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $u_{33}=3\cdot 33-4=95$. Tổng $S_{33}=\frac{33(u_1+u_{33})}{2}=\frac{33(-1+95)}{2}=33\cdot 47=1551$.

4) $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$, công sai $d=3$.
$T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.