Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\frac{n}{2}\left(6+4(n-1)\right)=\frac{n}{2}(4n+2)=n(2n+1)$. Theo đề $S_n=300$ nên $2n^2+n-300=0$. Biệt thức $\Delta =1+2400=2401=49^2$, do đó $n=\frac{-1+49}{4}=12$ (nhận, vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; nghiệm $n=-12,5$ loại). Vậy $n=12$, chọn đáp án D. Kiểm tra: $S_{12}=12\cdot 25=300$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát hình: tháp 1 tầng cần 3 que (2 que đứng + 1 que ngang); tháp 2 tầng cần 10 que (tầng dưới 4 que đứng + 3 que ngang = 7, tầng trên 3 que); tháp 3 tầng cần 21 que (3 + 7 + 11). Vậy tầng thứ $k$ (tính từ dưới lên) cần $2k+(2k-1)=4k-1$ que. Tổng số que cho tháp $n$ tầng là ${\sum }_{k=1}^n(4k-1)=4\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=2n^2+n$. Với $n=11$: $2\cdot 121+11=253$ que. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng năm số hạng đầu: $S_5=\frac{5[2u_1+4d]}{2}=\frac{5[2(-1)+4\cdot 3]}{2}=\frac{5\cdot 10}{2}=25$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 6, MD0911: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-2$, công sai $d=1-(-2)=3$. Số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5$. Giải $3n-5=325\Rightarrow 3n=330\Rightarrow n=110$. Vậy 325 là số hạng thứ 110 của cấp số cộng, vì thay $n=110$ vào công thức số hạng tổng quát ta được đúng $u_{110}=3\cdot 110-5=325$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 100 số hạng đầu: $S_{100}=\frac{100}{2}\left(2u_1+99d\right)=50\left(2\cdot 4+99\cdot (-5)\right)=50(8-495)=50\cdot (-487)=-24350$. Vậy đáp án B.

Đáp án theo bảng đáp án chính thức (mã đề 6789, PHẦN II câu 1): ĐĐSD. Cấp số cộng có $u_2=6,u_3=2$ nên $d=u_3-u_2=-4$; $u_1=u_2-d=10$; $u_n=-4n+14$ (không phải $-4n+6$); $S_{15}=\frac{15}{2}(u_1+u_{15})=-270$.
a) Đúng. $d=u_3-u_2=2-6=-4$.
b) Đúng. $u_1=u_2-d=6-(-4)=10$.
c) Sai. $u_n=u_1+(n-1)d=10-4(n-1)=-4n+14$, không phải $-4n+6$.
d) Đúng. $S_{15}=\frac{15}{2}(u_1+u_{15})=\frac{15}{2}(10+(10-4\cdot 14))=\frac{15}{2}(10-46)=\frac{15}{2}\cdot (-36)=-270$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng với $u_2=2,u_3=6$ nên công sai $d=u_3-u_2=4$, do đó ý a) $d=3$ là Sai. Số hàng đầu $u_1=u_2-d=2-4=-2$, ý b) Đúng. Số hàng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$, ý c) Đúng. Tổng 20 số hàng đầu: $S_{20}=\frac{20}{2}(u_1+u_{20})=10\left(-2+(80-6)\right)=10\cdot 72=720$, ý d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_3-u_2=6-2=4\ne 3$ nên ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=u_2-d=2-4=-2$ nên ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$ nên ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=4\cdot 20-6=74$, $S_{20}=\frac{20}{2}(-2+74)=720$ nên ý d) Đúng.

Theo bảng đáp án nguồn (trang 17, mã đề 2345, PHẦN II câu 2): ĐĐSD.
- a) Đúng: $d=u_3-u_2=2-6=-4$.
- b) Đúng: $u_1=u_2-d=6-(-4)=10$.
- c) Sai: $u_n=u_1+(n-1)d=10-4(n-1)=-4n+14$, không phải $-4n+6$.
- d) Đúng: $S_{15}=\frac{15}{2}(2\cdot 10+14\cdot (-4))=-270$.
a) $d=u_3-u_2=2-6=-4$. Đúng.
b) $u_1=u_2-d=6-(-4)=10$. Đúng.
c) $u_n=u_1+(n-1)d=10-4(n-1)=-4n+14\ne -4n+6$. Sai.
d) $S_{15}=\frac{15}{2}\left(2u_1+14d\right)=\frac{15}{2}(20-56)=\frac{15}{2}(-36)=-270$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng với $u_2=2,u_3=6$ nên công sai $d=u_3-u_2=6-2=4$, do đó ý a) $d=3$ là Sai. Số hàng đầu $u_1=u_2-d=2-4=-2$, ý b) Đúng. Số hàng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$, ý c) Đúng. Tổng 20 số hàng đầu: $S_{20}=\frac{20(u_1+u_{20})}{2}$ với $u_{20}=4\cdot 20-6=74$, nên $S_{20}=10(-2+74)=720$, ý d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_3-u_2=6-2=4\ne 3$, nên ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=u_2-d=2-4=-2$, ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$, ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=74$, $S_{20}=\frac{20(-2+74)}{2}=720$, ý d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai của cấp số cộng là $d=u_2-u_1=10-5=5$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Số quả ở 20 giỏ lập thành cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$ không đổi. Theo đề: $u_4+u_{17}=42$.

Ta có $u_4=u_1+3d$ và $u_{17}=u_1+16d$, nên:
$$u_4+u_{17}=2u_1+19d=42.$$

Tổng số quả trong 20 giỏ là:
$$S_{20}=\frac{20}{2}(u_1+u_{20})=10(2u_1+19d).$$

Vì $u_1+u_{20}=2u_1+19d=42$ (tính chất tổng hai số hạng cách đều hai đầu của cấp số cộng), suy ra:
$$S_{20}=10\cdot 42=420.$$

Vậy Minh đã bỏ tất cả $420$ quả óc chó vào các giỏ.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_2=u_1+d=-1+3=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy A: $1-(-2)=3$, $4-1=3$, $7-4=3$, $10-7=3$: hiệu các số hạng liên tiếp không đổi bằng 3, nên là cấp số cộng công sai $d=3$. Dãy B: là cấp số nhân công bội 2, không phải cấp số cộng. Dãy C: $4-1=3$ nhưng $9-4=5$, loại. Dãy D: $5-2=3$, $8-5=3$ nhưng $10-8=2$, loại. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, công sai $d=5-2=3$. Suy ra $u_n=u_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1$. Kiểm tra: $u_1=2$, $u_2=5$, $u_3=8$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 26: 1) $T_2=T_1+18=150+18=168$; $T_3=T_2+18=168+18=186$. Vậy lương năm thứ 3 là $186$ triệu đồng. 2) Với mọi $n\ge 2$, ta có $T_n-T_{n-1}=18>0$, nên $T_n>T_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$. Do đó dãy số $\left(T_n\right)$ là dãy số tăng. (Thực chất $\left(T_n\right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $T_1=150$ và công sai $d=18>0$, nên là dãy tăng; số hạng tổng quát $T_n=150+18(n-1)=18n+132$.)

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $u_{n+1}-u_n=(3-2(n+1))-(3-2n)=3-2n-2-3+2n=-2$ (không phụ thuộc $n$). Do đó dãy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-2$. Số hạng đầu: $u_1=3-2\cdot 1=1$. Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=1$, $d=-2$, công thức tổng quát $u_n=1+(n-1)(-2)=3-2n$ (khớp với đề bài).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 28: Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=-3$, $d=5$.

a) Công thức số hạng tổng quát:
$$u_n=u_1+(n-1)d=-3+5(n-1)=5n-8,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

b) Giải phương trình $u_n=492$:
$$5n-8=492\Rightarrow 5n=500\Rightarrow n=100\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Vậy 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

c) Giải phương trình $u_n=300$:
$$5n-8=300\Rightarrow 5n=308\Rightarrow n=\frac{308}{5}=61,6\notin {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Vậy 300 không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có hệ: $u_5=u_1+4d=19$ và $u_9=u_1+8d=35$. Trừ hai phương trình: $4d=16$, suy ra $d=4$. Thay vào: $u_1=19-4\cdot 4=3$. Vậy số hàng đầu $u_1=3$ và công sai $d=4$. Kiểm tra: $u_5=3+4\cdot 4=19$ đúng, $u_9=3+8\cdot 4=35$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ với $u_n=0,3n+5$ là cấp số cộng vì $u_{n+1}-u_n=0,3$ (không đổi), công sai $d=0,3$.

Số hạng đầu: $u_1=0,3\cdot 1+5=5,3$.

Số hạng thứ 100: $u_{100}=0,3\cdot 100+5=35$.

Tổng 100 số hạng đầu:
$$S_{100}=\frac{100(u_1+u_{100})}{2}=50\cdot (5,3+35)=50\cdot 40,3=2015.$$

Vậy $S_{100}=2015$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp của mỗi dãy: A: $-3;-2;-2;-2$ (không đều). B: $-4;-3;-3;-3$ (không đều). C: $-4;-4;-4;-4$ (đều, nhưng dãy C là $1;-3;-7;-11;-15$: hiệu $-4,-4,-4,-4$ — đều!). Kiểm tra lại: $1\to -3$ là $-4$, $-3\to -7$ là $-4$, $-7\to -11$ là $-4$, $-11\to -15$ là $-4$. Vậy C cũng là cấp số cộng với công sai $-4$. D: $1\to -3$ là $-4$, $-3\to -5$ là $-2$ (không đều). Xem lại A: $1\to -2$ là $-3$, $-2\to -4$ là $-2$ (không đều). B: $1\to -3$ là $-4$, $-3\to -6$ là $-3$ (không đều). Vậy cả C và D... kiểm tra D kỹ hơn: $1;-3;-5;-7;-9$: hiệu là $-4,-2,-2,-2$, không đều. C có công sai đều $-4$, nên đáp án là C.