Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp của mỗi dãy: A: $-3-1=-4$, $-6-(-3)=-3$ (loại). B: $-3-1=-4$, $-5-(-3)=-2$ (loại). C: $-2-1=-3$, $-4-(-2)=-2$ (loại). D: $-3-1=-4$, $-7-(-3)=-4$, $-11-(-7)=-4$, $-15-(-11)=-4$, hiệu không đổi $d=-4$ nên đây là cấp số cộng. Đáp án D khớp với bảng đáp án (Mã đề 111, Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây sau $n$ hàng là $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n+1)}{2}=3003\Rightarrow n(n+1)=6006$. Thử $n=77$: $77\cdot 78=6006$ (thỏa mãn). Vậy số hàng cây được trồng là $77$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, Mã đề 111: 77).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=11$, $d=3$ nên $u_2=u_1+d=11+3=14$. Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 7, Mã đề 111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=1-2n$ nên $u_{n+1}-u_n=(1-2(n+1))-(1-2n)=-2$ không đổi với mọi $n$, vậy đây là cấp số cộng với công bội $d=-2$. B) $u_n=2^n$ là cấp số nhân (công bội 2), không phải cấp số cộng vì $u_{n+1}-u_n=2^n$ thay đổi. C) $u_n=3n^2+1$: hiệu $u_{n+1}-u_n=6n+3$ thay đổi theo $n$, không phải cấp số cộng. D) $u_n=\frac{1}{n}$: hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{n(n+1)}$ thay đổi, không phải cấp số cộng. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số cây ở các hàng: 14, 16, 18, ... là cấp số cộng với $u_1=14$, công sai $d=2$. a) Đúng vì $u_{n+1}-u_n=2$ với mọi $n$. b) $u_{10}=u_1+9d=14+18=32\ne 35$ nên Sai. c) Hàng cuối là hàng thứ 26: $u_{26}=u_1+25d=14+50=64\ne 62$ nên Sai. d) Tổng số cây $S_{26}=\frac{26(14+64)}{2}=13\cdot 78=1014\ne 1004$ nên Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ, S, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cây mỗi hàng: 14, 16, 18, ... hiệu hai hàng liên tiếp bằng 2 nên lập thành cấp số cộng công sai $d=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=u_1+9d=14+9\cdot 2=32$ cây, không phải 35.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng cuối (hàng 26): $u_{26}=14+25\cdot 2=64$ cây, không phải 62.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{26}=\frac{26(14+64)}{2}=1014$ cây, không phải 1004.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=n^2$: $u_{n+1}-u_n=2n+1$ không phải hằng số, không là cấp số cộng. B) $u_n=3^n$: là cấp số nhân công bội 3, không là cấp số cộng. C) $u_n=3n+1$: $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ là hằng số, nên đây là cấp số cộng với công sai $d=3$. D) $u_n=\frac{1}{n}$: hiệu $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}$ không hằng số. Vậy dãy là cấp số cộng là $u_n=3n+1$, khớp đáp án nguồn (đề 101, Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số cây ở các hàng: 15, 18, 21, ... là cấp số cộng với u1 = 15, công sai d = 3, số hàng n = 24.
a) Đúng: hàng sau hơn hàng trước 3 cây nên d = 3.
b) Sai: u10 = 15 + 9·3 = 42 cây, không phải 45.
c) Đúng: u24 = 15 + 23·3 = 84 cây.
d) Đúng: S24 = 24(15 + 84)/2 = 24·99/2 = 1188 cây.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 3 cây nên dãy 15, 18, 21, ... là cấp số cộng với công sai d = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
u10 = 15 + 9·3 = 42 cây, không phải 45 cây.
c) (AI giải đề cho tôi)
u24 = 15 + 23·3 = 84 cây.
d) (AI giải đề cho tôi)
S24 = 24(15 + 84)/2 = 1188 cây.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị máy tính theo năm tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=24$ (triệu đồng) và công sai $d=-3$ (mỗi năm giảm 3 triệu đồng). Giá trị còn lại sau 6 năm là $u_7=u_1+6d=24+6\cdot (-3)=24-18=6$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0102: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thỏa mãn $u_{n+1}=u_n+d$ với mọi $n\ge 1$. Suy ra $u_n=u_1+(n-1)d$ với $n\ge 2$. Kiểm tra: với $n=2$, $u_2=u_1+d$ đúng. Phương án A sai vì $u_1+(n+1)d=u_{n+2}$; phương án B sai vì $u_{n-1}+(n-1)d$ không đúng (đúng phải là $u_n=u_{n-1}+d$); phương án D sai. Đáp án trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị máy tính theo năm lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=24$ (triệu đồng), công sai $d=-3$ (triệu đồng/năm). Giá trị còn lại sau 6 năm là $u_7=24+6\cdot (-3)=24-18=6$ (triệu đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 0101: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n=u_1+(n-1)d$ với $n\ge 2$ (thực tế đúng với mọi $n\ge 1$). Kiểm tra: với $n=1$ ta được $u_1$; hiệu $u_{n+1}-u_n=d$ nên đây là cấp số cộng công sai $d$. Các phương án khác sai: A cho $u_2=2u_1-d\ne u_1+d$ (trừ khi $u_1=2d$); B cho $u_2=u_1+2d\ne u_1+d$; D cho $u_2=u_1+d$ đúng nhưng $u_3=u_2+2d=u_1+3d\ne u_1+2d$, sai. Đáp án trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 0101: C).

Chọn D (theo thứ tự phương án của nguồn giải, tương ứng phương án C của đề). Ta có $u_5=u_1+4d\Rightarrow 5=-3+4d\Rightarrow d=2$. (Đáp án $d=2$ được gạch chân trong nguồn giải.)

Chọn B. Ta có: $u_5=u_1+4d=3+4.(-4)=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=6$, $u_7=-2$. Ta có $u_7-u_3=4d=-8$ nên $d=-2$. Suy ra $u_1=u_3-2d=6-2(-2)=10$. Vậy $u_1=10$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (đề 1002, câu 12 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=6$, $u_7=-2$. Ta có $u_7=u_3+4d\Rightarrow -2=6+4d\Rightarrow d=-2$. Suy ra $u_1=u_3-2d=6-2(-2)=10$. Vậy $u_1=10$, khớp với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=5$, $d=\frac{1}{2}$. Số hạng thứ 10: $u_{10}=u_1+9d=5+9\cdot \frac{1}{2}=5+4,5=9,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 9,5.

Vì hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 1 cây, nên tạo ra cấp số cộng có $n$ số hạng và $u_1=1;d=1;S_n=5050$. Ta cần tìm $n$.
Áp dụng công thức
$$S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right](n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2)$$
$$\Rightarrow 5050=\frac{n}{2}\left[2+(n-1)\right]$$
$$\Rightarrow 10100=n(n+1)$$
$$\Rightarrow n^2+n-10100=0$$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}n=100\text{ (nhận)}\\ n=-101\text{ (loại)}\end{array}$$
Vậy vườn cây có 100 hàng cây.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu các số hạng liên tiếp của mỗi dãy:
- A: $1;2;4;6;8$: $2-1=1$ nhưng $4-2=2$, hiệu không không đổi → không phải cấp số cộng.
- B: $1;0;-1;-3;-4$: $0-1=-1$, $-1-0=-1$, nhưng $-3-(-1)=-2$ → không phải cấp số cộng.
- C: $1;\frac{1}{2};0;-\frac{1}{2};-1$: các hiệu đều bằng $-\frac{1}{2}$ → đây là cấp số cộng với công sai $d=-\frac{1}{2}$.
- D: $1;-1;-3;-4$: $-1-1=-2$, $-3-(-1)=-2$, nhưng $-4-(-3)=-1$ → không phải cấp số cộng.
Vậy chỉ dãy ở phương án C là cấp số cộng, khớp với đáp án nguồn (Câu 7, Mã đề 132: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số cây ở hàng thứ $n$ là $n$, tổng số cây sau $n$ hàng là $\frac{n(n+1)}{2}$. Ta có $\frac{n(n+1)}{2}=465\iff n(n+1)=930\iff n=30$ (vì $30\cdot 31=930$). Vậy khu vườn có 30 hàng cây, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=3+5=8$. $u_2=S_2=12+10=22$, nên $d=u_2-u_1=22-8=14$? Kiểm tra lại: $S_2=3\cdot 4+10=22$, $d=14$. Nhưng với cấp số cộng thì $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(u_1-\frac{d}{2})n$, so sánh: $\frac{d}{2}=3\Rightarrow d=6$, $u_1-3=5\Rightarrow u_1=8$. Mâu thuẫn vì $S_n=3n^2+5n$ không phải tổng cấp số cộng với $d=6$? Thực ra $u_n=S_n-S_{n-1}=6n+2$, là cấp số cộng công sai $d=6$, $u_1=8$. Vậy $u_1=8;d=6$, chọn B.