Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lương tháng là cấp số cộng với $u_1=6$ (triệu đồng), công sai $d=0,2$ triệu đồng. Tháng thứ 7: $u_7=u_1+6d=6+6\cdot 0,2=7,2$ triệu đồng. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$; $u_{50}=2-450=-448$. Tổng $u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50(u_1+u_{50})}{2}=\frac{50(-7-448)}{2}=25\cdot (-455)=-11375$.

3) $u_{15}=2-135=-133$; $u_{45}=2-405=-403$. Số số hạng từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ là $45-15+1=31$. Do đó $S=\frac{31(u_{15}+u_{45})}{2}=\frac{31(-133-403)}{2}=\frac{31\cdot (-536)}{2}=31\cdot (-268)=-8308$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10. Chiều cao của đứa trẻ $n$ tuổi: $x_n=75+5(n-1)$ (cm).

1) Khi trẻ 9 tuổi, ta có $n=9$:
$$x_9=75+5(9-1)=75+40=115\text{ (cm).}$$
Vậy chiều cao của đứa trẻ phát triển bình thường khi 9 tuổi là $115$ cm.

2) Ta có $x_1=75$ và với mọi $n\ge 1$:
$$x_{n+1}-x_n=\left[75+5n\right]-\left[75+5(n-1)\right]=5.$$
Vậy hiệu $x_{n+1}-x_n$ không đổi bằng 5, do đó dãy số $(x_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $x_1=75$ và công sai $d=5$.

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên đúng bằng công sai của cấp số cộng, tức là $5$ cm mỗi năm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thêm điều kiện vào hệ:
$9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$.
$2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10\Rightarrow u_1=3d-10$.
Thay vào phương trình đầu: $8(3d-10)+3d=1\Rightarrow 27d=81\Rightarrow d=3$, suy ra $u_1=3\cdot 3-10=-1$.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $S_{33}=\frac{33\left(u_1+u_{33}\right)}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$: $S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) $T=u_{33}+\dots +u_{55}$ là tổng của cấp số cộng mới gồm $55-33+1=23$ số hạng, số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$: $T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

Kết luận: $u_1=-1$, $d=3$; $u_n=3n-4$; $u_1+\dots +u_{33}=1551$; $T=2944$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$; $u_{50}=2-450=-448$. Tổng $u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50(u_1+u_{50})}{2}=25\cdot (-7-448)=25\cdot (-455)=-11375$.

3) $u_{15}=2-135=-133$; $u_{45}=2-405=-403$. Số số hạng từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ là $45-15+1=31$. Vậy $S=\frac{31(u_{15}+u_{45})}{2}=\frac{31(-133-403)}{2}=\frac{31\cdot (-536)}{2}=31\cdot (-268)=-8308$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 2102: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (ĐSĐS).

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế theo các dãy lập thành cấp số cộng với $u_1=20$, công sai $d=4$, số hạng $n=40$. Tổng số ghế: $S_{40}=\frac{40}{2}\left[2\cdot 20+(40-1)\cdot 4\right]=20\left(40+156\right)=20\cdot 196=3920$. Vậy khán phòng có tất cả 3920 ghế, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 2: 3920).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công sai là $d$. Ta có $u_2-u_3+u_5=(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=u_1+3d=10$ và $u_4+u_6=(u_1+3d)+(u_1+5d)=2u_1+8d=26$, suy ra $u_1+4d=13$. Trừ hai phương trình: $d=3$, suy ra $u_1=1$. Dãy $u_1,u_4,u_7,\dots ,u_{2011}$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=1$ và công sai $3d=9$; số hạng tử $n$ thỏa $u_{3k+1}=1+9k$, với $u_{2011}=1+9\cdot 670=6031$ nên có $671$ số hạng. Do đó $S=\frac{671(1+6031)}{2}=671\cdot 3016=2023736$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S_{50}=\frac{50(2u_1+49d)}{2}=25(10+49d)=5150$ suy ra $10+49d=206$, tức $d=4$. a) $u_{85}=5+84\cdot 4=341$ → Đúng. b) $S_{85}=\frac{85(2\cdot 5+84\cdot 4)}{2}=\frac{85\cdot 346}{2}=85\cdot 173=14705$ → Đúng. c) Công sai $d=4\ne 6$ → Sai. d) $u_{10}=5+9\cdot 4=41\ne 42$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 2101 (ĐĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $d=4$: $u_{85}=u_1+84d=5+336=341$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{85}=\frac{85(10+336)}{2}=85\cdot 173=14705$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $S_{50}=25(10+49d)=5150$ suy ra $d=4$, không phải 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=5+9\cdot 4=41\ne 42$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=a$, công sai $d$. Theo đề: $u_1+u_7=30\Rightarrow a+(a+6d)=30\Rightarrow 2a+6d=30\Rightarrow a+3d=15$. Tổng số hạng thứ ba và thứ sáu: $u_3+u_6=(a+2d)+(a+5d)=2a+7d=35$. Trừ hai phương trình: $(2a+7d)-(2a+6d)=35-30\Rightarrow d=5$. Suy ra $a=15-3\cdot 5=0$. Vậy số hạng thứ bảy $u_7=a+6d=0+30=30$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ cho từng dãy:
- A: $u_n=3^n$, $u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- B: $u_n=3+n^2$, $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- C: $u_n=3^n+1$, $u_{n+1}-u_n=2\cdot 3^n$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- D: $u_n=1-3n$, $u_{n+1}-u_n=[1-3(n+1)]-(1-3n)=-3$ không đổi, nên đây là cấp số cộng với công sai $d=-3$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2101, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3-2n$ thì $u_{n+1}-u_n=(3-2(n+1))-(3-2n)=-2$ không đổi, nên đây là cấp số cộng với công sai $d=-2$. B) $u_n=2^n+3$: hiệu $u_{n+1}-u_n=2^n$ thay đổi theo $n$, không phải cấp số cộng. C) $u_n=3\cdot 2^n$: hiệu $u_{n+1}-u_n=3\cdot 2^n$ thay đổi, không phải cấp số cộng (đây là cấp số nhân). D) $u_n=2+n^3$: hiệu $(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1$ thay đổi, không phải cấp số cộng. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số cộng, $u_4+u_{16}=(u_{10}-6d)+(u_{10}+6d)=2u_{10}$. Do đó $2u_{10}=48\Rightarrow u_{10}=24$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=3$, $d=-2$. a) $u_2=u_1+d=3+(-2)=1\ne 5$ nên Sai. b) Giải $3+(n-1)(-2)=-25\Rightarrow -2(n-1)=-28\Rightarrow n=15$, là số nguyên dương nên $-25=u_{15}$, Đúng. c) $u_n=u_1+(n-1)d=3-2(n-1)=5-2n\ne 2n-5$ nên Sai. d) Bốn số hạng đầu là $3;1;-1;-3$, tổng $=0$, Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=3-2=1\ne 5$ nên mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=3-2(n-1)=-2n+5$. Cho $u_n=-25$: $-2n+5=-25\Rightarrow n=15$, nên $-25=u_{15}$ là số hạng của cấp số cộng, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=3-2(n-1)=5-2n\ne 2n-5$ nên mệnh đề Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3,u_2=1,u_3=-1,u_4=-3$, tổng $3+1-1-3=0$, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=3$, $d=-2$ nên $u_n=3+(n-1)(-2)=5-2n$. a) $u_n=2n-5$ là sai (đúng phải là $u_n=5-2n$). b) $u_1+u_2+u_3+u_4=3+1+(-1)+(-3)=0$, đúng. c) $u_2=5-2\cdot 2=1\ne 5$, sai. d) $5-2n=-25\iff n=15\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $-25=u_{15}$ là số hạng của cấp số cộng, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=3+(n-1)(-2)=5-2n$, khác $2n-5$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3$, $u_2=1$, $u_3=-1$, $u_4=-3$, tổng bằng $3+1-1-3=0$, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=3+(-2)=1\ne 5$, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $5-2n=-25$ được $n=15$, là số nguyên dương, nên $-25=u_{15}$ là số hạng của cấp số cộng, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ cho từng dãy:
- A: $u_n=2^n+3$, $u_{n+1}-u_n=2^n$ không phải hằng số.
- B: $u_n=3\cdot 2^n$, $u_{n+1}-u_n=3\cdot 2^n$ không phải hằng số (đây là cấp số nhân).
- C: $u_n=3-2n$, $u_{n+1}-u_n=(3-2n-2)-(3-2n)=-2$ là hằng số, nên dãy là cấp số cộng với công sai $d=-2$.
- D: $u_n=2+n^3$, $u_{n+1}-u_n=3n^2+3n+1$ không phải hằng số.
Vậy dãy ở phương án C là cấp số cộng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số cộng, $u_4+u_{16}=2u_{10}=48$ (vì $4+16=2\cdot 10$), suy ra $u_{10}=24$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây sau $n$ hàng là $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=465$, suy ra $n(n+1)=930$. Vì $30\cdot 31=930$ nên $n=30$. Vậy số hàng cây là 30, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Phần III Câu 2: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp của mỗi dãy: A: $1;1;1;1;1$ có công sai $d=0$ → cấp số cộng. B: $3;1;-1;-2;-4$ có các hiệu $1-3=-2$, $-1-1=-2$, $-2-(-1)=-1$, $-4-(-2)=-2$; vì $-2-(-1)=-1\ne -2$ nên dãy không phải cấp số cộng. C: $-8;-6;-4;-2;0$ có công sai $d=2$ → cấp số cộng. D: $\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}$ có công sai $d=1$ → cấp số cộng. Vậy dãy không phải cấp số cộng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=9$, $d=2$ nên $u_2=u_1+d=9+2=11$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án (Mã đề 122, Câu 9: C).