Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=-4$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=2+(n-1)(-4)=6-4n$ với $n\ge 1$.
a) $u_4=6-4\cdot 4=-10$ → Đúng.
b) $u_2=6-8=-2<0$, không phải số dương → Sai.
c) $u_{11}=6-44=-38\ne -40$ → Sai.
d) $u_n=6-4n$, $n\ge 1$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0111: D, S, S, D.
a) $u_4=2+3(-4)=-10$.
b) $u_2=2+(-4)=-2<0$, là số âm.
c) $u_{11}=2+10(-4)=-38\ne -40$.
d) $u_n=2+(n-1)(-4)=6-4n$, $n\ge 1$.

Gọi $u_n$ là số tiền lương nhận được vào năm thứ $n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
Ta có $u_1=200$, $u_n=u_{n-1}+25,n\ge 2$.
Do đó $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=25$
Tổng số tiền lương mà anh Thanh nhận được sau sáu năm làm việc cho công ty đó là $S_6=6.200+\frac{6.5}{2}.25=1575$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10. Cho $x_n=75+5(n-1)$.

1) Khi trẻ 9 tuổi, $n=9$: $x_9=75+5(9-1)=75+40=115$ (cm).

2) Ta có $x_{n+1}-x_n=[75+5n]-[75+5(n-1)]=5$ không phụ thuộc $n$, nên dãy số $(x_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $x_1=75$ và công sai $d=5$.

Vì mỗi năm chiều cao tăng đúng một lượng bằng công sai $d=5$, nên trung bình một năm chiều cao của mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên $5$ centimet.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$. Tổng 50 số hạng đầu:
$$u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50\left[2u_1+49d\right]}{2}=25\left[2(-7)+49(-9)\right]=25(-14-441)=25\cdot (-455)=-11375.$$

3) $u_{15}=2-9\cdot 15=-133$; $u_{45}=2-9\cdot 45=-403$. Dãy từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ có $45-15+1=31$ số hạng và cũng là cấp số cộng công sai $-9$, nên:
$$S=\frac{31(u_{15}+u_{45})}{2}=\frac{31(-133-403)}{2}=\frac{31\cdot (-536)}{2}=31\cdot (-268)=-8308.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Cho $x_n=75+5(n-1)$.

1) Khi trẻ 9 tuổi, ta có $n=9$:
$$x_9=75+5(9-1)=75+40=115\text{ (cm).}$$
Vậy chiều cao của đứa trẻ khi 9 tuổi là $115$ cm.

2) Ta có $x_1=75$ và với $n\ge 1$:
$$x_{n+1}-x_n=\left[75+5n\right]-\left[75+5(n-1)\right]=5\text{ (khoˆng phụ thuộc }n).$$
Vậy dãy số $(x_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $x_1=75$ và công sai $d=5$.

Trung bình mỗi năm, chiều cao của đứa trẻ tăng lên đúng bằng công sai của cấp số cộng, tức là $5$ cm/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ:
- $9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$
- $2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10$

Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$. Suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$. Thử lại: $8(-1)+3(3)=1$ đúng.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $S_{33}=\frac{33(u_1+u_{33})}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$: $S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) $T=u_{33}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, $u_{33}=95$, $u_{55}=3\cdot 55-4=161$:
$T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ:
$9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$.
$2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10$.
Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$; suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $u_{33}=3\cdot 33-4=95$. Tổng $S_{33}=\frac{33(u_1+u_{33})}{2}=\frac{33(-1+95)}{2}=33\cdot 47=1551$.

4) $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$, công sai $d=3$.
$T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Theo đề: $u_1+u_4=36\Rightarrow 2u_1+3d=36$ và $u_2+u_5=44\Rightarrow 2u_1+5d=44$. Trừ hai phương trình: $2d=8\Rightarrow d=4$, suy ra $2u_1=36-12=24\Rightarrow u_1=12$. Do đó: a) Sai vì $u_1=12\ne 11$. b) $u_5=u_1+4d=12+16=28$, nên $u_1+u_5=12+28=40$ — Đúng. c) $u_2=u_1+d=12+4=16$ — Đúng. d) $u_3=u_1+2d=20$, tổng ba số hạng đầu $=12+16+20=48\ne 45$ — Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ hệ $2u_1+3d=36$, $2u_1+5d=44$ suy ra $d=4$, $u_1=12\ne 11$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_1+4d=12+16=28$, nên $u_1+u_5=12+28=40$ — đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=12+4=16$ — đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1+u_2+u_3=12+16+20=48\ne 45$ nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(8+19d)=460$ suy ra $8+19d=46$, tức $d=2$. Vậy a đúng. Khi đó $u_4=u_1+3d=4+6=10\ne 8$ nên b sai. $S_{10}=\frac{10}{2}(2\cdot 4+9\cdot 2)=5\cdot 26=130\ne 120$ nên c sai. $S_8=\frac{8}{2}(8+7\cdot 2)=4\cdot 22=88$, $S_4=\frac{4}{2}(8+3\cdot 2)=2\cdot 14=28$, nên $S_8-S_4=60$ đúng. Lưu ý: tính lại $S_8=4(2u_1+7d)=4(8+14)=88$, $S_4=2(8+6)=28$, hiệu $=60$. Vậy d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=10(2u_1+19d)=10(8+19d)=460\Rightarrow 19d=38\Rightarrow d=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=u_1+3d=4+6=10\ne 8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=5(2\cdot 4+9\cdot 2)=5\cdot 26=130\ne 120$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_8=4(8+7\cdot 2)=88$, $S_4=2(8+3\cdot 2)=28$, nên $S_8-S_4=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cây mỗi hàng lập thành cấp số cộng: $u_1=1$, công sai $d=1$. Tổng số cây sau $n$ hàng là $S_n=\frac{n(n+1)}{2}=3240$, tức $n^2+n-6480=0$. Phương trình có nghiệm $n=\frac{-1+\sqrt{25921}}{2}=\frac{-1+161}{2}=80$ (nghiệm âm loại). Vậy có tất cả 80 hàng cây. Kiểm tra: $80\cdot 81/2=3240$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số tầng là $n$. Số đồng xu mỗi tầng lập thành cấp số cộng với $u_1=3809$, công sai $d=-120$. Tổng: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 3809+(n-1)(-120)\right)=60723$. Suy ra $n(7738-120n)=121446\Rightarrow 60n^2-3869n+60723=0$. Biệt thức $\Delta =3869^2-4\cdot 60\cdot 60723=395641=629^2$, nên $n=\frac{3869-629}{120}=27$ (nghiệm còn lại $n\approx 37.5$ loại). Vậy tháp có 27 tầng. Kiểm tra: $S_{27}=\frac{27}{2}(2\cdot 3809+26\cdot (-120))=\frac{27}{2}\cdot 4498=60723$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S_{100}=\frac{100}{2}(2u_1+99d)=24850$ với $u_1=1$ ta được $100+4950d=24850\Rightarrow d=5$, nên $u_n=5n-4$ (đều dương). Với mỗi số hạng: $\frac{1}{u_{n+1}\sqrt{u_n}+u_n\sqrt{u_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{u_n{u}_{n+1}}(\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n})}=\frac{\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n{u}_{n+1}}(u_{n+1}-u_n)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{\sqrt{u_n}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}\right)$ vì $u_{n+1}-u_n=5$. Do đó $S=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2025}}}\right)=\frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{\sqrt{10121}}\right)$ với $u_{2025}=5\cdot 2025-4=10121$. Vậy $a=5,b=10121$ và $P=-2024a+b=-10120+10121=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$. Tổng 50 số hạng đầu:
$$u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50}{2}\left[2u_1+49d\right]=25\left[2(-7)+49(-9)\right]=25(-14-441)=25\cdot (-455)=-11375.$$

3) $u_{15}=2-9\cdot 15=-133$; $u_{45}=2-9\cdot 45=-403$. Dãy từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ có $45-15+1=31$ số hạng và cũng là cấp số cộng công sai $-9$, nên:
$$S=\frac{31}{2}(u_{15}+u_{45})=\frac{31}{2}(-133-403)=\frac{31}{2}(-536)=31\cdot (-268)=-8308.$$

Vậy: công sai $d=-9$; $u_1+\dots +u_{50}=-11375$; $S=-8308$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Cho $x_n=75+5(n-1)$.

1) Khi trẻ 9 tuổi, thay $n=9$: $x_9=75+5(9-1)=75+40=115$ (cm).

Vậy chiều cao của đứa trẻ khi 9 tuổi là $115$ cm.

2) Ta có $x_n=75+5(n-1)=70+5n$, nên với mọi $n\ge 1$:
$$x_{n+1}-x_n=[70+5(n+1)]-(70+5n)=5.$$
Vì hiệu $x_{n+1}-x_n$ không đổi và bằng 5 với mọi $n$, dãy số $(x_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $x_1=75$ và công sai $d=5$.

Do đó trung bình mỗi năm, chiều cao của mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên $5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ phương trình:
- $9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$.
- $2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10$, suy ra $u_1=3d-10$.

Thế vào phương trình đầu: $8(3d-10)+3d=1\Rightarrow 27d=81\Rightarrow d=3$, suy ra $u_1=3\cdot 3-10=-1$.

Vậy $u_1=-1$, $d=3$.

2) Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) Tổng 33 số hạng đầu: $S_{33}=\frac{33\left(u_1+u_{33}\right)}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$. Vậy $S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) Tổng $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$. Vậy $T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 9.** Cho $u_n=2-9n$.

**1) Chứng minh cấp số cộng, tìm công sai:**
Với mọi $n\ge 1$:
$$u_{n+1}-u_n=(2-9(n+1))-(2-9n)=-9.$$
Vậy hiệu $u_{n+1}-u_n$ không phụ thuộc $n$, do đó $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

**2) Tính $u_1+u_2+\dots +u_{50}$:**
$$u_1=2-9=-7.$$
Tổng 50 số hạng đầu:
$$S_{50}=\frac{50(u_1+u_{50})}{2}=25(-7+(2-450))=25(-7-448)=25\cdot (-455)=-11375.$$

**3) Tính $S=u_{15}+u_{16}+\dots +u_{45}$:**
Dãy từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ gồm $45-15+1=31$ số hạng, cũng là cấp số cộng với công sai $d=-9$.
$$u_{15}=2-9\cdot 15=-133,u_{45}=2-9\cdot 45=-403.$$
$$S=\frac{31(u_{15}+u_{45})}{2}=\frac{31(-133-403)}{2}=\frac{31\cdot (-536)}{2}=31\cdot (-268)=-8308.$$

**Kết luận:** Công sai $d=-9$; $u_1+u_2+\dots +u_{50}=-11375$; $S=-8308$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10. Cho $x_n=75+5(n-1)$ (cm), $n$ tuổi.

1) Khi trẻ 9 tuổi, ta có $n=9$:
$$x_9=75+5(9-1)=75+40=115\text{ (cm).}$$
Vậy chiều cao của đứa trẻ khi 9 tuổi là $115$ cm.

2) Ta có $x_1=75$ và với mọi $n\ge 1$:
$$x_{n+1}-x_n=\left[75+5n\right]-\left[75+5(n-1)\right]=5.$$
Vậy hiệu $x_{n+1}-x_n$ không đổi bằng 5, do đó dãy số $(x_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $x_1=75$ và công sai $d=5$.

Trung bình mỗi năm, chiều cao của đứa trẻ tăng lên đúng bằng công sai của cấp số cộng, tức là tăng $5$ cm mỗi năm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $d$ là công sai, $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ:
$9(u_1+d)-(u_1+6d)=1\Rightarrow 8u_1+3d=1$;
$2(u_1+3d)-(u_1+9d)=-10\Rightarrow u_1-3d=-10$.
Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$; suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $S_{33}=\frac{33\left(u_1+u_{33}\right)}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$:
$S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$:
$T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

Kiểm tra: $9u_2-u_7=9\cdot 2-17=1$ ✓; $2u_4-u_{10}=2\cdot 8-26=-10$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_{13}=u_3+10d$, nên $u_3=u_{13}-10d=8-10(-3)=8+30=38$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=5$, tổng 50 số hạng đầu $S_{50}=5150$. Ta có $S_{50}=\frac{50}{2}(2u_1+49d)=25(10+49d)=5150$, suy ra $10+49d=206$, tức $49d=196$, vậy $d=4$. Do đó $u_n=u_1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1=1+4n$. Kiểm tra: $S_{50}=25(10+196)=25\cdot 206=5150$ đúng. Vậy đáp án A.