Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

Gọi ba số đó theo thứ tự là $a;b;c$.
Ta có: $a+c=2b$ ; $a+b+c=21$
Và $(a+2)(c+9)=(b+3{)}^2$.
Giải hệ được: $a=3;b=7;c=11$ hoặc $a=18;b=7;c=-4$

Thang điểm: + Thay đúng: 0,25 đ; + Tìm đúng: 0,25 đ; + Tính đúng: 0,25 đ.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng là dãy mà hiệu hai số liên tiếp không đổi. Xét từng dãy: A: 2;5;8;11;… có công sai $d=5-2=8-5=11-8=3$ (không đổi) nên là cấp số cộng. B: 1;4;7;9 có $9-7=2\ne 7-4=3$ nên không phải. C: 0;3;9;12 có $9-3=6\ne 3-0=3$ nên không phải. D: 1;2;4;8 có $4-2=2\ne 2-1=1$ nên không phải. Vậy dãy là cấp số cộng là phương án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 126, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có số hạng tổng quát $u_n=20-3n$. Ta có $u_{n+1}=20-3(n+1)=17-3n$. Công sai $d=u_{n+1}-u_n=(17-3n)-(20-3n)=-3$. Vậy $d=-3$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 2: -3).

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền quyên góp mỗi ngày lập thành cấp số cộng với $u_1=3000$, công sai $d=2000$. Tổng sau $n$ ngày: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 3000+(n-1)\cdot 2000\right)=1000n(n+2)$. Giải $1000n(n+2)=120000\iff n^2+2n-120=0\iff n=10$ (nhận $n>0$). Vậy sau 10 ngày tổng số tiền là 120 000 đồng, khớp đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Xét hiệu các số hạng liên tiếp của mỗi dãy. A: 2, 4, 8, 16 có hiệu 2, 4, 8 không không đổi → không là cấp số cộng (đây là cấp số nhân). B: 3, 7, 11, 15 có hiệu 7−3 = 11−7 = 15−11 = 4 không đổi → là cấp số cộng với công sai d = 4. C: 1, 4, 9, 16 là các bình phương 1², 2², 3², 4², hiệu 3, 5, 7 không không đổi → không là cấp số cộng. D: 1, 1/2, 1/3, 1/4 có hiệu −1/2, −1/6, −1/12 không không đổi → không là cấp số cộng. Vậy dãy là cấp số cộng là 3, 7, 11, 15, ... Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa cấp số cộng, số hạng tổng quát là $u_n=u_1+(n-1)d$. Kiểm tra: với $n=1$ thì $u_1$ đúng; hiệu $u_{n+1}-u_n=d$ đúng. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng thỏa $u_{n+1}-u_n=d$ (hằng số). A: $u_{n+1}=2u_n+2$ là truy hồi tuyến tính bậc nhất, không phải cấp số cộng (ví dụ $u_1=1,u_2=4,u_3=10$, hiệu 3 và 6 khác nhau). B: $u_{n+1}=-3u_n$ là cấp số nhân công bội $-3$. C: $u_n=\sin \left(\frac{\pi }{n-1}\right)$ không có hiệu không đổi (và với $n=1$ không xác định). D: $u_{n+1}=u_n+1$ nên $u_{n+1}-u_n=1$ không đổi, đây là cấp số cộng công sai $d=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Các số tam giác: 1, 3, 6, 10, 15, ... với $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
a) Số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16 → sai.
b) Số tam giác là tổng cấp số cộng $1+2+\cdots +n$ (số hạng đầu 1, công sai 1), tổng quát $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ → đúng.
c) Với 6 người thì $n+1=6\Rightarrow n=5$, số lần bắt tay là số tam giác thứ 5: $S_5=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần, không phải $\frac{6\cdot 7}{2}=21$ → sai.
d) $S_n+S_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2$, đúng bằng số viên bi của hình vuông cạnh $n$ (hình minh họa: $16=10+6$, $25=15+10$) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số cộng đầu 1 công sai 1: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
6 người ứng với $n=5$, số bắt tay $S_5=15$ lần, không phải 21.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_n+S_{n-1}=n^2$ nên xếp được hình vuông cạnh $n$ viên bi.

(AI giải đề cho tôi)
3 năm làm việc tương ứng 12 quý. Mức lương theo quý lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=4,5$ (triệu đồng/quý) và công sai $d=0,3$. Tổng lương sau 12 quý: $S_{12}=\frac{12}{2}\left[2u_1+(12-1)d\right]=6\left[9+3,3\right]=6\cdot 12,3=73,8$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
A: $u_{n+1}=2u_n+2$ là truy hồi tuyến tính bậc nhất, không phải cấp số cộng (các hiệu $u_{n+1}-u_n$ không không đổi). B: $u_{n+1}=-3u_n$ là cấp số nhân với công bội $-3$, không phải cấp số cộng. C: $u_n=\sin \left(\frac{\pi }{n-1}\right)$ không có dạng $u_{n+1}-u_n$ không đổi (ví dụ $u_2=\sin \pi =0$, $u_3=\sin \frac{\pi }{2}=1$, $u_4=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, hiệu khác nhau). D: $u_{n+1}=u_n+1$ nên $u_{n+1}-u_n=1$ không đổi với mọi $n\ge 1$, đây là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=\frac{\pi }{2}$ và công sai $d=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 về số tam giác. a) Số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16 → sai. b) Số tam giác thứ $n$ là tổng cấp số cộng $1+2+\cdots +n$ với số hạng đầu $u_1=1$, công sai $d=1$, nên $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ → đúng. c) Với 6 người thì $n+1=6\Rightarrow n=5$, số lần bắt tay là số tam giác thứ 5: $S_5=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần, không phải $\frac{6\cdot 7}{2}=21$ (công thức $\frac{6\cdot 7}{2}$ áp dụng cho 7 người) → sai. d) $S_n+S_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(2n)}{2}=n^2$, đúng bằng số viên bi của hình vuông cạnh $n$ (minh họa $16+9=25=5^2$) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số cộng đầu 1 công sai 1: $S_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
6 người tương ứng $n+1=6$, tức $n=5$, số lần bắt tay $S_5=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần, không phải 21.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_n+S_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2$, đúng bằng số viên bi hình vuông cạnh $n$ (ví dụ $16+9=25=5^2$).

(AI giải đề cho tôi)
3 năm = 12 quý. Mức lương theo quý lập thành cấp số cộng với $u_1=4,5$, công sai $d=0,2$. Tổng lương sau 12 quý: $S_{12}=\frac{12}{2}\left(2u_1+11d\right)=6(9+2,2)=6\cdot 11,2=67,2$ triệu đồng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
3 năm làm việc tương ứng với 12 quý. Mức lương theo quý lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=4,5$ (triệu đồng) và công sai $d=0,3$ (triệu đồng). Tổng lương 12 quý là $S_{12}=\frac{12}{2}\left(2u_1+11d\right)=6\left(9+3,3\right)=6\cdot 12,3=73,8$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16. b) Đúng: dãy số tam giác là tổng cấp số cộng số hàng đầu 1, công sai 1, nên $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$. c) Sai: với 6 người thì $n+1=6\Rightarrow n=5$, số lần bắt tay là $S_5=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần; công thức $\frac{6\cdot 7}{2}=21$ áp dụng cho 7 người. d) Đúng: $T_n+T_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2$, tức số viên bi bằng tổng hai số tam giác liên tiếp xếp được hình vuông cạnh $n$ (như $16=10+6$, $25=15+10$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác thứ 5 là $1+2+3+4+5=15$, không phải 16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số cộng với $u_1=1$, $d=1$: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
6 người thì $n=5$, số bắt tay $=\frac{5\cdot 6}{2}=15$ lần, không phải 21.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T_n+T_{n-1}=n^2$, xếp được hình vuông cạnh $n$ viên bi.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng cần hiệu $u_{n+1}-u_n$ không đổi. A: $u_{n+1}=2u_n+2$ không tuyến tính theo dạng cộng, ví dụ $u_1=1,u_2=4,u_3=10$, hiệu 3 và 6 khác nhau → không phải CSC. B: $u_{n+1}=-3u_n$ là cấp số nhân (công bội $-3$) → không phải CSC. C: $u_n=\sin \left(\frac{\pi }{n-1}\right)$ không có hiệu không đổi (và với $n=1$ mẫu $n-1=0$ không xác định) → không phải CSC. D: $u_{n+1}=u_n+1$ nên $u_{n+1}-u_n=1$ không đổi với mọi $n\ge 1$, đây là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=\frac{\pi }{2}$ và công sai $d=1$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 3 năm = 12 quý, mức lương theo quý lập thành cấp số cộng với $u_1=4,5$, công sai $d=0,2$ (triệu đồng). Tổng lương: $S_{12}=\frac{12}{2}\left(2u_1+11d\right)=6(9+2,2)=6\cdot 11,2=67,2$ triệu đồng. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Số tam giác thứ n là T_n = 1+2+...+n = n(n+1)/2.
a) Số tam giác thứ 5 là T_5 = 1+2+3+4+5 = 15, không phải 16 → sai.
b) Dãy 1, 2, 3, ... là cấp số cộng với số hàng đầu u_1 = 1 và công sai d = 1; tổng S_n = n(n+1)/2 → đúng.
c) Với 6 người thì n+1 = 6, tức n = 5, số lần bắt tay là số tam giác thứ 5: T_5 = 5·6/2 = 15 lần, không phải 6·7/2 = 21 (cách tính 6·7/2 áp dụng cho 7 người) → sai.
d) T_n + T_{n-1} = n(n+1)/2 + (n-1)n/2 = n², đúng bằng số viên bi của hình vuông cạnh n viên bi (hình minh họa: 16 = 10+6 và 25 = 15+10) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác thứ 5 là 1+2+3+4+5 = 15, không phải 16.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số cộng với u_1 = 1, d = 1 là S_n = n(n+1)/2, đúng là số tam giác thứ n.
c) (AI giải đề cho tôi)
6 người ứng với n+1 = 6 nên n = 5; số lần bắt tay là T_5 = 5·6/2 = 15 lần, không phải 21.
d) (AI giải đề cho tôi)
T_n + T_{n-1} = n(n+1)/2 + n(n-1)/2 = n², nên hai số tam giác liên tiếp ghép được hình vuông cạnh n viên bi.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có dạng $u_{n+1}=u_n+d$ (hiệu không đổi). A: $u_{n+1}=2u_n+2$ không tuyến tính theo $u_n$ với hệ số 1, ví dụ $u_1=1,u_2=4,u_3=10$, hiệu $3,6$ khác nhau → không phải CSC. B: $u_{n+1}=-3u_n$ là cấp số nhân (công bội $-3$) → không phải CSC. C: $u_n=\sin \left(\frac{\pi }{n-1}\right)$ không phải dãy có hiệu không đổi (và với $n=1$ mẫu $n-1=0$ không xác định) → không phải CSC. D: $u_{n+1}=u_n+1$ với $u_1=\frac{\pi }{2}$, hiệu cộng $d=1$ không đổi → đây là cấp số cộng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-2$, $d=4$, nên $u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$.
a) $u_5=-2+4\cdot 4=14\ne 16$ → Sai.
b) $u_2=u_1+d=-2+4=2>0$ → Đúng.
c) $u_{26}=-2+4\cdot 25=98$ → Đúng.
d) Công thức tổng quát là $u_n=4n-6$, không phải $u_n=4n-2$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0112 (S, D, D, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_1+4d=-2+16=14\ne 16$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=-2+4=2>0$ là số dương, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{26}=u_1+25d=-2+100=98$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=4n-6$, không phải $4n-2$, nên sai.

Gọi $u_n$ là số tiền lương nhận được vào năm thứ $n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
Ta có $u_1=180$, $u_n=u_{n-1}+30,n\ge 2$.
Do đó $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=30$
Tổng số tiền lương mà chị Lan nhận được sau 7 năm làm việc cho công ty đó là $S_7=7.180+\frac{7.6}{2}.30=1890$ triệu đồng.