Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

Ý 2: Tổ hợp chia kẹo

Cách 1: Nguyên lý bao hàm - loại trừ
- B1: Chọn 2 heo rỗng: $C_{10}^2=45$.
- B2: Chia tiền vào 8 heo còn lại (không rỗng).
- Số cách chia $m$ vật loại A, $n$ vật loại B vào $k$ hộp tùy ý: $C_{k+m-1}^m{C}_{k+n-1}^n$.
- Áp dụng công thức bao hàm loại trừ:

$$N=\sum _{j=0}^8(-1{)}^j{C}_8^j\cdot S_{8-j}$$

- Tính toán: $N=4236$. Kết quả: $190620$.

Cách 2: Đa thức sinh - Dành cho HS chuyên
- Số cách chia vào 8 hộp khác nhau, không rỗng tương ứng với hệ số của $x^4{y}^6$ trong khai triển đa thức:

$$P(x,y)={\left[(1+x+x^2+\dots )(1+y+y^2+\dots )-1\right]}^8$$

- Phần trong ngoặc là ${\left(\frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-y}-1\right)}^8$.
- Tìm hệ số trong khai triển này. Đây là cách giải "sang chảnh" và chặt chẽ về mặt toán học cao cấp.

(Lưu ý: Trang lời giải chỉ tóm tắt đề ý 1 "Xác suất sút phạt. Tính XS đúng 2 người ghi bàn." nhưng không kèm lời giải chi tiết cho ý 1.)

(AI giải đề cho tôi)
Với $P(A)=0,15$, $P(B)=0,30$, $P(C)=0,55$ (xác suất một viên đạn trúng từng bộ phận, các viên độc lập).

a) Trúng 3 viên: Máy bay KHÔNG rơi khi không có viên nào trúng A, không có 2 viên trúng B, không có 3 viên trúng C. Không có viên trúng A thì mỗi viên trúng B hoặc C. Xét số viên trúng B: nếu 0 viên B (tức 3 viên C) thì máy bay rơi; nếu 3 viên B thì rơi; nếu 2 viên B thì rơi; chỉ khi đúng 1 viên B và 2 viên C máy bay không rơi. $P(\text{khoˆng rơi})=3\cdot 0,3\cdot 0,55^2=0,27225$, nên $P(\text{rơi})=1-0,27225=0,72775$. Đúng.

b) Trúng 2 viên: $P(1\text{ vieˆn B vaˋ 1 vieˆn C})=2\cdot 0,3\cdot 0,55=0,33\ne 0,85$. Sai.

c) Trúng 1 viên: máy bay rơi khi viên đạn trúng A, $P(\text{rơi})=0,15$, nên $P(\text{khoˆng rơi})=0,85\ne 0,45$. Sai.

d) Trúng 2 viên: máy bay rơi khi có ít nhất 1 viên trúng A hoặc 2 viên trúng B. $P(1A,1\text{ khaˊc})=2\cdot 0,15\cdot 0,85=0,255$; $P(2A)=0,15^2=0,0225$; $P(2B)=0,3^2=0,09$. Các trường hợp rời nhau nên $P(\text{rơi})=0,255+0,0225+0,09=0,3675$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(không rơi) = 3·0,3·0,55² = 0,27225 nên P(rơi) = 0,72775. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(1 viên B và 1 viên C) = 2·0,3·0,55 = 0,33 ≠ 0,85. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trúng 1 viên: máy bay rơi khi viên đạn trúng A với xác suất 0,15, nên P(không rơi) = 0,85 ≠ 0,45. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(rơi) = 2·0,15·0,85 + 0,15² + 0,3² = 0,255 + 0,0225 + 0,09 = 0,3675. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất trả lời đúng mỗi câu: mức dễ loại 2 phương án nên chọn ngẫu nhiên trong 2 phương án còn lại, $p_D=\frac{1}{2}$; mức trung bình loại 1 phương án nên $p_T=\frac{1}{3}$; mức khó không loại được phương án nào nên $p_K=\frac{1}{4}$.

Gọi $D$ là số câu trả lời đúng. Điểm số là $4D-1(25-D)=5D-25$.

• Với 91 điểm: $5D-25=91\Rightarrow D=23,2$ không nguyên, nên không thể đạt 91 điểm. Vậy $P(91)=0$.

• Với 95 điểm: $5D-25=95\Rightarrow D=24$, tức An đúng 24 câu và sai đúng 1 câu.

Xác suất đúng cả 25 câu:
$$P_{25}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{2^{20}{3}^{10}}.$$

Xác suất sai đúng 1 câu (câu sai thuộc loại dễ, trung bình, khó):
$$P(95)=P_{25}\left[10\cdot \frac{1-p_D}{p_D}+10\cdot \frac{1-p_T}{p_T}+5\cdot \frac{1-p_K}{p_K}\right]=P_{25}\left[10\cdot 1+10\cdot 2+5\cdot 3\right]=45P_{25}.$$

$$P(95)=\frac{45}{2^{20}{3}^{10}}=\frac{5}{2^{20}{3}^8}=\frac{5}{6879707136}\approx 7,27\cdot 10^{-10}.$$

Kết luận: $P(\text{91 điểm})=0$; $P(\text{95 điểm})=\frac{5}{6879707136}\approx 7,27\cdot 10^{-10}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0110, trang 5), Câu 3 (Phần III) có kết quả là: 41.

Sau khi tính toán các chuỗi kết quả có độ dài đúng 6 ván kết thúc với chiến thắng của kỳ thủ (điểm số không chạm 0 hay 3 ở các ván 1 đến 5 và đạt 3 ở ván 6), ta được xác suất $p=\frac{41}{4096}$, do đó $4096p=41$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 18), Câu 6 (Phần III, câu 22) có đáp số là $0.17$.

Có 4 tay vợt: An, Bình, Công, Duy. Các cặp đấu ở vòng 1 gồm 3 khả năng có xác suất bằng nhau là $\frac{1}{3}$:
1. Bình gặp Duy, An gặp Công.
2. Bình gặp An, Công gặp Duy.
3. Bình gặp Công, An gặp Duy.

- Trường hợp 1: Bình gặp Duy (xác suất $\frac{1}{3}$):
Xác suất Bình thắng Duy là $1-0,7=0,3$. Nếu Bình vào chung kết thì đối thủ là An hoặc Công (ngang sức với Bình), xác suất thắng chung kết là $\frac{1}{2}$. Xác suất Bình vô địch trong trường hợp này là: $0,3\cdot \frac{1}{2}=0,15$. Đóng góp vào tổng xác suất: $\frac{1}{3}\cdot 0,15=0,05$.

- Trường hợp 2: Bình gặp An (xác suất $\frac{1}{3}$):
Xác suất Bình thắng An là $\frac{1}{2}$. Ở cặp còn lại, Công thắng Duy với xác suất $0,3$; Duy thắng Công với xác suất $0,7$. Khi Bình vào chung kết:
+ Nếu gặp Công (xác suất $0,3$), Bình thắng với xác suất $\frac{1}{2}$.
+ Nếu gặp Duy (xác suất $0,7$), Bình thắng với xác suất $0,3$.
Xác suất Bình thắng chung kết: $0,3\cdot \frac{1}{2}+0,7\cdot 0,3=0,15+0,21=0,36$. Xác suất Bình vô địch trong trường hợp này: $\frac{1}{2}\cdot 0,36=0,18$. Đóng góp: $\frac{1}{3}\cdot 0,18=0,06$.

- Trường hợp 3: Bình gặp Công (xác suất $\frac{1}{3}$):
Hoàn toàn tương tự trường hợp 2, đóng góp vào xác suất là $0,06$.

Vậy xác suất Bình vô địch giải đấu là:
$P=0,05+0,06+0,06=0,17.$

Đáp số: 0,17.