Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất trúng của ba người là 0,8; x; y (độc lập). Xác suất cả ba trúng: $0,8xy=0,432\Rightarrow xy=0,54$. Xác suất ít nhất một người trúng: $1-0,2(1-x)(1-y)=0,992\Rightarrow (1-x)(1-y)=0,04\Rightarrow 1-(x+y)+0,54=0,04\Rightarrow x+y=1,5$. Vậy $x,y$ là nghiệm của $t^2-1,5t+0,54=0$, tức $\{x,y\}=\{0,9;0,6\}$. Xác suất đúng hai người trúng: $0,8\cdot 0,9\cdot 0,4+0,8\cdot 0,1\cdot 0,6+0,2\cdot 0,9\cdot 0,6=0,288+0,048+0,108=0,444$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số thẻ chia hết cho 6 trong khoảng 1 đến 25 là {6, 12, 18, 24} nên $p_A=\frac{4}{25}$. Số thẻ chia hết cho 5 là {5, 10, 15, 20, 25} nên $p_B=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$. Không có thẻ nào chia hết cho cả 6 và 5 (30 vượt phạm vi). Xác suất Bình thắng ở lượt thứ $n$ (An phải rút hỏng ở tất cả các lượt trước): $$P=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{21}{25}\cdot \frac{4}{5}\right)}^{n-1}\cdot \frac{21}{25}\cdot \frac{1}{5}=\frac{\frac{21}{125}}{1-\frac{84}{125}}=\frac{21/125}{41/125}=\frac{21}{41}\approx 0,5122.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $0,51$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hộ 1 có $n_1$ bi, hộ 2 có $n_2$ bi, $n_1+n_2=20$. Xác suất lấy 2 bi đỏ là $\frac{r_1}{n_1}\cdot \frac{r_2}{n_2}=\frac{77}{96}$. Ta có $\frac{77}{96}=\frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}$, tức hộ 1 có 8 bi trong đó 7 bi đỏ, hộ 2 có 12 bi trong đó 11 bi đỏ (thỏa $8+12=20$). Khi đó xác suất lấy được 2 viên bi màu xanh là $\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{96}\approx 0,01$. Vậy chọn đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

Ta có hai khả năng xảy ra trường hợp An giành chiến thắng.
- Khả năng 1: An thắng ngay ván thứ tư. Xác suất để điều này xảy ra là $0,35$.
- Khả năng 2: Bình thắng ván tiếp theo và An thắng ván sau đó. Xác suất để điều này xảy ra là $0,65\cdot 0,35=0,2275$.
Vậy xác suất để An giành chiến thắng là $0,35+0,2275=0,5775$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p_1=0,5$, $p_2=0,4$, $p_3=1-0,7=0,3$ (xác suất thi đỗ của người thứ ba).
a) Xác suất người thứ ba thi đỗ là $p_3=0,3$ → đúng.
b) Đúng hai người đỗ: $0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3+0,5\cdot 0,4\cdot 0,3=0,14+0,09+0,06=0,29$ → đúng.
c) Ít nhất một người đỗ: $1-0,5\cdot 0,6\cdot 0,7=1-0,21=0,79\ne 0,34$ → sai.
d) Đúng một người đỗ: $0,5\cdot 0,6\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3=0,21+0,14+0,09=0,44\ne 0,79$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất người thứ ba thi đỗ là $1-0,7=0,3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3+0,5\cdot 0,4\cdot 0,3=0,29$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$1-0,5\cdot 0,6\cdot 0,7=0,79\ne 0,34$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$0,21+0,14+0,09=0,44\ne 0,79$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất mỗi mặt 1–5 chấm là $x$, mặt 6 chấm là $2x$. Tổng: $5x+2x=7x=1\Rightarrow x=\frac{1}{7}$, nên $P(6)=\frac{2}{7}$, $P(i)=\frac{1}{7}$ với $i=1,\dots ,5$. Hai lần gieo độc lập; tổng $\ge 11$ chỉ xảy ra với các cặp $(5,6),(6,5),(6,6)$. Tính: $P(5,6)=\frac{1}{7}\cdot \frac{2}{7}=\frac{2}{49}$; $P(6,5)=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{7}=\frac{2}{49}$; $P(6,6)=\frac{2}{7}\cdot \frac{2}{7}=\frac{4}{49}$. Vậy $P=\frac{2}{49}+\frac{2}{49}+\frac{4}{49}=\frac{8}{49}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ thống I (nối tiếp) hỏng khi ít nhất một bóng hỏng: $P_1=1-0,85^2=1-0,7225=0,2775$. Hệ thống II (song song) hỏng khi cả hai bóng đều hỏng: $P_2=0,15^2=0,0225$. Hai hệ thống độc lập nên xác suất cả hai hỏng: $P=0,2775\times 0,0225=0,00624375\approx 0,00624$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'An có thể làm bài tập' tức có ít nhất một bóng đèn sáng. Xác suất cả ba đèn cùng hỏng (các biến cố độc lập): $P(\overline{A})=0,05\cdot 0,04\cdot 0,03=0,00006$. Vậy $P(A)=1-0,00006=0,99994$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cánh phải có 3 động cơ (xác suất hỏng $p_R=0,1$), cánh trái có 2 động cơ ($p_L=0,05$), các động cơ độc lập. Để có đúng 4 trong 5 động cơ hỏng có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: cả 3 động cơ cánh phải hỏng và đúng 1 trong 2 động cơ cánh trái hỏng:
$$P_1=0,1^3\cdot C_2^1\cdot 0,05\cdot 0,95=0,001\cdot 0,095=0,000095.$$

- Trường hợp 2: đúng 2 trong 3 động cơ cánh phải hỏng và cả 2 động cơ cánh trái hỏng:
$$P_2=C_3^2\cdot 0,1^2\cdot 0,9\cdot 0,05^2=3\cdot 0,01\cdot 0,9\cdot 0,0025=0,0000675.$$

Vậy xác suất cần tìm:
$$P=P_1+P_2=0,000095+0,0000675=0,0001625.$$

Kết quả trùng với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi bóng hỏng với xác suất 0,15, sáng tốt với xác suất 0,85; các bóng độc lập.
a) Hệ thống II mắc song song nên chỉ hỏng khi cả 2 bóng cùng hỏng: $P=0,15^2=0,0225$. Đúng.
b) Hệ thống II hoạt động bình thường: $P=1-0,0225=0,9775$. Đúng.
c) Hệ thống I mắc nối tiếp nên chỉ sáng khi cả 2 bóng đều tốt; xác suất bị hỏng là $P=1-0,85^2=1-0,7225=0,2775$, không phải 0,5775. Sai.
d) Hai hệ thống độc lập nên xác suất cả hai cùng hỏng: $P=0,0225\times 0,2775=0,00624375\approx 0,00624$, không phải 0,02624. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Song song: hỏng khi cả hai bóng hỏng, $0,15^2=0,0225$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$1-0,0225=0,9775$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nối tiếp: hỏng khi ít nhất một bóng hỏng, $1-0,85^2=0,2775\ne 0,5775$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$0,0225\times 0,2775=0,00624375\approx 0,00624\ne 0,02624$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p_1=0,5$, $p_2=0,4$, $p_3=0,3$; các biến cố độc lập nên dùng công thức nhân.
a) Đúng 1 người câu được cá: $P=0,5\cdot 0,6\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3=0,21+0,14+0,09=0,44\ne 0,34$ → sai.
b) Đúng 2 người câu được cá: $P=0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3+0,5\cdot 0,4\cdot 0,3=0,14+0,09+0,06=0,29$ → đúng.
c) Xác suất người thứ 3 câu được cá là $0,3$ → đúng.
d) Ít nhất 1 người câu được cá: $P=1-0,5\cdot 0,6\cdot 0,7=1-0,21=0,79\ne 0,21$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng 1 người câu được cá: $0,5\cdot 0,6\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3=0,21+0,14+0,09=0,44\ne 0,34$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng 2 người câu được cá: $0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3+0,5\cdot 0,4\cdot 0,3=0,14+0,09+0,06=0,29$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Xác suất người thứ 3 câu được cá là $0,3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Ít nhất 1 người câu được cá: $1-0,5\cdot 0,6\cdot 0,7=0,79\ne 0,21$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_1$ là biến cố anh Hà bị lây bệnh ở lần tiếp xúc không đeo khẩu trang, $P(A_1)=0,9$; $A_2$ là biến cố bị lây ở lần có đeo khẩu trang, $P(A_2)=0,15$. Hai lần tiếp xúc độc lập nên $A_1,A_2$ độc lập. Xác suất anh Hà không bị lây ở cả hai lần là $P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})=(1-0,9)(1-0,15)=0,1\cdot 0,85=0,085$. Vậy xác suất anh Hà bị lây bệnh là $P(A_1\cup A_2)=1-0,085=0,915\approx 0,92$.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Xét $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(\overline{A})P(B)$, nên $\overline{A}$ và $B$ độc lập → mệnh đề C đúng. Tương tự, $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập và $\overline{A}$, $\overline{B}$ cũng độc lập, nên A và B sai. Với D: $P(A\cap (A\cup B))=P(A)$, để độc lập cần $P(A\cup B)=1$, điều này không luôn đúng, nên D sai. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất trúng tỷ lệ nghịch với khoảng cách: $p(d)=\frac{k}{d}$. Với $d=20$, $p=0,5$ nên $k=10$. Suy ra $p_2=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$, $p_3=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$. Xác suất bắn trúng sau nhiều nhất 3 lần: $P=p_1+(1-p_1)p_2+(1-p_1)(1-p_2)p_3=0,5+0,5\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+0,5\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}=0,5+\frac{1}{9}+\frac{2}{45}=\frac{59}{90}\approx 0,6556\approx 0,66$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'một người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần'. Người đó thử ngẫu nhiên không lặp lại, xác suất đúng trong tối đa 2 lần thử là $P(A)=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$; xác suất thất bại là $P(\overline{A})=\frac{4}{5}$. Hai người gọi đến hai số khác nhau nên thử độc lập. Xác suất cả hai đều thất bại là ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$. Vậy xác suất để ít nhất một người gọi đúng mà không phải thử quá hai lần là $1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}=0,36$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,36 (mã đề 1202, câu 21).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi người thử ngẫu nhiên không lặp lại; xác suất người gọi đúng trong tối đa 2 lần thử là $\frac{1}{10}+\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{10}=0,2$. Hai người gọi độc lập nên xác suất ít nhất một người thành công là $1-(0,8{)}^2=1-0,64=0,36$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,36.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp A có 15 bi, hộp B có 18 bi. Xác suất hai bi cùng màu: cùng trắng $\frac{4}{15}\cdot \frac{7}{18}=\frac{28}{270}$; cùng đỏ $\frac{5}{15}\cdot \frac{6}{18}=\frac{30}{270}$; cùng xanh $\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{18}=\frac{30}{270}$. Tổng $P=\frac{88}{270}=\frac{44}{135}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_1,A_2,A_3$ lần lượt là biến cố xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích với $P(A_1)=0,8$, $P(A_2)=0,6$, $P(A_3)=0,5$. Các lần bắn độc lập nên các biến cố độc lập. Xác suất có đúng hai người trúng đích là:
$$P=P(A_1{A}_2\overline{A_3})+P(A_1\overline{A_2}{A}_3)+P(\overline{A_1}{A}_2{A}_3)$$
$$P=0,8\cdot 0,6\cdot 0,5+0,8\cdot 0,4\cdot 0,5+0,2\cdot 0,6\cdot 0,5=0,24+0,16+0,06=0,46.$$
Vậy xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích là $0,46$.

Theo bài ra xác suất để cả ba vận động viên ném trúng rổ là 0,21 nên ta có phương trình $x.y.0,7=0,21\iff xy=0,3$.

Và xác suất có hai vận động viên ném bóng trúng rổ là 0,44 nên ta có phương trình
$$x.y(1-0,7)+x.(1-y).0,7+(1-x).y.0,7=0,44$$
$$\iff 0,3xy+0,7x-0,7xy+0,7y-0,7xy=0,44$$
$$\iff 0,7(x+y)-1,1xy=0,44.$$

Khi đó ta có hệ phương trình
$$\{\begin{array}{l}xy=0,3\\ 0,7(x+y)-1,1xy=0,44\end{array}\iff \{\begin{array}{l}xy=0,3\\ 0,7(x+y)-0,33=0,44\end{array}\iff \{\begin{array}{l}xy=0,3\\ x+y=1,1\end{array}$$

Suy ra $\{\begin{array}{l}x=0,6\\ y=0,5\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}x=0,5\\ y=0,6\end{array}$.

Vì $x>y$ nên $\{\begin{array}{l}x=0,6\\ y=0,5\end{array}$.

Vậy xác suất chỉ có vận động viên thứ nhất ném bóng trúng rổ là
$$0,6.(1-0,5)(1-0,7)=0,09$$