Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(1)-3(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Do đạo hàm không đổi dấu và không triệt tiêu nên hàm số không có cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$, nên điểm cực đại của hàm số là $x=0$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 135).

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-2)(x-3)(x-4)=0$ có $3$ nghiệm đơn phân biệt $x=2,x=3,x=4$, nên hàm số có $3$ điểm cực trị.

Từ đồ thị:
a) Đúng vì hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$.
b) Sai vì hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
c) Đúng vì trên $[-2;0]$, GTLN là $f(-1)=2$.
d) Đúng vì đồ thị cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án C.

Quan sát bảng biến thiên:
- Tại $x=-1$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ và hàm số liên tục nên $x=-1$ là một điểm cực đại.
- Tại $x=0$, hàm số không xác định (hai vạch đứng).
- Tại $x=1$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ và hàm số liên tục nên $x=1$ là một điểm cực đại.
Vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $y^{\prime \prime }(3)=2>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.

Ta có $y^{\prime }=6x^2+6x-36=0\iff x=-3$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị là $A(-3;82)$ và $B(2;-43)$, nên $AB=\sqrt{5^2+(-125{)}^2}=\sqrt{15650}\approx 125$.

Ta có $y^{\prime }=6x^2-30x+36=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Hai điểm cực trị là $A(2;29)$ và $B(3;28)$, nên $AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(28-29{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
b) Đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, tập nghiệm là $S=\{-1;1\}$.
c) Đúng. $f(1)=1-3+1=-1$ và $f(-1)=-1+3+1=3$.
d) Sai. Giá trị cực đại là $f(-1)=3$ và giá trị cực tiểu là $f(1)=-1$, nên hiệu số là $3-(-1)=4\ne 3$.

Nếu $f^{\prime }(x_0)=0$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-3$ và $x=3$, nên hàm số có $2$ điểm cực tiểu.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$, khi đó $y(-2)=-(-8)-12-2=-6$, nên điểm cực tiểu của đồ thị là $A(-2;-6)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
a) Đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;3)$.
b) Đúng vì $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=1$ và $x=3$.
c) Sai vì giá trị cực tiểu là $f(3)=0$.
d) Sai vì $x\cdot f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{0;1;3\}$ có $3$ nghiệm.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(0;2)$ và $B(3;-4)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{3^2+(-6{)}^2}=3\sqrt{5}$.

Ta có $y^{\prime }=2e\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}=0\iff x=e$. Khi đó giá trị cực đại của hàm số là $y(e)=2$.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(0;2)$ và $B(3;-4)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(3-0{)}^2+(-4-2{)}^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$ (với giá trị cực tiểu $y=-2$).

Ta có $y^{\prime }=5e\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}=0\iff x=e$. Khi đó giá trị cực đại của hàm số là $y(e)=\frac{5e\ln e}{e}=5$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12=0\iff x=\pm 2$.
a) Sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-2;2)$.
b) Đúng vì $f(-3)=1,f(-2)=8,f(2)=-24,f(3)=-17$ nên ${\min }_{[-3;3]}f(x)=-24$.
c) Sai vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
d) Sai vì $x=-2$ là điểm cực đại và giá trị cực đại là $f(-2)=8$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.