Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2-3x=-3x(x+1)$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$. Qua điểm $x=0$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{2x^2-8x-24}{(x-2{)}^2}=\frac{2(x-6)(x+2)}{(x-2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=6$. Bảng xét dấu cho thấy $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-2$ nên điểm cực đại của hàm số là $x=-2$.

Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=3x^2+9x+6=3(x+1)(x+2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=-2$. Hàm số đạt cực đại tại $x_2=-2$ và đạt cực tiểu tại $x_1=-1$. Biểu thức $P=3x_1-x_2=3(-1)-(-2)=-1$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x-3)=0$ có hai nghiệm bội lẻ là $x=-2$ và $x=3$. Nghiệm $x=1$ là nghiệm bội chẵn nên đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm này. Do đó hàm số có $2$ điểm cực trị.

Với $x>0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}=\frac{x-4}{x^2}$. Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x=4$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=4$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$. Giá trị cực tiểu là $f(4)=1+\ln 4$.

a) Đúng. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $(1;6)$ và $(3;2)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có hệ số góc $k=\frac{2-6}{3-1}=-2$.
b) Sai. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=1$, nên điểm $(1;6)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Đúng. Phân tích thành nhân tử: $f^{\prime }(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$.
d) Sai. Trên đoạn $[0;2]$, ta có $f(0)=2$, $f(1)=6$, $f(2)=4$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ bằng $2$.

Ta có $y=x+\frac{2}{x+1}$ và $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x+1{)}^2}$. Tại các điểm cực trị, $y^{\prime }=0\Rightarrow \frac{2}{x+1}=x+1$. Do đó, cả hai điểm cực trị đều thuộc đường thẳng $y=x+(x+1)=2x+1$.

Từ bảng biến thiên, $f(x)=2x^3-6x-1$.
a) Sai. Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
b) Sai. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên $(-5;+\infty )$.
c) Đúng, vì $f(0)=-1$.
d) Đúng, vì $f(-1)=3$ và $f(2)=16-12-1=3$.

$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi $x$ đi qua $x=1$ và $x=3$ (nghiệm bội lẻ); $x=2$ và $x=4$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-3\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$ nên hàm số không có cực trị.

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên không nghịch biến trên khoảng $(0;3)$.
b) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, giá trị cực tiểu bằng $0$.
c) Đúng. Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.
d) Sai. Hai điểm cực trị là $A(-2;3),B(2;0)$. Thay tọa độ $A$ vào phương trình: $-2\cdot (-2)+3\cdot 3-4=9\ne 0$ nên $A$ không thuộc đường thẳng $-2x+3y-4=0$ (đường thẳng $AB$ có phương trình $3x+4y-6=0$).

Do $(x-1{)}^2\ge 0$ và $(x+2{)}^4\ge 0$ nên $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=0$. Hàm số có $1$ điểm cực trị. Chọn B.

Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và $h(2)=0$. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(2;0)$. Chọn C.

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Chọn B.

Đáp án: 4. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 971; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=6x^2-36x+48$.
b) Sai: $f^{\prime }(x)=0\iff x=2$ hoặc $x=4$. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$, đạt cực tiểu tại $x=4$.
c) Sai: Hàm số nghịch biến trên $(3;4)$ nên không đồng biến trên $(3;8)$.
d) Đúng: $f(0)=3,f(2)=43,f(3)=39$ nên giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;3]$ bằng $3$.

a) Đúng: Từ bảng biến thiên, ${\max }_{[-4;2]}f(x)=27$.
b) Đúng: Vì $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-3$.
c) Sai: Vì hàm số nghịch biến trên $(-3;1)$.
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1,f(1)=-5$ nên đồ thị có điểm cực tiểu là $(1;-5)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-4x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Hàm số đạt cực đại tại $b=\frac{1}{3}$ và đạt cực tiểu tại $a=1$. Vậy $2024a-2025b=2024-675=1349$. Đáp số: 1349.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=7$ nên $x=7$ là điểm cực tiểu.
b) Sai: $f(7)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.
c) Sai: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(11;+\infty )$ nên hàm số không đồng biến trên $(7;+\infty )$.
d) Đúng: Hàm số đồng biến trên $(7;11)$ nên $f(11)>f(7)$.

Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$ nên điểm cực đại của hàm số là $x=0$. Chọn A.