Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)
Tuyển tập 2.027 câu hỏi thuộc chuyên đề Cực trị (Giải tích – Toán học Lớp 12) trích từ ngân hàng đề thi chính thức và đề thi thử các trường THPT trên toàn quốc. Chọn trực tiếp đáp án A, B, C, D bên dưới để kiểm tra kết quả và xem hướng dẫn giải chi tiết từng bước.
Dấu hiệu & kiến thức trọng tâm:đổi dấu `f'điểm cực đại/cực tiểu
Xét hàm số y=ax4+bx2+c với a=m2−2023 và b=−m. - TH1: a=0⇔m2=2023 (không có giá trị nguyên nào vì 2023 không phải số chính phương). - TH2: Hàm số có đúng một điểm cực đại khi và chỉ khi: + Khả năng 1: a<0 và b≤0 ⇔{m2−2023<0−m≤0⇔{−2023<m<2023m≥0⇔0≤m≤44. Các giá trị nguyên của m là m∈{0;1;2;…;44} (45 giá trị). + Khả năng 2: a>0 và b<0 Khi a>0,b<0, đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (2 cực tiểu, 1 cực đại). ⇔{m2−2023>0−m<0⇔{m>2023 hoặc m<−2023m>0⇔m>2023≈44.97. Do m∈[−2023;2023] nên m∈{45;46;…;2023} (2023−45+1=1979 giá trị). Tổng số giá trị nguyên của m thỏa mãn là 45+1979=2024 giá trị.
Ta có y′=2(3x2−3)(x3−3x−m+1)=6(x2−1)(x3−3x−m+1). y′=0⇔[<table><tbody><tr><td>x=±1</td></tr><tr><td>x3−3x=m−1(∗)</td></tr></tbody></table>. Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (∗) có 3 nghiệm thực phân biệt khác ±1. Xét hàm số g(x)=x3−3x có g′(x)=3x2−3=0⇔x=±1. Từ bảng biến thiên suy ra −2<m−1<2⇔−1<m<3. Vì m∈Z nên m∈{0;1;2}, có 3 giá trị nguyên của m.
Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số f(t)=1+3e−t3000,t≥0, trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f′(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ta viết lại hàm doanh số: f(t)=et+33000et. Đạo hàm bậc nhất biểu thị tốc độ bán hàng: h(t)=f′(t)=(et+3)23000et(et+3)−3000et⋅et=(et+3)29000et. Để tốc độ bán hàng lớn nhất, ta tìm điểm cực đại của h(t) bằng cách xét đạo hàm h′(t): h′(t)=(et+3)49000et(et+3)2−9000et⋅2(et+3)et=(et+3)39000et(et+3−2et)=(et+3)39000et(3−et). Cho h′(t)=0⇔3−et=0⇔et=3⇔t=ln3. Bảng biến thiên cho thấy h(t) đạt cực đại tại t=ln3≈1,0986≈1,1 na˘m. Vậy sau khi phát hành khoảng 1,1 na˘m thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Đồ thị hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình y=0 có 3 nghiệm phân biệt: x3−8x2+(m2+11)x−2m2+2=0⇔(x−2)(x2−6x+m2−1)=0. Điều này tương đương với phương trình bậc hai g(x)=x2−6x+m2−1=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2: 1) Δ′=9−(m2−1)=10−m2>0⇔−10<m<10. 2) g(2)=4−12+m2−1=m2−9=0⇔m=±3. Vì m∈Z nên m∈{−2,−1,0,1,2}. Có đúng 5 giá trị nguyên của m.
Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên đoạn 4;0 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M (2m ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y 2 x3 3(2 m 1) x 2 6m( m 1) x 1 (C ) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
