Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x^2(x-1)(x-2{)}^3=0\iff x=0$ (nghiệm bội chẵn, đạo hàm không đổi dấu), $x=1$ (nghiệm đơn), $x=2$ (nghiệm bội lẻ). Khi qua $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=1$ là điểm cực đại. Khi qua $x=2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 1 điểm cực đại.

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm tại $A$ và $B$:
- a) $f(x)=0\iff 135x-x^2-x^3=0\iff x(135-x-x^2)=0$. Vì $x>0$ tại $B$ nên $x_B=\frac{-1+\sqrt{541}}{2}\approx 11,13$. Vì đơn vị trên trục là $10\text{ m}$ nên khoảng cách $AB=10\cdot x_B=10\cdot \frac{-1+\sqrt{541}}{2}=-5+5\sqrt{541}\approx 111\text{ m}$. Mệnh đề Đúng.
- b) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{135-2x-3x^2}{200}=\frac{27}{40}-\frac{x}{100}-\frac{3x^2}{200}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2+2x-135=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{406}}{3}$. Vì $x\ge 0$ nên $x_0=\frac{\sqrt{406}-1}{3}$. Mệnh đề Đúng.
- c) Độ cao lớn nhất so với phương ngang đạt được tại $x_0=\frac{\sqrt{406}-1}{3}\approx 6,38$. Độ cao thực tế là $10\cdot f(x_0)\approx 10\cdot 2,8=28\text{ m}\ne 64\text{ m}$. Mệnh đề Sai.
- d) Tại điểm $A(0;0)$, hệ số góc tiếp tuyến là $f^{\prime }(0)=\frac{27}{40}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{27}{40}=0,675\Rightarrow \alpha \approx 34^{\circ }$. Mệnh đề Đúng.

Ta có đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
- Với $x=0\Rightarrow y=-4$, ta được điểm cực trị $A(0;-4)$.
- Với $x=2\Rightarrow y=0$, ta được điểm cực trị $B(2;0)$.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$ có phương trình $g(x)=ax+b$:
$\{\begin{array}{l}b=-4\\ 2a+b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\Rightarrow g(x)=2x-4$.
Xét hàm số $h(x)=\sqrt{-x(2x-4)}=\sqrt{-2x^2+4x}$.
Điều kiện xác định: $-2x^2+4x\ge 0\iff 0\le x\le 2$.
Ta có $-2x^2+4x=-2(x-1{)}^2+2\le 2,\forall x\in [0;2]$.
Suy ra giá trị lớn nhất $M=\sqrt{2}$ (đạt tại $x=1$) và giá trị nhỏ nhất $m=0$ (đạt tại $x=0,x=2$).
Tính giá trị biểu thức: $\sqrt{8(300M-20m{)}^2}=\sqrt{8\cdot (300\sqrt{2}-0{)}^2}=\sqrt{8\cdot 90000\cdot 2}=\sqrt{1440000}=1200$.

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-1$ và $x=1$, nên hàm số có $2$ điểm cực đại. Chọn B.

**Chọn A**

Tập xác định D  
x  0
Ta có y  4 x 3  4 x . Giải y  0  4 x3  4 x  0  
 x  1
và y đổi dấu khi x qua 3 nghiệm đó.
Vậy hàm số y  x 4  2 x 2  1 có 3 điểm cực trị.

**Chọn A**


x  0

f ( x)  x( x  1)3 (3 x  1)  0   x  1 .
 1
x  
 3
Dấu của đạo hàm

Hàm số có 3 điểm cực trị.

**Chọn D**

x  0
Ta có: y  x 3  3 x 2  m  y  3 x 2  6 x ; y  0  3 x 2  6 x  0  
 x  2
 
Hai điểm cực trị là: A  0; m  , B  2; m  4   OA   0; m  , OB   2; m  4  .
  m  0
Từ giả thiết, 
AOB  90  OA . OB  0  0.  2   m.  m  4   0  m.  m  4   0   .
 m  4

Chọn B
Từ đồ thị đã cho ta suy ra hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực đại.
3x - 4

Chọn B
Tập xác định: D = $\mathbb{R}$ .
x = 0
Ta có y$\mathbb{Z}$ = 4 x 3 - 8 x . Giải y$\mathbb{Z}$ = 0 $\iff$ 4 x3 - 8 x = 0 $\iff$ .
x =  2
Bảng biến thiên:

Giá trị cực tiểu của hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 3 là yCT = -1 .

Chọn D
Ta có y$\mathbb{Z}$ = x 4 - 8 x 2 - m ; y$\mathbb{Z}$ = 0 $\iff$ x 4 - 8 x 2 = m (1).
Ycbt $\iff$ (1) có bốn nghiệm phân biệt.
x = 0
Xét hàm số g ( x ) = x 4 - 8 x 2 , có g $\mathbb{Z}$ ( x ) = 4 x3 - 16 x . g $\mathbb{Z}$ ( x ) = 0 $\iff$ 4 x3 - 16 x = 0 $\iff$ .
x = 2
Bảng biến thiên.

Từ đây ta có -16  m  0 , vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm bội lẻ $x=0$ và $x=1$ (không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn $x=2$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

Chọn đáp án $B$.

Chọn đáp án $C$.

**Chọn B**

ln 2 ln 2

 

**Chọn B**

 x  1
Ta có:  f  x  2 x     2 x  2  f '  x  2 x   2  x  1 f '  x  2 x   0   x  2
'
2 2 2

 x  5

Suy ra:

2  x  1 f '  x 2  2 x   a  x  1 x  2  x  5 

 x  2  x  2x  8
2
a
 f '  x2  2x    x  2  x  5  0    2
2  x  5  x  2 x  35

 3

Nhận thấy hàm y  f x 4  4 x  6 x 2  4 x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số sẽ đối xứng
nhau qua trục tung, do đó số điểm cực trị có dạng 2 k  1 với k là số điểm cực trị có hoành độ
dương của hàm số y  f  x 4  4 x3  6 x 2  4 x  .

Xét hàm: y  f  x 4  4 x3  6 x 2  4 x  với x   0;   .

Ta có:

y   4 x 3  12 x 2  12 x  4  f '  x 4  4 x 3  6 x 2  4 x   0
x  1

x  1 x  1 3
 4 x  12 x  12 x  4  0
3 2
 4 (Đều là nghiệm
   x  4 x 3  6 x 2  4 x  8   x  1  3
 f '  x  4 x  6 x  4 x   0
4 3 2
 x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  35 x  1 6


 x  1  6
đơn).

Do đó hàm số y  f  x 4  4 x3  6 x 2  4 x  có ba điểm cực trị có hoành độ dương.

 3

Vậy hàm y  f x 4  4 x  6 x 2  4 x có số điểm cực trị bằng 2.3  1  7 .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, tại điểm cực đại $x=-4$ hàm số đạt giá trị cực đại là $y=-3$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x^2=0</td></tr><tr><td>(x+1{)}^2=0</td></tr><tr><td>2x-1=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$.

Trong đó ta thấy $x=0$, $x=-1$ là nghiệm kép, $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm đơn nên đồ thị hàm số có $1$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

a) Đúng. Ta có $y=\frac{(x-5)x+4}{x-5}=x+\frac{4}{x-5}=x-5+\frac{4}{x-5}+5$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-5{)}^2}$ với mọi $x\ne 5$.

b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:
$\frac{x^2-5x+4}{x-5}=0\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=4$ (đều thỏa mãn $x\ne 5$).
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $(1;0)$ và $(4;0)$.

c) Đúng. Cho $f^{\prime }(x)=0\iff (x-5{)}^2=4\iff x-5=2\Rightarrow x=7$ hoặc $x-5=-2\Rightarrow x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy qua $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$, giá trị cực tiểu là $f(7)=\frac{7^2-5\cdot 7+4}{7-5}=\frac{18}{2}=9\ne 3$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, điểm cực tiểu của đồ thị là $(0;-1)$, do đó giá trị cực tiểu của hàm số là $y=-1$.