Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2)(x+2)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có bốn nghiệm đơn là $-2,0,1,2$. Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: dương trên $(-\infty ;-2)$, âm trên $(-2;0)$, dương trên $(0;1)$, âm trên $(1;2)$, dương trên $(2;+\infty )$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-2$ và $x=1$, do đó hàm số có 2 điểm cực đại. Chọn D.

Đạo hàm của $y=g[f(x)]$ là $y^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }[f(x)]$. Hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị $a,b$. Hàm số $g^{\prime }(u)=12u^2+2(2-3f(a))u-2f(a)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt $u_1,u_2$. Mỗi phương trình $f(x)=u_i$ có tối đa 3 nghiệm đơn phân biệt không trùng điểm cực trị. Số điểm cực trị tối đa là $2+3+3=8$ hoặc khi tính chi tiết các nhánh tương giao ta được tối đa 13 điểm cực trị. Chọn C.

Hàm số $g(x)=f(|x|)$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị dương phân biệt, tức là phương trình $f^{\prime }(x)=x^2-2(m-1)x+m^2-16=0$ có hai nghiệm dương phân biệt. Điều kiện tương đương: ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2-16)=-2m+17>0\iff m<\frac{17}{2}$; $S=2(m-1)>0\iff m>1$; $P=m^2-16>0\iff m>4$ hoặc $m<-4$. Kết hợp lại ta được $4<m<\frac{17}{2}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{5,6,7,8\}$, có 4 giá trị nguyên. Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là $(2;-1)$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x\Rightarrow y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0,y=-2\\ x=\pm 1,y=-3\end{array}\right]$.



Hàm số có giá trị cực đại bằng $-2$ tại điểm $x=0$.

Xét hàm số $g(x)=f^2(x)+f(x)+m$.

Ta có $g^{\prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)[2f(x)+1]$.

$g^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=-\frac{1}{2}\\ f^{\prime }(x)=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=a<0\\ x=1\\ x=3\end{array}\right]$ (trong đó $x=3$ là nghiệm kép của $f^{\prime }(x)=0$ nhưng là nghiệm đơn của $g^{\prime }(x)=0$).

Bảng biến thiên của hàm số $g(x)=f^2(x)+f(x)+m$:



Để hàm số $h(x)=|g(x)|$ có đúng $3$ điểm cực trị thì $-\frac{1}{4}+m\ge 0\iff m\ge \frac{1}{4}$.

Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in (-20;20)$ nên $m\in \{1;2;\dots ;19\}$, có $19$ giá trị $m$ thỏa mãn.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=-1$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x(x-1)(x+3)=0\iff x\in \{-3;0;1\}$.
Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- $x\in (-\infty ;-3)$: $f^{\prime }(x)<0$.
- $x\in (-3;0)$: $f^{\prime }(x)>0$.
- $x\in (0;1)$: $f^{\prime }(x)<0$.
- $x\in (1;+\infty )$: $f^{\prime }(x)>0$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=0$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x=0$.

Ta có $f(x)=\int \left(\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{3}{2}\right)dx=\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{3}{2}x+C$.
Vì $f(0)=0\Rightarrow C=0$, do đó $f(x)=\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{3}{2}x$.

Đặt $h(x)=f^2(x)+2f(x)+m$.
Ta có $h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)(f(x)+1)$.
$h^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=0\\ & f(x)=-1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=1\text{ hoặc }x=3\\ & x=a\approx -0.4920\end{array}$.

Xét biến thiên của $h(x)$:
- $h^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $a,1,3$.
- $h(a)=(-1{)}^2+2(-1)+m=-1+m$.
- $h(1)={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+2\left(\frac{2}{3}\right)+m=\frac{16}{9}+m$.
- $h(3)=0^2+2(0)+m=m$.

Bảng biến thiên của $h(x)$ có 3 điểm cực trị. Hàm số $g(x)=|h(x)|$ có số điểm cực trị bằng số điểm cực trị của $h(x)$ cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $h(x)=0$.
Để $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $h(x)=0$ không có nghiệm bội lẻ, tức đồ thị $h(x)$ không cắt trục hoành:
$\min h(x)=h(a)=-1+m\ge 0\iff m\ge 1$.
Kết hợp với điều kiện $m\in (-2021;2022)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{1;2;\dots ;2021\}$.
Vậy có $2021$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

**Chọn C**
Do hàm số xác định trên R và f ' ( x ) có hai lần đổi dấu nên hàm số có hai điểm cực trị.

**Chọn D**
Dựa vào đồ thị hàm số đạt cực đại tại x = 0

Dựa vào đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là $(0;-1)$.

Qua điểm $x=1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại là $f(1)$.

Xét $h(x)=3x^4+4x^3-12x^2$, có $h^{\prime }(x)=12x(x-1)(x+2)=0\iff x\in \{-2;0;1\}$, với $h(-2)=-32,h(0)=0,h(1)=-5$.
Hàm số $y=|h(x)+2m|$ có $7$ điểm cực trị khi phương trình $h(x)=-2m$ có $4$ nghiệm phân biệt, tức là $-5<-2m<0\iff 0<m<\frac{5}{2}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\{1;2\}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng $1+2=3$.

Chọn B.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị cực tiểu $y=1$, suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(0;1)$.

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị là $(0;-1)$, do đó giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ}=-1$.

Chọn B.


Ta có đạo hàm $f^{\prime }(x)=0\iff -a=x+\sqrt{x^2+1}$.
Hàm số có nghiệm duy nhất khi $a<0$.
Điều kiện $y_0<-5$ luôn thỏa mãn với mọi $a<0$.
Do đó $a\in \{-19,-18,\dots ,-1\}$. Có đúng 19 giá trị nguyên của $a$.