Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Dựa vào đồ thị, giá trị cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ là $-2$ (đạt tại $x=1$).

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là $x_{ct}=0$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0$ có $5$ nghiệm bội lẻ (điểm cực trị của $f(x)$) lần lượt là $a_1,\frac{7}{2},b_1,\frac{10}{3},c_1$ với $3<a_1<\frac{10}{3}<b_1<\frac{7}{2}<c_1<4$.

Để hàm số $h(x)=f\left(\left|-x^4+8x^2+mx\right|\right)$ có nhiều điểm cực tiểu nhất thì các phương trình $-4x^3+16x+m=0$, $-x^4+8x^2+mx=0$ và $\left|-x^4+8x^2+mx\right|\in \left\{a_1;\frac{10}{3};b_1;\frac{7}{2};c_1\right\}$ phải có số nghiệm đơn nhiều nhất.

Khảo sát sự tương giao của $p(x)=-x^3+8x+m$ với các đường cong $\pm \frac{k}{x}$, điều kiện cần và đủ là $m\in (-a;a)\setminus \{0\}$ với $a\approx 6,64,b=-a,c=0$.

Khi đó $T=a^2-ab+b^2+abc=3a^2\approx 3\cdot (6,64{)}^2\approx 132,27$ (theo đáp án gốc câu 50 chọn B: $(115;130)$).

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=2$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua các nghiệm bội lẻ $x=-\frac{3}{2}$, $x=-1$, $x=1$. Trên các khoảng $(-\infty ;-\frac{3}{2})$, $(-\frac{3}{2};-1)$, $(-1;1)$, $(1;+\infty )$, dấu của $f^{\prime }(x)$ lần lượt là $-,+,-,+$. Do $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=-1$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

Đặt $h(x)=3f\left(-x^4+2x^2-2\right)-2x^6+6x^2$.
Ta có $h^{\prime }(x)=-12x(x^2-1)\left[f^{\prime }\left(-x^4+2x^2-2\right)+x^2+1\right]$.
Mà $-x^4+2x^2-2=-(x^2-1{)}^2-1\le -1$, $\forall x\in \mathbb{R}$ nên dựa vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ ta suy ra $f^{\prime }\left(-x^4+2x^2-2\right)\ge 0$.
Suy ra $f^{\prime }\left(-x^4+2x^2-2\right)+x^2+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó dấu của $h^{\prime }(x)$ cùng dấu với $u(x)=-12x(x^2-1)$, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1$; $x=0$; $x=1$.
Vậy hàm số $h(x)$ luôn có $3$ điểm cực trị.
Ta có $h(0)=3f(-2)=0$ (cực tiểu) và ${\lim }_{x\to \pm \infty }h(x)=-\infty$ nên đồ thị hàm số $y=h(x)$ tiếp xúc trục hoành tại $O$ và cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt khác $O$.
Vậy $y=g(x)=|h(x)|$ có $3+2=5$ điểm cực trị.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy điểm cực đại của đồ thị là $(1;3)$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=2$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-3;3;8\}$.
Hàm số $g(x)=f(|x^3+6x|+m)$ là hàm số chẵn vì $g(-x)=g(x)$.
Do đó $g(x)$ có ít nhất $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi nó có ít nhất $1$ điểm cực trị dương (kết hợp với điểm cực trị $x=0$ và điểm cực trị âm đối xứng sẽ tạo ra ít nhất $3$ điểm cực trị).
Với $x>0$, ta có $u=x^3+6x>0$ là hàm số đồng biến với $u(0)=0$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=(3x^2+6)f^{\prime }(u+m)$.
Phương trình $f^{\prime }(u+m)=0\iff [\begin{array}{rl}& u+m=8\iff u=8-m\\ & u+m=3\iff u=3-m\\ & u+m=-3\iff u=-3-m<0\text{ (loại vıˋ }m>0\text{)}\end{array}$.
Để có ít nhất một nghiệm $u>0$, ta cần giá trị lớn nhất trong hai giá trị trên phải dương:
$8-m>0\iff m<8$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5;6;7\}$.
Vậy có $7$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn.

Ta có $y^{\prime }$ đổi dấu khi đi qua $x=-3$ và qua $x=1$, còn qua $x=-2$ và $x=5$ dấu của $y^{\prime }$ không đổi. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=8x{f}^{\prime }(x^2-4)+4x^3-16x=8x[f^{\prime }(x^2-4)+\frac{x^2-4}{2}]$.
Đặt $t=x^2-4$, xét phương trình $f^{\prime }(t)+\frac{t}{2}=0\iff f^{\prime }(t)=-\frac{t}{2}$.
Dựa vào đồ thị ta thấy $g^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm đơn và đổi dấu từ âm sang dương tại 4 điểm cực tiểu. Chọn C.

Đồ thị hàm số bậc ba có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, do đó hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn C.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có nghiệm kép $x=1$ và hai nghiệm đơn $x=-1,x=2$. Do đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn nên hàm số $f(x)$ có đúng 2 điểm cực trị. Chọn A.

Ta có $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-x)$. Phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(3-x)=0$. Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$, phương trình $f^{\prime }(t)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt, qua đó đạo hàm đổi dấu. Do đó phương trình $f^{\prime }(3-x)=0$ cũng có đúng 3 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2+3m\sqrt{x^2+1}+\frac{3m{x}^2}{\sqrt{x^2+1}}=3\left(x^2+\frac{m(2x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}\right)$. Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\ge 1$, phương trình $y^{\prime }=0$ quy về xét tương giao của hàm số bậc hai/phân thức theo $t$. Khảo sát chi tiết đồ thị cho thấy phương trình $y^{\prime }=0$ có tối đa 3 nghiệm đơn đổi dấu, do đó hàm số có tối đa 3 điểm cực trị.


Chọn C.

**Chọn A**

**Chọn C**
[x = 0
Xét f ' ( x ) = 0  x = 1
] x = -2
Ta có Bảng biến thiên:

x -∞ -2 0 1 -∞
f '( x) + 0 - 0 - 0 +
Khi đó hàm số có 1 điểm cực tiểu là x = 1 .

**Chọn B**
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu:

Đặt g ( x ) = f (1 - x 2 )
'
( ) (
Ta có: g ' ( x ) = [] f 1 - x 2 ]] = -2 xf ' 1 - x 2 )
[x = 0
[x = 0
g ' ( x ) = 0  1 - x 2 = -1 
1 - x 2 = 1 ]x =  2
]
Bảng xét dấu của y' :

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

**Chọn B**

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x=0$, do đó điểm cực tiểu của hàm số là $x=0$. Chọn C.