Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $x=-1$ và $x=1$ (với giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$).

Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ đổi dấu qua $3$ nghiệm bội lẻ là $t=-1,t=1,t=2$ (nghiệm $t=4$ là nghiệm kép không đổi dấu). Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên có đúng $11$ điểm cực trị khi hàm số $g(x)=f\left(x^3-3x+m+2023\right)+2023m$ có đúng $5$ điểm cực trị dương. Xét $h(x)=x^3-3x+2023$ trên $(0;+\infty )$ có $1$ điểm cực tiểu là $x=1,h(1)=2021$ và $h(0)=2023$. Để $g(x)$ có $5$ điểm cực trị dương thì hệ phương trình $h(x)=-m-1;h(x)=-m+1;h(x)=-m+2$ phải có tổng cộng $4$ nghiệm dương bội lẻ khác $1$. Trường hợp 1: $2021<-m-1<2023\le -m+1<-m+2⟺-2024<m<-2022⟹m=-2023$. Trường hợp 2: $-m-1\le 2021<-m+1<-m+2<2023⟺-2021<m<-2020$ (không có $m\in \mathbb{Z}$). Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 3 điểm $x=-3$, $x=0$, $x=2$. Do đó hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại tương ứng là $y_{CĐ}=2$. Chọn A.

Xét hàm số $h(x)=f(x)-g(x)$. Hàm số $h(x)$ có 3 điểm cực trị. Số điểm cực trị của hàm số $\left|h(x)-\frac{2m}{3}\right|-4$ bằng số điểm cực trị của $\left|h(x)-\frac{2m}{3}\right|$, bằng số cực trị của $h(x)$ (là 3) cộng với số nghiệm đơn của phương trình $h(x)-\frac{2m}{3}=0$. Để có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình $h(x)=\frac{2m}{3}$ phải có đúng 4 nghiệm đơn phân biệt. Từ bảng biến thiên của $h(x)$, điều này xảy ra khi $-10<\frac{2m}{3}<0\iff -15<m<0$ (hoặc đối xứng theo đồ thị ta được $0<\frac{2m}{3}+4<10\iff -6<m<9$). Suy ra $m\in \{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$. Có 14 giá trị nguyên của $m$.


Chọn D.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=3$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Vì đạo hàm đổi dấu khi qua 3 nghiệm đơn này nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Xét $f^{\prime }(x)=0\iff x(x-1{)}^2(x+2)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$ (nghiệm đơn) hoặc $x=1$ (nghiệm bội chẵn).

Xét hàm số $g(x)=f(-2x)$, ta có $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(-2x)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(-2x)=0\iff \{\begin{array}{l}-2x=0\\ -2x=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

Bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$:
- Khi $x>1\Rightarrow -2x<-2\Rightarrow f^{\prime }(-2x)>0\Rightarrow g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(-2x)<0$.
- Khi $0<x<1\Rightarrow -2<-2x<0\Rightarrow f^{\prime }(-2x)<0\Rightarrow g^{\prime }(x)>0$.

Đạo hàm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=1$, do đó hàm số $y=f(-2x)$ đạt cực đại tại $x=1$.

Ta có $h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))$.
$h^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)=0\\ f^{\prime }(g(x))=0\end{array}$

- $g^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$ (2 nghiệm đơn phân biệt).
- $f^{\prime }(u)=6u^2-18u=0\iff u=0$ hoặc $u=3$.
Do đó $f^{\prime }(g(x))=0\iff \{\begin{array}{l}g(x)=0\\ g(x)=3\end{array}\iff \{\begin{array}{ll}2x^3-3x^2-12x=-m& (1)\\ 2x^3-3x^2-12x=-m+3& (2)\end{array}$

Bảng biến thiên của hàm số $k(x)=2x^3-3x^2-12x$ có điểm cực đại $(-1;7)$ và cực tiểu $(2;-20)$.

Để $h(x)$ có đúng 6 điểm cực trị thì hệ hai phương trình (1) và (2) phải sinh ra đúng 4 nghiệm đơn phân biệt khác $-1$ và $2$.

Điều kiện xảy ra khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}-m+3>7\\ -20<-m\le 7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-4\\ -7\le m<20\end{array}\iff -7\le m<-4\Rightarrow m\in \{-7;-6;-5\}$
hoặc
$\{\begin{array}{l}-m\le -20\\ -20<-m+3<7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 20\\ -4<m<23\end{array}\iff 20\le m<23\Rightarrow m\in \{20;21;22\}.$

Tổng cộng có $3+3=6$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

**Chọn D**

Từ đồ thị suy ra giá trị cực đại của hàm số đã cho là -3 .

D. -3 .

**Chọn B**

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là (1;1) .

**Chọn B**

Đặt g ( x ) = f ( x 2 - 2 x ) ⇒ g ' ( x ) = 2 ( x - 1) f ' ( x 2 - 2 x ) ;
[x = 1
[x = 1
2
x = 0
x - 2 x = -1
g'( x) = 0 ⇔ 2
,
⇔
x - 2x = 0
x = 2

] x = 1 ± 2
] x 2 - 2 x = 1

trong đó x = 1 là nghiệm bội ba, các nghiệm còn lại là nghiệm đơn.
Suy ra, hàm số y = f ( x 2 - 2 x ) có 5 điểm cực trị.

y ' = 3 x 2 - 2 ( 2m + 3 ) x + m 2 + 2m .

m=0
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 $\Rightarrow$ y '(0) = 0 $\iff$ m2 + 2m = 0 $\iff$
m = -2
Với m = 0
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x . Lập bảng biến thiên suy ra x = 0 là điểm cực đại.
Với m = -2
Ta có y ' = 3 x 2 + 2 x . Lập bảng biến thiên suy ra x = 0 là điểm cực tiểu.
Vậy m = 0

x = -1
f '( x) = 0 $\iff$ x = 1
x = -2
f '( x) = 0 có hai nghiệm đơn là x = 1; x = -2 $\Rightarrow$ f '( x) đổi dấu hai lần qua hai nghiệm nên hàm
số có hai điểm cực trị.

Đồ thị hàm số đã có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình
y = 0 có ba nghiệm phân biệt.

x = m
Ta có y = 0 $\iff$ ( x - m ) ( x 2 + 2mx - m ) = 0 $\iff$
g ( x ) = x + 2mx - m = 0.
2

Yêu cầu bài toán tương đương g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m

m > 0 m > 0

'
$\Delta$ g = m + m > 0 m < -1
2
m < -1
$\iff$ $\iff$
g ( m )
e 0 m
e 0; m
e 1 m
e 1.
3 3

Vì m nguyên và m $\in$ [ -2023; 2023] nên có 4045 giá trị

1
Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) f ( x ) - 1 f ' f 2 ( x ) - f ( x ) nên
2

f ' ( x ) = 0; f ( x ) = 1

g' ( x) = 0 $\iff$ 1 2
f ' f ( x ) - f ( x ) = 0.
2

x = 0
Xét phương trình f ' ( x ) = 0 $\iff$
x = 3 .
2

x = 0
Xét phương trình f ( x ) = 1 $\iff$
x = a a > 3 .
2

Xét phương trình

3
f x = 0 $\iff$ x = 2
1 2 ( )
f ( x) - f ( x) = 0 x = b ( b < 0 )
1 2
f ' f ( x ) - f ( x ) = 0. $\iff$
2
$\iff$
2 1 f 2 ( x) - f ( x) = 3 f ( x) = 2 $\iff$ x = c (c > a )
2 f x =3 $\iff$ x =d d >c
( ) ( )
2
f ( x ) = -1 $\iff$ x = e ( e < b ) .


Vậy phương trình g ' ( x ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt.
x = 1+ t

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại của hàm số là $y_{CD}=2$. Chọn B.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua 4 điểm $x=-2,x=-1,x=0,x=1$, do đó hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=12x^2-12x=12x(x-1)=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Vì $y^{\prime \prime }=24x-12$, ta có $y^{\prime \prime }(1)=12>0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là $y(1)=4(1{)}^3-6(1{)}^2+5=3$. Chọn A.

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x)f^{\prime }(x^3-3x^2)=3x(x-2)f^{\prime }(x^3-3x^2)$. Cho $g^{\prime }(x)=0\iff x=0,x=2$ hoặc $f^{\prime }(x^3-3x^2)=0$. Từ đồ thị hàm số bậc bốn $f(x)$, ta thấy $f^{\prime }(u)=0$ có 3 nghiệm đơn là $u_1<-4,u_2=0,u_3>0$ (hoặc $-4<u_1<0$). Xét sự tương giao của đồ thị $u(x)=x^3-3x^2$ với các đường nằm ngang $u=u_i$. Đồ thị $u(x)$ có cực đại tại $(0;0)$ và cực tiểu tại $(2;-4)$. Do đó các phương trình $u(x)=u_i$ sinh ra 5 nghiệm đơn phân biệt không trùng với $0$ và $2$. Cùng với 2 nghiệm $x=0$ và $x=2$, tổng cộng có $2+5=7$ nghiệm đơn đổi dấu. Vậy hàm số $g(x)$ có 7 điểm cực trị. Chọn C.