Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}}=y(1)=0$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn A.

Vì $x^2\ge 0$ và $(2x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ $x=4$. Do đó hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 3 điểm $x=-1,x=0,x=1$. Do đó hàm số có 3 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.

Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy trên khoảng $(-\infty ;-2)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, tại $x=-2$ thì $f^{\prime }(x)=0$ và sang phía bên phải thì $f^{\prime }(x)>0$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.

Điều kiện xác định: $x^3-3x>0\iff x\in (-\sqrt{3};0)\cup (\sqrt{3};+\infty )$. Ta có đạo hàm $y^{\prime }=\pi (x^3-3x{)}^{\pi -1}(3x^2-3)$. Cho $y^{\prime }=0\iff 3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. So với điều kiện xác định, chỉ có $x=-1\in (-\sqrt{3};0)$ thỏa mãn, còn $x=1$ không thuộc tập xác định. Do đó $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu qua duy nhất 1 điểm $x=-1$. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-6x$. Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0, tức là $4x^3-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$. Tại $x=0\Rightarrow y=0$, tiếp tuyến là $y=0$, trùng với trục hoành nên bị loại. Tại $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\Rightarrow y=-\frac{9}{4}$, tiếp tuyến là đường thẳng $y=-\frac{9}{4}$, song song với trục hoành. Do đó chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến thỏa mãn. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.

**Chọn C**

Từ đồ thị ta thấy, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;1)$, do đó giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}}=1$.

**Chọn B**

Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-3$ (từ âm sang dương) và qua $x=0$ (từ dương sang âm). Khi qua $x=1$ và $x=2$, đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị.

**Chọn A**

Ta có: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+m$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2\Rightarrow f^{\prime }(2)=0\iff 3(2^2)-6(2)+m=0\iff m=0$.
Thử lại với $m=0$:
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
$f^{\prime \prime }(x)=6x-6\Rightarrow f^{\prime \prime }(2)=6>0$.
Do đó $x=2$ đúng là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m=0$.

**Chọn A**



Ta có: $g^{\prime }(x)=8x{f}^{\prime }(x^2-4)+4x^3-16x=8x\left[f^{\prime }(x^2-4)+\frac{1}{2}(x^2-4)\right]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ f^{\prime }(x^2-4)& =-\frac{1}{2}(x^2-4)\end{array}$.
Đặt $t=x^2-4$, phương trình trở thành $f^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}t$.
Vẽ đường thẳng $d:y=-\frac{1}{2}t$ trên cùng hệ trục với đồ thị $y=f^{\prime }(t)$:
Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $t=-1,t=0,t=4$.
Do đó:
- $x^2-4=-1\iff x=\pm \sqrt{3}$.
- $x^2-4=0\iff x=\pm 2$.
- $x^2-4=4\iff x=\pm 2\sqrt{2}$.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt, tức hàm số có 7 điểm cực trị.
Vì hệ số cao nhất của $g(x)$ dương nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=+\infty$, suy ra hàm số có 4 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ $(0;0)$.

Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$ là $y_{CT}=-1$ tại $x=2$.

Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số $y=f(x)+1$ là $-1+1=0$.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime \prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime \prime }(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ hàm số $y=f^{\prime }(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)-2x{f}^{\prime }(-x^2+6)=2x\left[f^{\prime }\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)-f^{\prime }(-x^2+6)\right]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>f^{\prime }\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=f^{\prime }(-x^2+6)</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>\frac{1}{2}{x}^2=-x^2+6</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x^2=4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=-2</td></tr></tbody></table>$.
Vì hàm số $g(x)$ chẵn trên $\mathbb{R}$, có $g(0)>0$ và $g(2)=g(-2)<0$, nên đồ thị hàm số $g(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Do đó đồ thị hàm số $y=|g(x)|$ có 4 điểm cực tiểu (chính là 4 giao điểm với trục hoành có giá trị bằng 0).

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(1)-3(1)}{(x+1{)}^2}=-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Do đó hàm số không có điểm cực trị. Chọn C.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=2$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=2$. Chọn C.

Từ bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}}=3$.

Đặt $h(x)=f(x)-\frac{1}{8}{x}^4-x$.
Ta có: $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{2}{x}^3-1\Rightarrow h^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^3+1$.
Đặt $x=3\sqrt{t}$. Khi đó phương trình trở thành $f^{\prime }(3\sqrt{t})=\frac{1}{2}t+1$.

Từ đồ thị ta thấy phương trình có 3 nghiệm: $\left[\begin{array}{c}t=-2\\ t=0\\ t=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\sqrt[3]{-2}\\ x=0\\ x=\sqrt[3]{2}\end{array}\right]$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=h(x)$:

Khi đó, hàm số $g(x)=|h(x)|$ có số điểm cực đại nhiều nhất $\iff h(x)=0$ có 4 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)=|h(x)|$ có tối đa 3 điểm cực đại.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=2$, do đó điểm cực đại của hàm số là $x=2$. Chọn D.

Dựa vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $3$ điểm $x=-3,x=3$ và $x=4$ (không đổi dấu qua $x=2$). Do đó hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.